Sobre la educación matemática


Artículo publicado en
Revista de Occidente, 26 (1983), pp. 37-48.



Sobre la educación matemática

Miguel de Guzmán Ozámiz

 

Indice
Crónica de una olimpíada
Polivalencia de la matemática
Vaivenes de la pedagogia matemática
El formalismo matemático y sus consecuencias
Algunos defectos de nuestra enseñanza actual
Posibles medidas hacia una mejora


Crónica de una olimpíada

Junio de 1982. En una gran aula se encuentran trabajando afanosamente 60 estudiantes que han concluido su formación secundaria, el COU. Se supone que son 60 de entre los mejores estudiantes de matemáticas del distrito universitario de Madrid. Están realizando las pruebas de la primera fase de la olimpíada matemática de nuestro país. De entre ellos han de ser elegidos los tres que competirán por el campeonato olímpico, en una segunda fase, con los seleccionados en todos los otros distritos. Se les han propuesto ocho problemas que, se espera, no superen ni sus posibles habilidades ni su debida información. De entre estos ocho problemas cinco han sido elegidos de los más sencillos de la colección de problemas propuestos en las diferentes olimpíadas matemáticas internacionales que se celebran anualmente desde el año 1959 y a las que España nunca ha concurrido hasta ahora. Tales problemas son seleccionados por consenso entre los delegados de todas las naciones que concurren a las olimpíadas internacionales. Actualmente concurren más de 25 naciones. Se puede suponer que estos problemas, si bien suficientemente fuertes y retadores, pues no se proponen a un estudiante medio, sino a la flor y nata de los estudiantes preuniversitarios de todo el mundo, representen bien el nivel alcanzable por los mejores y la información matemática posible y deseable para ellos en esa etapa a juicio de todos los delegados nacionales.

Parece difícil de creer, pero no hubo uno solo de nuestros sesenta estudiantes capaz, no ya de resolver alguno de estos cinco problemas, pero ni siquiera de escribir unas líneas medianamente inteligentes sobre uno solo de ellos.

¿Conclusión? Puesto que con toda certeza entre nuestros estudiantes se encontraban algunos cuya capacidad natural, espíritu de trabajo e interés por las matemáticas son perfectamente homologables a la media de todos los estudiantes que se presentan anualmente a las olimpíadas matemáticas internacionales, parece que se puede concluir que la formación y la información matemática que se les ha impartido están muy distantes de presentar la calidad y la orientación que se juzga universalmente como adecuada a ese nivel.

La orientación actual de la enseñanza matemática en nuestro país a nivel elemental y secundario es mala ciertamente en su contenido y en su forma. El deterioro ha sido especialmente grave en los últimos veinticinco años. Trataré de analizar brevemente las causas de este deterioro, las consecuencias que ha tenido en nuestra trayectoria particular y cómo nos podríamos acercar a un estado de cosas más razonable en este terreno.


Polivalencia de la matemática

Graphics (p.8-1)A primera vista puede parecer sorprendente que la ciencia más antigua y más firmemente establecida de todas las existentes no posea paradigmas claros en su proceso de transmisión a quienes se trata de iniciar en ellas. Pero tal sorpresa se nos va disipando cuando miramos más de cerca el problema. Desde siempre la matemática ha constituido un saber extraordinariamente polivalente. Los astrónomos mesopotamios encontraron en ella un proceso racional para el seguimiento de los movimientos de los cuerpos celestes. Administradores egipcios y mesopotamios supieron aprovecharlas para resolver sus problemas comerciales y de agrimensura. Los pitagóricos vieron en ella la clave de la intelección profunda del universo y, también, el modo más eficaz de preparar el espíritu para la comunión con la divinidad. Esta visión de la matemática como escala hacia lo sublime prevaleció a través de la concepción del mundo platónica en la antigüedad y en la edad media, llegando los matemáticos incluso a despreciar el posible interés práctico de sus elucubraciones. La era moderna de la ciencia, inicialmente con Galileo y de forma plenamente madura con Newton, recupera el interés práctico y entrevera el experimento con la especulación matemática en un intenso afán por entender y explorar el universo no sólo contemplativamente, sino con la intención de dejar en él la impronta de la inteligencia humana plasmada en la tecnología. La matemática se convierte así en un saber polifacético que es a la vez: una ciencia con sus fines propios, cercana incluso en muchos aspectos a la filosofía; un arte que consigue, al menos como premio añadido en su esfuerzo por alcanzar sus objetivos específicos, la creación de estructuras mentales profundamente bellas ante «el ojo del alma», como diría Platón; y un instrumento poderoso de exploración y transformación del universo.


Vaivenes de la pedagogia matemática

Y si la matemática es a la vez todas estas cosas no se puede uno extrañar de que, a lo largo de los siglos, y según la orientación de las modas dominantes, el intento de utilización de ellas para la educación adecuada de las nuevas generaciones se haya plasmado de formas tan diversas. El cuadrivio de la edad antigua y media (aritmética, geometría, música y astronomía), inspirado en el ideal pitagórico y platónico, buscaba sobre todo la disciplina del pensamiento y el fomento del espíritu contemplativo. La enseñanza matemática estuvo basada en un Euclides con toda probabilidad mal entendido, enseñando los Elementos de una forma rectilínea y rígida que el mismo Euclides hubiera rechazado. Se sabe que Euclides compuso, sin duda para motivar, aclarar y dar vida a su enseñanza en Alejandría, los Pseudaria, una obra sobre aporías, contraejemplos y falacias que desgraciadamente se ha perdido. La creación matemática original de la edad media del mundo occidental, probablemente como consecuencia de esta orientación didáctica, descendió a la cota más baja en la historia de la humanidad.

La edad moderna trajo cambios profundos de orientación científica y didáctica. La obra de Euclides siguió vigente como texto básico, en muchos lugares hasta bien avanzado el siglo XIX, pero lo que con él se perseguía, la adquisición de un método de trabajo, quedaba ampliamente complementado con otro tipo de enseñanza activa y, sobre todo, con un espíritu práctico de aplicación del método matemático en otras áreas importantes. El espíritu de las grandes fundaciones napoleónicas, la Escuela Normal y la Politécnica, fue haciéndose profundamente influyente en la enseñanza europea.

A fines del siglo XIX y principios de nuestro siglo ocurrieron cambios importantes en la concepción de las matemáticas. Motivados por la aparición de las geometrías no euclídeas en la primera mitad del XIX y por la influencia de nuevos modos de tratamiento del infinito matemático en la teoría de conjuntos de Cantor, los matemáticos hubieron de ocuparse más intensamente que nunca de tratar de establecer las bases de su ciencia de modo incontrovertible. Los fundamentos fueron sometidos a una severa observación, a una crisis, originándose así una disciplina a medio camino entre la filosofía y la matemática de corte más tradicional. Desde entonces muchos problemas se han ido aclarando, pero cada vez más firmemente se ha puesto de manifiesto que las estructuras profundas del pensamiento matemático presentan misterios que llegan a afectar la esencia misma de la matemática, e incluso algunos de sus atributos más aplaudidos y estimados, como la certeza y la infalibilidad.


El formalismo matemático y sus consecuencias

La preocupación de los matemáticos más eminentes por esta crisis de los fundamentos, el ansia de rigor en el pensamiento, el temor de que una intuición un tanto autónoma condujese a desvaríos incontrolados, condujo a una concepción de la matemática predominantemente formalista. La visión prevalente consistió en identificar la matemática con un juego puramente formal en el que, en frase de Bertrand Russell, «no se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdad o no». Unas reglas de juego con ciertos símbolos definen implícitamente, como en el ajedrez, los objetos sobre los que versa el discurso. Unas reglas de inferencia convenidas proporcionan la forma de pasar de una proposición a otra para construir así un edificio de complejidad creciente.

El perjuicio causado por esta actitud formalista en la actividad matemática hubiera podido ser leve, más o menos el siguiente. El matemático, desde siempre, había pensado que las estructuras mentales que creaba tenían mucho que ver con la realidad. Para salvaguardar la certeza de su ciencia se le proponía, por parte del formalismo, abjurar de esta pretensión. La defensa natural a esta amenaza de esquizofrenia, defensa que ha venido a afianzarse en la década de los setenta en el ánimo de muchos matemáticos, ha consistido más bien en la renuncia alegre a la consideración de la matemática como bastión de infalibilidad y de certeza irrefutable y a la aceptación del carácter cuasiempírico de su ciencia que, como todas las otras ciencias experimentales, avanza en la exploración de su realidad propia mediante idas y venidas, a veces seculares, modificando sus ensayos y corrigiendo sus errores de partida para
tratar de alumbrar con una luz cada vez más clara la parcela de la realidad que explora.

Pero sucedió que la actitud formalista en que muchos matemáticos fueron educados en la primera mitad de nuestro siglo les llevó a pensar que aquello que había servido para traer algo de luz en los problemas alrededor de los fundamentos era lo adecuado, mutatis mutandis, para la introducción en la matemática de los más jóvenes. Se trató de educarles en el pensamiento riguroso, de introducirles en el proceso de abstracción, de utilizar como campo de trabajo para estos fines aquellas parcelas de la matemática en las que esto se puede realizar más fácilmente, tales como la teoría de conjuntos y los rudimentos del álgebra moderna, grupos, anillos, cuerpos... El movimiento que así se inició, canonizado por una numerosa pléyade de psicopedagogos y unos pocos matemáticos, constituyó la explosión de las llamadas «matemáticas modernas». La utilización que se hace de los conjuntos y del álgebra recuerda un poco la que se hizo de Euclides en la edad medía y parte de la edad moderna a fin de disciplinar la mente. Entonces incluso se llegó a la aberración extraña de editar exclusivamente los teoremas de los Elementos de Euclides suprimiendo las demostraciones. Aun con demostraciones los Elementos no constituyen más que el esqueleto de unas cuantas secciones interesantes de la matemática que podría servir como guía del profesor.


Algunos defectos de nuestra enseñanza actual

En la enseñanza básica de nuestros alumnos se observa un aglomerado extraño; unos rudimentos de teoría de conjuntos, que vienen a constituir unos cuantos acertijos aislados cuya relación con la matemática tal vez consista para los niños en que se pueden expresar con unas palabras mágicas que además tienen su traducción cabalística en símbolos misteriosos; una iniciación a otra familia de palabras como grupo, elemento neutro, inverso, anillo... que se les dice que son entes muy importantes, aunque no se les explique muy bien qué se puede hacer con ellos; y cuentas, que es lo que al parecer tiene algo que ver con la vida real, para averiguar que si en una granja hay veinticinco gallinas, cada una pone dos huevos diarios y la docena se vende a 96 pesetas... A esto se añaden unas pinceladas de rectas, ángulos, curvas, despilfarrando mucha más energía en nombres y distinciones (no se vaya a confundir un ángulo con una región angular) que en tratar de hacer algo interesante con los objetos que se introducen. En resumen, los defectos que, a mi parecer, aquejan más gravemente la enseñanza primaria podrían resumirse en cuanto a la forma en una notable desviación del objetivo principal de las matemáticas, que consiste en saber resolver problemas que puedan resultar adecuados e interesantes, en una ausencia de espíritu activo, de espíritu lúdico, de conexiones con el mundo real de los niños y sus intereses, en un énfasis excesivo y perjudicial en nombres y distinciones con merma de lo que es mucho más importante, la imagen, la intuición, los automatismos operativos. En cuanto al contenido hay exceso de conjuntos, de álgebra, donde los problemas que se pueden proponer en una etapa inicial son meras tautología y reconocimiento de nombres. Por otra parte, se nota la ausencia de contenidos geométricos interesantes y de conexiones y aplicaciones a otras ciencias.

Las directrices recientes del Ministerio de Educación, programas renovados de Educación General Básica promulgados en 1982, intentan corregir, a mi parecer con excesiva timidez, algunos de los errores más crasos de los programas y directrices de 1971. Entre otras cosas se sigue con la teoría de conjuntos, rebajando eso sí su presencia, la reaparición de la geometría no presenta elementos seriamente renovadores, el mundo de las aplicaciones de la matemática está prácticamente ausente... Los programas renovados y las directrices del Ministerio que los acompañan son un tímido paso en una buena dirección. Sería necesario ir adelante con mucha más energía y organizar toda una campaña de desintoxicación de actitudes viciadas entre los enseñantes y escritores de libros de texto que son quienes realmente pueden llevar a cabo el vuelco que nuestra enseñanza matemática inicial necesita.

La enseñanza secundaria está afectada de un mal específico, además de adolecer de las mismas tendencias hacia el formalismo, abstracción y pasividad que enferman la primaria. En la enseñanza de BUP y COU se da además, a mi parecer, una confusión de objetivos que la convierten en una especie de minienseñanza universitaria. La enseñanza básica y la secundaria deberían tener idealmente unos objetivos plenamente diferenciados de los de la enseñanza universitaria. En aquellas, el elemento formativo debería ser claramente el esencial, debiendo estar los contenidos totalmente subordinados en su extensión y en su conformación a la finalidad formativa de estas etapas de la enseñanza. Con la enseñanza secundaria no se debe pretender impartir unos conocimientos que hagan de la personalidad del estudiante un mosaico de miniprofesionales de las diferentes materias. Se debe tratar con ella de ayudarle a conformar su personalidad intelectual mediante la asimilación profunda de unas pocas ideas matrices en algunos campos de las ciencias y de las letras, asimilación realizada pausadamente, de modo vital, entroncando estas ideas matrices con la personalidad de sus descubridores, con la historia de su génesis y su evolución, con muestras de su fecundidad en nuestra cultura actual. En lugar de ello (véanse los libros de texto) se ofrece al estudiante adolescente, muchas veces ávido de un contacto vital de este tipo, largas listas secas y pedantes de meros nombres o de ideas descarnadas de las que pronto se hastía por su aparente inutilidad. La matemática tiene una historia milenaria y apasionante, constituye toda una aventura del pensamiento observar desde nuestra perspectiva los rodeos, los callejones sin salida aparente, los túneles oscuros, las controversias de la evolución del pensamiento matemático hasta nuestros días. Por otra parte, la riqueza de la personalidad y de la biografía de muchos de los matemáticos más eminentes es ciertamente impresionante. La importancia sociológica y cultural de la matemática ha sido grande especialmente en ciertas etapas de la evolución cultural de Occidente. La simbiosis de la matemática con las otras ciencias, con la tecnología e incluso con la filosofía presenta aspectos muy interesantes que se prestan a discusión aun al nivel más elemental. ¿Cuántos de nuestros enseñantes hacen un esfuerzo por entreverar los conocimientos que imparten con explicaciones de este tipo?

Se suele decir que los programas y directrices existentes condicionan negativamente la enseñanza no sólo por lo que disponen que se haga, sino más aún por lo que impiden que se haga. Muchos de nuestros profesores afirmarán que, aun percatándose de que la mejor manera de proceder en su tarea formativa sería otra, no pueden enseñar para formar. Deben enseñar para cubrir el programa, para superar el baremo. Pero habría que decir que los programas no son, ni mucho menos, tan rígidos, tan específicos, ni tan extensos que no permitan proceder de otro modo. Lo que es cierto es que es mucho más fácil fijarse los contenidos de un programa y seguirlo rectilíneamente que estar permanentemente abierto y en guardia para aprovechar y buscar los elementos que sean capaces de despertar el interés, tal vez el entusiasmo, del grupo concreto de personas que se encuentra delante. Además, se piensa ¿quién va a medir la magnitud del interés despertado en los alumnos? Lo que sí se va a medir y controlar es, en cambio, lo bien que se saben la noción de límite y derivada y su habilidad en manejar matrices y vectores.

Pero tal vez una mayor responsabilidad incumbe al espíritu predominante en la generalidad de los libros de texto de BUP y COU existentes en la actualidad, que parecen estar escritos para responder rápidamente a un cuestionario, olvidando totalmente el objetivo primordial de esta etapa de la enseñanza, la formación de la personalidad del alumno utilizando como medio su contacto con el mundo de la matemática. Así, carentes nuestros enseñantes de textos que orienten su trabajo en la dirección adecuada, se ven empujados por las circunstancias en muchos casos a impartir la enseñanza adecuada para contestar a un cuestionario con la máxima solvencia, con el consiguiente tedio y aburrimiento de sus alumnos y suyo propio. Me atrevería a sugerir que, supuesto un mínimo de competencia por parte del profesor, la ausencia de un libro de texto y la confección paulatina de unas notas por parte de los mismos alumnos que contuviesen el núcleo esencial de la información necesaria para apoyar la actividad del alumno alrededor de esta base, sería muy preferible a la utilización que se hace de los textos existentes en la actualidad. Este método, según me consta, viene practicándose con éxito en algunos centros de reconocido prestigio.

Hasta hace doce años la enseñanza de nuestros escolares entre los diez y diecisiete años corría a cargo de licenciados. Hoy día la EGB, que incorpora a los niños hasta sus catorce años, está llevada por maestros procedentes de las Escuelas Universitarias de Profesorado de EGB, en general carentes de una formación específica suficiente, al menos en matemáticas, para impartir ellos mismos una enseñanza de las características formativas que se han señalado antes como adecuadas. Motivaciones tal vez preponderantemente políticas introdujeron este cambio sustancial sin instituir al tiempo una reorientación y reforzamiento de la preparación de los maestros para esta transformación. El resultado está bastante patente.


Posibles medidas hacia una mejora

El panorama es, como se ve, bastante negro. Estamos muy lejos de donde deberíamos estar en lo que se refiere a nuestra educación matemática. Urge que la sociedad en general y especialmente quienes tienen a su cargo la orientación de la enseñanza se preocupen por resolver estos problemas cuanto antes con el fin de no perjudicar más a nuestros jóvenes, de no desaprovechar tanta energía y talento mal encauzado y de no ir quedándonos atrás en la formación matemática de nuestras jóvenes generaciones con respecto a las de otros muchos países en los que estos males, si los han sufrido, se han ido aminorando o corrigiendo plenamente.

En primer lugar, y con preponderancia sobre todos los otros medios que se puedan proponer, sería necesario reorientar la enseñanza elemental y secundaria hacia su cometido propio, que es la formación armoniosa de la personalidad, sin desviaciones bastardas hacia un exceso de información prematura ni hacia la preparación competitiva para exámenes o pruebas posteriores, errores en los que pueden incurrir fácilmente nuestros profesores peor preparados y más proclives a eludir la dificultad de su auténtica tarea importante. Es en el espíritu y formación de los profesores donde habría que poner casi todo el énfasis. La formación que oficialmente reciben los profesores en las Escuelas Universitarias de Profesorado de EGB es, en mi opinión, claramente insuficiente. Para impartir un conocimiento adecuadamente, con el espíritu formativo que he recalcado antes, habría que saberlo bien a fondo y ser capaz de saborearlo y colocarlo en su perspectiva propia. Para enseñar como 15 hay que saber como 100 y guardarse 85. La pedagogía puede ayudar a comunicar, pero con el que no sabe suficiente no ejercerá milagros. La formación que reciben los licenciados en nuestras Facultades suele estar muy sesgada hacia la investigación matemática. Incluso aquellos que deciden escoger la especialización en didáctica matemática carecen oficialmente de cursos dedicados, por ejemplo, a la historia y evolución de las ideas matemáticas, a las aplicaciones didácticas de los juegos matemáticos o a los problemas clásicos de la matemática, y se ven obligados, en cambio, a seguir cursos superespecializados que poco o nada útil les proporcionan para su futura tarea. Una ordenación más adecuada de la formación de las Escuelas Universitarias de Profesorado de EGB y de las Facultades no sería extraordinariamente difícil.

Por otra parte, sería necesario que los organismos oficiales, Ministerio, Institutos de Ciencias de la Educación, Universidades..., tomasen parte muy activa en la tarea de fomentar un ambiente matemático diferente, más activo, más cercano, más concreto, tal vez mediante el impulso a la producción de estudios y libros que incidan sobre los aspectos formativos de la matemática, con la publicación de revistas de enseñanza matemática que pudiesen encontrarse en todos los centros y que contribuyesen a poner en manos de nuestros profesores en forma cómoda el material más apto para una enseñanza adecuada.

En junio de 1983 los cuatro campeones olímpicos de nuestra olimpíada matemática nacional acudirán a Francia y participarán en la olimpíada matemática internacional. Creo que no podemos decir que nuestro actual sistema educativo les haya proporcionado una preparación equiparable a la de sus competidores. De todos modos lo más importante es participar.

M. de G. O.