Las relaciones entre las matemáticas y el arte son múltiples.
Muchos son los artistas que han extraído su inspiración de las
matemáticas, muchos han sido los que se han apoyado en ellas para
construir y analizar estructuras artísticas, musicales, poéticas,
arquitectónicas, etc. Dejando un lado tales consideraciones, que
nos podrían llevar muy lejos, trataremos ahora de concentrarnos en
la consideración de la matemática misma
como arte.
La afirmación de la naturaleza artística de la matemática
puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por
parte del hombre de un objeto bello, espero que tal afirmación
resulte justificada al término de las notas
que siguen.
Bertrand Russell (1872-1970), Autobiography, George
Allen and Unwin Ltd, 1967, v1, p158
It seems to me now that mathematics is capable of an
artistic excellence as great as that of any music,
perhaps greater; not because the pleasure it gives
(although very pure) is comparable, either in intensity
or in the number of people who feel it, to that of music,
but because it gives in absolute perfection that
combination, characteristic of great art, of godlike
freedom, with the sense of inevitable destiny; because,
in fact, it constructs an ideal world where everything is
perfect but true.
Me parece que la matemática puede presentar una excelencia artística tan
grande como la de la música, incluso mayor; no porque la belleza que ofrece
(aunque muy pura) sea comparable, ni en intensidad ni en el número de
personas que la perciben, a la de la música, sino porque proporciona en
perfección absoluta esa combinación, característica del gran arte, de libertad
divina junto con el sentido de un destino inevitable; porque de hecho
construye un mundo ideal donde todo es perfecto y verdadero.
Para los pitagóricos, la armonía, uno de los ingredientes de
la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de
todo el universo.
Aristóteles mismo se expresa así en su
Metafísica (Libro XII, Cap.III, 9): "Las formas que mejor expresan
la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias
matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente".
Son muchos los testimonios que confirman la existencia de un
verdadero placer estético en la creación y contemplación
matemática.
Así se expresa H.Poincaré en El valor de la ciencia:
"Más allá de la belleza sensible, coloreada y sonora, debida al
centelleo de las apariencias, única que el bárbaro conoce, la
ciencia nos revela una belleza superior, una belleza
inteligible, únicamente accesible, diría Platón, 'a los ojos del
alma', debida al orden armonioso de las partes, a la
correspondencia de las relaciones entre ellas, a la euritmia de
las proporciones, a las formas y a los números. El trabajo del
científico que descubre las analogías entre dos organismos, las
semejanzas entre dos grupos de fenómenos cualitativamente
diferentes, el isomorfismo de dos teorías matemáticas es semejante
al del artista".
Tal vez uno de los testimonios más elocuentes de esta
afirmación sea el diario personal de Gauss. En este diario,
escrito para él mismo especialmente en la etapa anterior a sus
veinte años, período de muchos de sus grandes descubrimientos, va
anotando, con un laconismo lleno de fuerza y entusiasmo, sus
observaciones sobre el universo matemático que se va desvelando
ante sus ojos asombrados.
Pero este mismo placer estético en la contemplación
matemática se da, en menor grado naturalmente, en todos aquellos a
quienes se les presentan adecuadamente los hechos y métodos más
salientes de la matemática elemental. Por supuesto que el goce
estético de la matemática se encuentra en el mundo de la armonía
intelectual, y así su percepción requiere una preparación inicial
tanto mayor cuanto más elevado sea el objeto que se presenta. Por
otra parte, así como el placer que puede proporcionar la pintura y
la música, dirigidas a nuestros sentidos, al menos de modo
inmediato, es perceptible hasta cierto grado con una contemplación
más o menos pasiva, el placer estético de la matemática exige sin
duda un grado de participación activa mucho más intenso. En el
mundo de la matemática, a fin de gozar del objeto bello que se
presenta, es necesario crearlo o recrearlo, de tal modo que el
goce estético aquí presente es comparable más bien con el de hacer
música, cantar, danzar, pintar, fabular,...
J.Bronowski, Science and Human Values, Pelican,
1964.
Mathematics in this sense is a form of poetry, which
has the same relation to the prose of practical
mathematics as poetry has to prose in any other
language. The element of poetry, the delight of
exploring the medium for its own sake, is an essential
ingredient in the creative process.
La matemática en este sentido es una forma de poesía que tiene la misma
relación con la prosa de la matemática práctica que la poesía tiene con la
prosa en cualquier otro lenguaje. El elemento de poesía, el placer de explorar
el medio por sí mismo, es un ingrediente esencial
en el proceso creativo.
Analizando la belleza matemática
Analicemos un poco más a fondo el origen de esta belleza
matemática desde una perspectiva clásica. La belleza en general ha
recibido muchas definiciones. S. Alberto Magno definió la belleza
en el objeto como splendor formae, el resplandor del núcleo
fundamental del ser, su unidad (armonía interna), su verdad (es
decir su inteligibilidad y adecuación consigo mismo y con el mundo
en su entorno), su bondad (su capacidad de llenar sus tendencias
propias y las de los seres a su alrededor). Estas cualidades deben
resplandecer de modo que sean accesibles y deleitables sin áspero
trabajo.
Otra definición clásica de la belleza es la de Sto. Tomás
de Aquino: Pulchra sunt quae visa placent. Bello es aquello que
resplandece luminoso en su propio ser de modo que a quien lo
contempla le proporciona el sosiego y la facilidad de una
percepción perfecta. Esto es la contemplación estética. Bello es
aquello que se manifiesta de tal forma que produce una actividad
armoniosa y compenetrada de las capacidades anímicas del hombre.
J.W.N.Sullivan (1886-1937), Aspects of Science, 1925.
Mathematics, as much as music or any other art, is one
of the means by which we rise to a complete
self-consciousness. The significance of Mathematics
resides precisely in the fact that it is an art; by
informing us of the nature of our own minds it informs
us of much that depends on our minds.
La matemática, tanto como la música o cualquier otro arte, es uno de los
medios por los que nos elevamos a una completa autoconciencia. La
importancia de la matemática reside precisamente en el hecho de que es un
arte. Al informarnos de la naturaleza de nuestra mente nos apercibe al mismo
tiempo de lo mucho que depende de nuestra mente.
No se puede tampoco pretender describir la belleza matemática
con un simple trazo. Me limitaré a señalar unos cuantos elementos
de belleza que, a mi parecer, constituyen componentes bastante
típicos en la actividad matemática.
Un tipo de belleza matemática consiste en el orden
intelectual que ante hechos aparentemente inconexos comienza a
aparecer. Como un paisaje desde lo alto de la montaña que se
devela de una bruma que lo cubría. Todo el objeto contemplado
aparece en conexión y la unidad lo invade. Objetos aparentemente
diversos que surgen en contextos diferentes resultan ser el mismo
o estar ligados por una estructura armoniosa. La contemplación
fácil de esta unidad es sin duda una de las fuentes de gozo
estético presente en la contemplación de muchos hechos
matemáticos.
Un ejemplo claro de este tipo de belleza se da en la
unificación, realizada or Félix Klein, de los diferentes tipos de
geometría hasta entonces existentes, a través de la teoría
de grupos, con la que todos ellos se pueden contemplar
como aspectos de una misma realidad
Lawrence University catalog, Cited in Essays in
Humanistic Mathematics, Alvin White, ed, MAA, 1993
Born of man's primitive urge to seek order in his world,
mathematics is an ever-evolving language for the
study of structure and pattern. Grounded in and
renewed by physical reality, mathematics rises through
sheer intellectual curiosity to levels of abstraction and
generality where unexpected, beautiful, and often
extremely useful connections and patterns emerge.
Mathematics is the natural home of both abstract
thought and the laws of nature. It is at once pure logic
and creative art.
Nacida del primitivo impulso de buscar order en este mundo, la matemática
es un lenguaje que se desarrolla continuamente para el estudio de la estructura
y del modelo. Basada en y renovada por la realidad física, la matemática se
eleva por mera curiosidad intelectual hacia niveles de abstracción y
generalidad donde surgen conexiones y esquemas inesperados, bellos y a
menudo extraordinariamente útiles. La matemática es al tiempo el hogar
natural del pensamiento abstracto y de las leyes de la naturaleza. Es
simultáneamente pura lógica y arte creativo.
Otro tipo de gozo matemático consiste en la realización de
una ampliación de perspectivas con la que de una visión parcial se
llega a la contemplación total de un objeto mucho más
esplendoroso, en el que nuestro cuadro inicial queda englobado
ocupando su lugar justo.
En la exposición actual de la teoría de
los números naturales, enteros, racionales, reales, complejos, se
resume toda una aventura apasionante del espíritu humano que, a
través de más de sesenta siglos de historia escrita, ha tenido sus
callejones aparentemente sin salida, sus idas y venidas, sus
paradojas.
Otro elemento estético presente muchas veces en la creación
matemática consiste en la posibilidad de una contemplación
descansada e inmediata de una verdad profunda, inesperada y llena
de implicaciones.
Como ejemplo extraído de la matemática elemental pueden
citarse alguna de las muchas demostraciones gráficas del teorema
de Pitágoras que no requeien más que posar la mirada sobre ellas.
Otro bello ejemplo es la demostración visual directa, lograda por
Dandelin, del hecho de que la sección del cono recto rectangular es
una cónica.
Naturalmente que los diferentes hechos matemáticos presentan
muy diversos grados de belleza. Muchos no contienen ningún
elemento bello. Es indudable que el que una proposición matemática
sea cierta no implica que sea bella. Que 2^32+1=641x6700417 es una
verdad matemática interesante por motivos históricos (es el quinto
número de Fermat que éste pensó que sería primo y que Euler
demostró que no lo era), pero carente de gran belleza intrínseca.
Existen teoremas claramente feos. Muchas teorías,
en su nacimiento penoso y reptante, han resultado
en un principio confusas y desprovistas de unidad y belleza. El
cálculo infinitesimal de los tiempos de Newton y Leibniz
constituye probablemente uno de los logros más importantes y
útiles de la ciencia moderna, pero el grado de confusión
en que en un principio se encontraba contribuyó intensamente a que
su expansión y aceptación fuesen mucho más lentas de lo que la
teoría y sus aplicaciones merecían.
G.H.Hardy (1877 - 1947), A Mathematician's Apology,
Cambridge University Press, 1994.
The mathematician's patterns, like the painter's or the
poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or
the words must fit together in a harmonious way.
Beauty is the first test: there is no permanent place in
this world for ugly mathematics.
Las líneas maestras del matemático, como las del pintor o las del poeta, han
de ser bellas. Las ideas, como el color o las palabras han de ajustarse entre sí
de una forma armoniosa. La belleza es la piedra de toque. No hay lugar
permanente en este mundo para la matemática fea.
¿Qué características debe presentar un hecho matemático para
que se pueda calificar como bello? La belleza matemática parece
incluir cualidades tales como seriedad, generalidad, profundidad,
inevitabilidad, economía de pensamiento, transparencia, sobriedad,
adecuación,...
La seriedad se manifiesta en las ideas que pone en
conexión, que normalmente dan lugar, en su desarrollo, a una buena
porción del campo matemático en que tal hecho se encuentra, ya sea
porque el método que lo crea es la clave que ilumina dicho campo,
ya sea porque el hecho en cuestión es el germen mismo de todo ese
cuerpo matemático. La generalidad se ha de dar con una cierta
mesura. La generalización por sí misma no es en muchos casos más
que el producto de una manía, sin gran valor. Pero es cierto que
un hecho demasiado concreto no despierta una gran admiración.
que a veces se encuentra en la demostración de tal o cual teorema o
hecho matemático. El proceso diagonal de Cantor, el método de
dualidad en geometría proyectiva son ejemplos característicos de
esta cualidad.
I.Newton, Letter to H.Oldenburg, the Secretary of the
Royal Society, October 24, 1676, in A Source Book in
Mathematics, D.J.Struik, ed, Princeton University
Press, 1990
I can hardly tell with what pleasure I have read the
letters of those very distinguished men Leibnitz and
Tschirnhaus. Leibnitz's method for obtaining
convergent series is certainly very elegant...
Apenas puedo describir con cuánto placer he leído las cartas de estas
personas tan extraordinarias, Leibnitz y Tschirnhaus. El método de Leibnitz
para obtener series convergentes es ciertamente muy elegante...
Allí donde hay belleza matemática, ésta no se agota
y su contemplación nunca cesa de producir ese sentimiento de
satisfacción, adecuación y acabamiento que una obra arquitectónica
perfecta produce en el ánimo de quien la contempla.
La cualidad artística de la matemática se manifiesta asimismo
en el proceso de su creación, que participa mucho de las
características del proceso creativo en cualquier otro arte.
Existe un magnífico estudio psicológico de J. Hadamard, gran
matemático él mismo, sobre el proceso creativo en matemáticas (La
psicología de la invención en el campo matemático). Otro de los
clásicos en este tema es una famosa conferencia pronunciada por
Poincaré ante la Socieda Francesa de Psicología titulada La
invención matemática. Quien no haya tenido alguna experiencia
creativa en matemáticas no podrá menos de sentirse asombrado ante
las observaciones de Poincaré sobre el proceso matemático. A juzgar
por el papel que desempeña la intuición, la inspiración, el
trabajo y el descanso, y aun el sueño, o el ensueño, uno pensaría
asistir a la composición de una sinfonía musical. Y en este
sentimiento de dádiva repentina que la creación matemática
comporta a menudo coinciden muchos matemáticos famosos como
atestigua el mismo estudio de Hadamard. Por eso puede afirmar
Poincaré con toda razón:
"Puede extrañar el ver apelar a la
sensibilidad apropósito de demostraciones matemáticas que, parece,
no pueden interesar más que a la inteligencia. Esto sería olvidar
el sentimiento de belleza matemática, de la armonía de los números
y de las formas, de la elegancia matemática. Todos los verdaderos
matemáticos conocen este sentimiento estético real. Y ciertamente
esto pertenece a la sensibilidad. Ahora bien, ¿cuáles son los
entes matemáticos a los que atribuímos estas características de
belleza y elegancia susceptibles de desarrollar en nosotros un
sentimiento de emoción estética? Son aquellos cuyos elementos
están dispuestos armoniosamente, de forma que la mente pueda sin
esfuerzo abrazar todo el conjunto penetrando en sus detalles. Esta
armonía es a la vez una satisfacción para nuestras necesidades
estéticas y una ayuda para la mente, a la que sostiene y guía. Y
al mismo tiempo, al colocar ante nuestros ojos un conjunto bien
ordenado, nos hace presentir una ley matemática... Así pues, es
esta sensibilidad estética especial la que desempeña el papel de
criba delicada de la que hablé antes. Esto permite comprender
suficientemente por qué quien no la posee no será nunca un
verdadero creador".
El que la matemática participe, efectivamente, de la
condición de creación artística no da, por supuesto, carta blanca
a los matemáticos para entregarse a un esteticismo estéril. La
cualidad artística de la matemática es como una dádiva con la que
se encuentran quienes se dedican a esta actividad que es, al mismo
tiempo y en grado muy intenso, ciencia y técnica. A este propósito
resultan muy acertadas las sensatas observaciones de uno de los
mejores matemáticos de este siglo, creador él mismo de un sinfín
de campos matemáticos diversos. Así dice John von Neumann en su
artículo El matemático:
"A medida que una disciplina matemática se
separa más y más de su fuente empírica o aún más si está inspirada
en ideas que provienen de la realidad de un modo sólo indirecto,
como de segunda o tercera mano, está más cercada de graves
peligros. Se va haciendo más y más esteticismo puro, se convierte
más y más en un puro arte por el arte. Esto no es necesariamente
malo si el campo en cuestión está rodeado de otros campos
relacionados con él que tengan todavía conexiones empíricas más
cercanas, o si la disciplina en cuestión está bajo la influencia
de hombres dotados de un gusto excepcionalmente bien desarrollado.
Pero existe un grave peligro de que este campo venga a
desarrollarse a lo largo de las líneas de menor resistencia, de
que la corriente, tan lejos de su fuente, venga a disgregarse en
una multitud de ramas insignificantes y de que la disciplina venga
a convertirse en una masa desordenada de detalles y complejidades.
En otras palabras, a gran distancia de su fuente empírica, o bien
después de mucha incubación abstracta, un campo matemático está en
peligro de degeneración".
F.Dyson, in Nature, March 10, 1956
Characteristic of Weyl was an aesthetic sense which
dominated his thinking on all subjects. He once said to
me, half-joking, "My work always tried to unite the true
with the beautiful; but when I had to choose one or the
other, I usually chose the beautiful." (Herman Weyl
(1885-1955))
Una característica de Weyl fue un sentido estético que dominó su
pensamiento en todos los aspectos. Una vez me dijo, medio en broma: "Mi
trabajo ha tratado siempre de enlazar lo verdadero con lo bello, pero cuando
tenía que escoger entre lo uno y lo otro, usalmente
he escogido lo bello".
O.Spengler, in J.Newman, The World of Mathematics,
Simon & Schuster, 1956
To Goethe again we owe the profound saying: "the
mathematician is only complete in so far as he feels
within himself the beauty of the true."
A Goethe le debemos también este profundo pensamiento: "El matemático es
completo solamente cuando percibe en su interior la
belleza de lo verdadero".
O.Spengler, in J.Newman, The World of Mathematics,
Simon & Schuster, 1956
"A mathematician," said old Weierstrass, "who is not at
the same time a bit of a poet will never be a full
mathematician."
"Un matemático", solía decir el viejo Weierstrass, "que no tiene al mismo
tiempo un algo de poeta nunca será un matemático
completo."
Jakob Bernoulli, Tractatus de Seriebus Infinitis, 1689
(quoted in From Five Fingers to Infinity, F.J.Swetz (ed),
Open Court, 1996)
So the soul of immensity dwells in minutia.
And in narrowest limits no limits inhere.
What joy to discern the minute in infinity!
The vast to perceive in the small, what divinity!
El alma de la inmensidad habita en lo pequeño.
Y en los más estrechos límites no hay límite alguno.
¡Qué gozo distinguir lo diminuto en el infinito!
Percibir lo vasto en lo pequeño, ¡qué
divinidad!
Si hay espacio suficiente se pueden introducir las demostraciones visuales del teorema de Pitágoras, las esferas de Dandelin, la descripción del método diagonal de Cantor.