Matemáticas, creatividad y rigor


Publicado en Cuadernos de Pedagogía, 291 Mayo 2000, 44-49

ENTREVISTA

Miguel de Guzmán
Matemáticas, creatividad y rigor

Fernando Corbalán

Catedrático de Matemáticas

IES "Grande Covián" de Zaragoza

El ordenador deja de ser un contrincante para convertirse en un aliado, mientras la facilidad de cálculo cede protagonismo a la facilidad de pensamiento e interacción. Este catedrático de Análisis Matemático, que forjó su formación en Chicago, ya no manda a los jóvenes investigadores al extranjero; también en nuestro país las mates han iniciado el despegue.
 
 
 La entrevista se desarrolla en una Facultad de Matemáticas de la Complutense ocupada inusualmente por jóvenes de 12 y 13 años que siguen todos los sábados un programa de entrenamiento en matemáticas promovido por la Academia y que anima el profesor Miguel de Guzmán, que ponen los ruidos de fondo mientras se hacen las fotos. Le acaba de llegar el primer ejemplar de la traducción inglesa, hecha en Singapur, de ‘Cuentos con cuentas’, hace años inencontrable en nuestro país, pero que tiene ‘colgado’ en Internet para quien quiera hacer uso del mismo.
P.- Por qué estudiaste Matemáticas. ¿Fue una elección temprana?
R.- Estudiar matemáticas fue siempre mi afición, desde los 12 años más o menos, por influencia de mis hermanos mayores, y de ver sus textos de matemáticas de ingenieros (en los que aprendí a manejarme en francés), que eran sobre todo de problemas. En ellos me enamoré de la geometría, y debe ser mi afición natural porque sigo enamorado, aunque yo lo que he hecho ha sido análisis. Siempre procuro visualizar los problemas. Yo con la imaginación hago geometría incluso cuando me despierto en la cama, a oscuras. No necesitas papeles ni nada, realmente es un placer.
 P.- O sea que eres de los que cree que ‘hay que dejar dormir los problemas’ o ‘consultarlos con la almohada’.
 R.- Pienso cuando tengo tiempo y estoy interesado en un problema, más por la mañana, cuando me despierto sobre todo, que por la noche. Pero a los problemas hay que dedicarles mucho tiempo, no se resuelven sobre la marcha (como suelen pensar ahora los jóvenes). Cuando me despierto me pongo a pensar en algún problema que tengo pendiente y lo paso estupendamente. Con uno de los problemas sobre la deltoide que tengo puesto en mi página de Internet <http://www.mat.ucm.es/~guzman/> pasé meses hasta que di con la idea adecuada. Y ahora estoy desde hace mucho tiempo, años, intentando dar una demostración visual y sencilla del Teorema de Poncelet (sobre polígonos tangentes e inscritos en una cónica), que estoy convencido que existe pero que no encuentro, Desde luego es obvio que hay que dejar dormir los problemas, antes o después acaba viniendo una cosa u otra.
 Volviendo a lo de estudiar yo siempre pensé que estudiaría la materia de matemáticas, pero la carrera no, porque en los años cincuenta eso era estudiar ingenieros, que es lo que yo empecé, despues de aprobar el difícil examen de ingreso que se tenía que superar. Pero no acabé, porque entonces decidí hacerme jesuita, lo que me llevó durante algunos años a hacer estudios humanísticos (durante los que aprendía leer a los clásicos en latín y griego) y después de filosofía, aquí y en Alemania (dejé los jesuítas más tarde, a mi vuelta a Madrid en 1971).
P.- ¿Cuál fue tu experiencia en Alemania?
R.- Su impacto humano y cultural fue inmenso, aunque las secuelas de la guerra eran visibles por todas partes. Pero me permitió conocer el idioma alemán y acceder a una cultura humanística y filosófica de alto nivel.
P.- Qué tipo de enseñanza prefieres, ¿oral o escrita?
R.- Son retos diferentes, pero la enseñanza en cualquiera de sus formas es muy atractiva y siempre hay que adaptarse a lo que los alumnos son, a cómo llegan a ti. No vale decir cómo uno quisiera que fueran sus alumnos o lo que tendrían que saber. Yo considero, y así se lo digo a mis alumnos, que cada curso es como el entrenamiento de un equipo que tienes delante, del que hay que sacar el mayor partido posible que ese equipo puede dar de sí, contando con el nivel inicial de sus miembros y sus posibilidades de mejora. Y el profesor es el entrenador durante todo el tiempo que dura el curso, pero al final la sociedad le exige que pase a ser el árbitro o el juez para que diga quiénes han aprendido suficiente y quienes no (y tendrán que estudiar más). Los alumnos creen que hay que estar juzgandoles todo el tiempo, pero eso sólo hay que hacerlo al final. Durante el desarrollo del curso lo fundamental es estimular el aprendizaje, algo que puede hacerse con ejercicios o con otras tareas, con exámenes frecuentes o espaciados, según las características del grupo.
 En cuanto a la divulgación (lo que sería la enseñanza escrita) también es muy bonita, porque se trata de sacar el jugo a aquello que ya sabes incluso muy bien porque lo has estudiado durante mucho tiempo, que dominas muy bien, pero que has de presentarlo de otra manera (comprimirlo y destilarlo) para que sea asequible a los demás. Tienes no sólo que pensarlo bien, sobre todo tienes que expresarlo mejor. Yo uso mucho los diccionarios porque creo que para la tarea de escribir es fundamental.
 P.- Has trabajado aquí y fuera, ¿qué diferencias encuentras?
 R.- Cuando después de acabar Matemáticas en Madrid me fui a Estados Unidos, a la Universidad de Chicago, en el año 65, nuestro nivel era completamente distinto. Aquí solo se hacía matemáticas a través de libros de segunda mano. Si le pedías a un catedrático hacer la tesis con él normalmente te daba un libro para que lo estudiaras y después fueras a hablar con él (y eso desanima a cualquiera). En Chicago, con el profesor Calderón (mi director de tesis, argentino de origen y uno de los principales cultivadores del Análisis Matemático del mundo, que acaba de fallecer hace dos años), era completamente distinto: te proponía problemas interesantes para resolver de los que nadie sabía todavía su solución, estabas en el núcleo donde se elaboraban las teorías que sólo muchos años después se podrían estudiar en libros que llegarían aquí. Estábamos en un ambiente muy estimulante, ocupados en el auténtico quehacer matemático: resolver problemas abiertos con una proyección inmediata en el futuro de las matemáticas.
 Ahora las condiciones han cambiado. Nuestro nivel de investigación matemática ha mejorado muchísimo en extensión y en calidad. Hasta hace unos años cuando un recién licenciado quería investigar le decía: ‘pide una beca y vete fuera’. Ahora no hace falta, en muchas universidades tenemos un nivel y se conoce el campo suficientemente bien para absorber a muchos estudiantes muy dignamente, de forma que se hacen tesis tan buenas como en cualquier otro lugar del mundo.
P.- ¿Somos ya cola de león o seguimos en cabeza de ratón?
R.- Incluso lomo de león [dice entre risas], nuestras investigaciones suponen el 4.36% del total mundial, muy por delante de la inmensa mayoría del resto de las actividades sociales. Ha habido un gran ‘boom’ en los últimos veinte años, aunque hay que considerar que es más fácil despegar en Matemáticas que en las otras ciencias, no se necesita infraestructura.
 P.- La Informática, ¿ha cambiado las Matemáticas?, ¿lo hará más en el futuro?
R.- Hasta hace unos pocos años no se sabía muy bien cuál iba a ser el influjo del ordenador y de la Informática sobre la matemática pero ahora ya está muy claro que es algo totalmente fundamental. Los cambios que está introduciendo creo que son muy, muy importantes. Por una parte lo que antes se preveía era la facilidad de cálculo, pero ahora estamos viendo que además de eso es la facilidad de pensamiento (ya se empiezan a hacer programas para demostrar, por ejemplo), la facilidad de visualización y la facilidad de interacción con los experimentos que uno puede hacer a través del ordenador. Y con el tiempo yo creo que eso tiene que repercutir en la investigación todavía más de lo que hoy lo está haciendo.
P.- ¿Y en la enseñanza?
R.- Tiene que cambiar mucho más de lo poco que lo ha hecho hasta ahora. Una razón es que el sistema de enseñanza tiene mucha inercia, es un sistema muy grande; hasta que una transformación que se está efectuando en la sociedad, en los medios, llega a asimilarse correctamente tiene que pasar mucho tiempo.
P.- ¿Y no se puede coger algún atajo?
R.- Uno muy bueno sería poner un chip nuevo en el cerebro de muchos profesores. Lo cual por ahora es difícil [comenta entre risas].
P.- Es algo así como que cuando algo entra en la enseñanza es el certificado de arqueología...
R.- Mira los contenidos de la enseñanza; son, incluso en la Universidad, lo más del siglo XVIII. No hay manera de que entre aquí en la Facultad una asignatura sobre Teoría de Grafos, por ejemplo. Ha habido un gran cambio de la matemática continua a la discreta y para que la matemática discreta esté integrada en las asignaturas normales tendrá que pasar mucho tiempo.
P.- ¿Cómo se tendría que hacer la integración en un centro de enseñanza de una ciudad normal, media (no en Silicon Valley) no ya solo de la informática sino también de Internet?
R.- Yo escribí un artículo en el que digo cómo creo que tendría que ser la educación matemática con ordenador. Doy una lista de problemas que hoy serían difíciles incluso en un nivel universitario, pero que para los alumnos y alumnas de 16 años con su ‘libro’-ordenador provisto de los programas informáticos actuales (y mucho más con los que están por venir) son meras rutinas de cálculo, y lo que aprenden es qué y cómo preguntar al ordenador, y cómo sacar partido de las respuestas que obtienen [ver bibliografía final]. Los énfasis en la enseñanza han de ser muy diferentes.
P.- Qué matemáticas necesita un ciudadano/a de a pie en el umbral del nuevo milenio.
R.- Me parece que el tema de los contenidos probablemente es menos importante que el de las actitudes con que se afrontan los problemas. Un tema que hoy consideramos importante dentro de cinco años puede dejar de serlo. Pero en cambio para lo que hay que estar preparado es con qué actitud se arrostran esos problemas que vienen y con la confianza de que muchos problemas de esos que le pueden venir hay métodos matemáticos con los que se pueden tratar. Pero claro los mismos profesores muchas veces no estamos preparados para enseñar eso.
P.- Llegamos a un tema básico...
R.- Desde luego la formación de los profesores es la base, la raíz de todo y debería cambiar, lo vengo diciendo hace mucho tiempo. La formación inicial es la más importante, por supuesto. De los profesores de primaria es totalmente insuficiente; la de tipo de contenido matemático del profesor de secundaria suele ser bastante decente pero la que es útil para la pedagogía matemática es también insuficiente. Y a pesar de que la preparación didáctica que se da los profesores de primaria es inmensa respecto a la educación matemática que reciben, la parte útil para el que se va a hacer luego en clase es muy escasa. Y está cuantificado incluso: hay maestros generalistas que han aprendido matemáticas el 3 o el 4% de su tiempo, claramente insuficiente.
 P.- Muchas veces tienen que alumbrar el futuro gente que ya está en el pasado...
 R.- Es cierto. Pero hay que tratar de remover lo que se pueda de la formación del profesorado que se hace ahora y pensar en el futuro, pero pensar con paciencia, sabiendo que lo hacemos para un futuro que vendrá si tenemos suerte y si lo hacemos bien dentro de quince años.
P.- Aunque lo importante sea la actitud, tendría que haber un mínimo de cosas que sí que habría que asegurar...
R.- Sí y y la forma de hacerlo sería fomentando el contacto de la comunidad matemática con los agentes sociales (sindicatos, empresarios,..) para determinar qué aspectos de los actuales contenidos son interesantes y qué no lo es. Algo que desgraciadamente está por hacer.
P.- Pero hay algunos saberes claramente de los que tú llamas ‘inertes’.
R.- Sí, que no sólo no sirven sino que impiden aprender otros. En todos los niveles hay que evitar esa tendencia actual a realizar cálculos: para eso están las máquinas. No es estar contra las rutinas, algo muy importante, sino en quedarse ahí, ejercitarlas en miles de ejercicios complicadísimos que el ordenador te hace en nada. Lo importante es entender de qué va, que se puede hacer con ejemplos sencillos, los complicados ya los calculará el ordenador.
P.- El paso de la LGE a la LOGSE, ¿está en la buena dirección?
R.- Sí, la LOGSE pone el énfasis en los puntos adecuados. Pero hay un grave problema de horas dedicadas a las matemáticas. Cuando yo estudié eran 6 horas semanales (también los sábados) durante 7 años; ahora son 3. No se pueden hacer milagros.
P.- ¿Cuál es la solución?
R.- Poner el énfasis en la primaria y secundaria allí donde debe estar: Lengua y Matemáticas. Y dedicar más días de clase al año. Alemania seguro que nos lleva 20 días al año, y Japón muchos más. Creo que el tiempo de nuestras vacaciones es excesivo.
P.- Y con la gente que ‘desconecta’ qué se puede hacer
R.- Uno de los grandes problemas de la Secundaria es la falta de atención a la motivación y a la heterogeneidad. Hemos extendido la enseñanza hasta los 16 años, que me parece muy bien, pero no hemos hecho casi ningún esfuerzo para adaptarnos a lo que eso implica: que hay muchos alumnos que no les interesan las matemáticas que les damos, ya que no reciben las facetas de las mismas que le pueden interesar como ciudadanos normales, no para ir a estudiar a la universidad, algo que muchos no van a hacer. Todos tendrían que estudiar pero no todos lo mismo, algo para lo que los profesores y los programas no están preparados.
P.- ¿Y todos los alumnos juntos o separados?
R.- Es un problema muy profundo. Habría que hacer canales separados pero no estancos. Se le podría decir a los alumnos: tú tienes que pasar con la clase de al lado y cuando estés preparado vuelves aquí. Para lo cual se necesita mucha flexibilidad y mucha autonomía en los centros.
P.- ¿Qué es lo fundamental que falla en la enseñanza de las Matemáticas? Algo debe ser porque todos estudian y tiene muy mala prensa.
R.- Se crean complejos y bloqueos desde muy jóvenes, y por eso creo que el mal de raíz está en la formación de los profesores de primaria que muchos de ellos (sin culpar a nadie sino que el sistema es así) salen aborreciendo ellos mismos o siendo incapaces de enfrentarse a una clase de matematicas con agilidad, flexibilidad y con gusto. Por eso o no la darán o la darán muy mal o se les notará tantísimo que eso se traspasa a los alumnos. Es como una ósmosis. Por eso te encuentras el fenómeno de personas adultas muy inteligentes con un rechazo total a las matemáticas, con un bloqueo absoluto, que si no se dan cuenta que les propones una actividad matemática la resuelven sin problemas.
P.- Sobre el famoso asunto del ‘nivel’, ¿cómo crees que evoluciona?
R.- El nivel ha bajado mucho. Pero las causas del fracaso (en la universidad lo conozco mejor, pero es parecido en otras etapas) son dos. Que los niveles con los que llega el alumnado son malos, y que los profesores que los reciben no lo hacen como debieran, asumiendo el nivel en el que están, sino que les enseñan a partir del nivel en el que creen que deberían estar. Un artículo americano que he leído recientemente pone el énfasis precisamente ahí: ‘Olvídate de quejarte, hay que coger a los alumnos donde están y tirar de ellos hacia adelante’. Entrenarlos a partir de ahí como decía antes. ¿Que van a bajar mucho los niveles? Pues mira, a tí la sociedad lo que te pide es que subas el nivel de los alumnos que te llegan. Y, además, estos problemas en los cambios entre una enseñanza y otra se producen en todo el mundo. En mi página web hay un artículo que presentamos en Berlín con un estudio de lo que pasa en todo el mundo y lo que se puede hacer.
P.- Algunas propuestas para hacer la enseñanza de las Matemáticas más innovadora y eficaz. En particular tu posición sobre algunas controversias: cómo compaginar disciplina y divertimento; creatividad y ‘rigor’.
R.- Ahí está ahora la gran polémica en USA. El otro día había una contribución de Paulos que decía que es muy fácil hacer una parodia de cualquier extremo. Hay que hacer de todo pero con cierta moderación. Enseñar a pensar, divertimentos y juegos por supuesto, pero rutinas integradas también. Pero que el profesor con un poco de imaginación se puede inventar  o al menos esas deberían el tipo de herramientas que se deberían dar en las escuelas de formación para que las sepa
P.- Relación entre formación inicial y formación continua. ¿El modelo de nuestro país es correcto?
R.- Una formación continua seria debe proporcionar incentivos reales y deseados. Tal vez los sexenios es uno pero no parece que  estén dando mucho juego. Los CEPs son una buena idea pero bien dotados y organizados y siempre que se propusieran actividades atractivas.
P.- La formación permanente, ¿tendría que ser obligatoria?
R.- Cualquier profesor activo y medianamente serio tendría que decir por sí mismo ‘a mi me falta mucho por aprender’.
P.- ¿Y si no lo dice?
R.- Hay que poner el acento en la inspección; en los países donde funciona bien lo hace hasta esos puntos. A quien da clases inefectivas hay que decirle que debe cambiar. ¿Que costaría mucho dinero? Por supuesto, y dedicamos poco, una ínfima parte del presupuesto, mucho menos que los países de nuestro entorno. Mientras la apreciación de la enseñanza no llegue al bolsillo del ciudadano no tendremos los fondos necesarios para una enseñanza de calidad.
P.- Recomendaciones para el profesor novato, cuyas experiencias no responden a sus ideas previas y para el veterano, al que quizás le cuesta salir de sus inercias y tradiciones.
R.- Por desgracia cada uno cuando empieza se debe abrir el camino a golpes, no tienen en sus últimos años de universidad ningún contacto con la enseñanza. Los consejos son comunes para todos, además de una buena formación inicial y un profesor tutor para los debutantes (algo que todos se deberían procurar si alguno se deja): todo el profesorado tendría que visitar las clases de los otros, admitir sus ingerencias y reflexionar sobre ellas. Y avanzar en común.
P.- Tu opinión sobre el debate Ciencias-Humanidades.
R.- Es un debate que no debería existir. En la etapa 12-16 las matemáticas son parte de las Humanidades (como ya pasaba con los pitagóricos), y en ellas habría que situar la historia de los momentos en que aparecen, tienen su parte de biografía de hombres ilustres,.., muchas cosas que podrían atraer que se solapan con las humanidades. Si nuestros profesores estuvieran preparados, supieran historia, lo que las matemáticas han supuesto para la filosofía, por ejemplo, y para la cultura, el arte,.. se podrían hermanar perfectamente matemáticas con humanidades. Utopías por supuesto, pero por lo menos una dirección.
P.- Tu opinión sobre el papel del profesorado de la Universidad como dinamizador de la vida matemática de nuestra sociedad.
R.- Los profesores de universidad nos hemos desvinculado extraordinariamente de lo que las matemáticas son en la sociedad y de presentarlas adecuadamente y luego nos extrañamos de que la sociedad no reconozca el valor de las mismas. Por parte de la comunidad matemática, algo como lo que se pretende hacer este año Mundial debería ser una labor continua, la norma, no sólo este año. Y creo que eso es posible. Los más experimentados, los más maduros deberían lanzarse a hacer una campaña en los Medios de Comunicación sobre lo mal informada que está la sociedad sobre las matemáticas.
P.- Tu opinión sobre el futuro (con crisis o sin ella) de la escuela y del papel en la misma del profesorado.
R.- No sabemos bien cómo aprovechar Internet, y creo que a nivel de información hay mucha, pero hay mucho de juguete, mucho más que de cosa seria. Yo ahora estaba mirando qué hacer para el curso que voy a empezar con él (y procuro siempre olvidarme de lo que ha hecho otros años) y no está muy clara su utilidad. Pero con él el Profesorado debería ser un dinamizador del aprendizaje y se debería formar para ver cómo se hace eso.
P.- Tu has seguido unos caminos atípicos de aprendizaje, ¿son mejores?
R.- Se puede aprender siempre que se tenga una actitud abierta y se intente dominar los nuevos mecanismos o métodos que en un principio pueden parecer pérdidas de tiempo pero a la larga permite ganarlo. Eso pasa con las herramientas informáticas (que yo aprendí a los 45 años) o internet (en que me introduje a los 55). Si se tienen herramientas adecuadas (físicas o mentales) se aprovecha mejor el tiempo.
P.- Uno de los objetivos del Año Mundial de las Matemáticas es ayudar a los países en desarrollo. A nostros nos toca Iberoamérica, ¿no?
R.- Sí. Un profesor puede por supuesto ayudar en un hospital, pero por su cualifiación lo lógico es que haga algo que solo él está en disposición de hacer. Por eso yo pertenezco a CUE (Cooperación Universitaria Española), una ONG que trata de ayudar a los paises iberoamericanos en su despegue educativo, por medio de cursos,  asistencia en el diseño de estudios que nos piden etc. (Ver la web).
P.- ¿Algún comentario final?
R.- Un mensaje optimista para acabar. Tenemos ejemplos positivos de formación inicial de profesores de Primaria, como Alemania en que el 40% de su formación universitaria (de 4 años) es en matemáticas (puede verse en mi web otros ejemplos interesantes de Hungría, Suecia y Holanda, de un reciente simposio que hicimos en Madrid). Y quiero destacar el dinamismo del profesorado, la existencia de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas que ha propiciado una reforma educativa. E incluso la investigación en Educación Matemática que era un poco insuficiente va aumentando.
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PERFIL.- Miguel de Guzmán nació en Cartagena en 1936. Comenzó sus estudios de Ingeniería industrial en Bilbao que abandonó para cursar la licenciatura de Filosofía en Alemania (1961); regresó a Madrid donde acabó Matemáticas en el 65, pasando a realizar su doctorado en Chicago en el 68. Ha sido profesor asociado o visitante en universidades de Chicago, St. Louis, Princeton (EE.UU), Suecia y Brasil y en la actualidad es catedrático de Análisis Matemático de la Complutense de Madrid. Académico de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde el 82, fue presidente del ICMI (International Commission on Mathematical Instruction), la asociación mundial de profesores de matemáticas, durante dos períodos ,de 1991 a 1998, siendo el primer hispano que accedía a un cargo semejante. Ha publicado libros en importantes editoriales internacionales, así como libros de texto de enseñanza media y tiene multitud de libros y artículos de análisis matemático y de educación matemática y dirigido 15 tesis. Es también un ameno conferenciante, estudioso de las relaciones entre la filosofía y las matemáticas y sobre el impacto de las matemáticas en la cultura, participante asiduo en todo tipo de congresos y divulgador en revistas y periódicos de tirada nacional.
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Ultimas publicaciones de divulgación matemática
* Aventuras matemáticas. Una ventana hacia el caos y otros episodios (Pirámide, Madrid, 96), traducido al chino, finlandés, francés y portugués.
* El rincón de la pizarra  (Pirámide, Madrid, 96)
* Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos  (Pirámide, Madrid, 96)
* Los matemáticos no son gente seria (Rubes, Barcelona, 96), junto con Claudi Alsina.
* El ordenador en la educación matemática, Vela Mayor, Revista de Anaya Educación, 1994, pp. 33-40