QUEHACER MATEMÁTICO Y SENTIDO ESTÉTICO
Miguel de Guzmán
La matemática como arte

Las relaciones entre las matemáticas y el arte son múltiples.

Muchos son los artistas que han extraído su inspiración de las

matemáticas, muchos han sido los que se han apoyado en ellas para

construir y analizar estructuras artísticas, musicales, poéticas,

arquitectónicas, etc. Dejando un lado tales consideraciones, que

nos podrían llevar muy lejos, trataremos ahora de concentrarnos en

la consideración de la matemática misma como arte.
 

La afirmación de la naturaleza artística de la matemática

puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por

parte del hombre de un objeto bello, espero que tal afirmación

resulte justificada al término de las notas que siguen.
 

Bertrand Russell (1872-1970), Autobiography, George

Allen and Unwin Ltd, 1967, v1, p158

It seems to me now that mathematics is capable of an

artistic excellence as great as that of any music,

perhaps greater; not because the pleasure it gives

(although very pure) is comparable, either in intensity

or in the number of people who feel it, to that of music,

but because it gives in absolute perfection that

combination, characteristic of great art, of godlike

freedom, with the sense of inevitable destiny; because,

in fact, it constructs an ideal world where everything is

perfect but true.

Me parece que la matemática puede presentar una excelencia artística tan

grande como la de la música, incluso mayor; no porque la belleza que ofrece

(aunque muy pura) sea comparable, ni en intensidad ni en el número de

personas que la perciben, a la de la música, sino porque proporciona en

perfección absoluta esa combinación, característica del gran arte, de libertad

divina junto con el sentido de un destino inevitable; porque de hecho

construye un mundo ideal donde todo es perfecto y verdadero.
 

Para los pitagóricos, la armonía, uno de los ingredientes de

la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de

todo el universo.

Aristóteles mismo se expresa así en su

Metafísica (Libro XII, Cap.III, 9): "Las formas que mejor expresan

la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias

matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente".
 
 

Son muchos los testimonios que confirman la existencia de un

verdadero placer estético en la creación y contemplación

matemática.
 
 

Así se expresa H.Poincaré en El valor de la ciencia:

"Más allá de la belleza sensible, coloreada y sonora, debida al

centelleo de las apariencias, única que el bárbaro conoce, la

ciencia nos revela una belleza superior, una belleza

inteligible, únicamente accesible, diría Platón, 'a los ojos del

alma', debida al orden armonioso de las partes, a la

correspondencia de las relaciones entre ellas, a la euritmia de

las proporciones, a las formas y a los números. El trabajo del

científico que descubre las analogías entre dos organismos, las

semejanzas entre dos grupos de fenómenos cualitativamente

diferentes, el isomorfismo de dos teorías matemáticas es semejante

al del artista".
 
 

Tal vez uno de los testimonios más elocuentes de esta

afirmación sea el diario personal de Gauss. En este diario,

escrito para él mismo especialmente en la etapa anterior a sus

veinte años, período de muchos de sus grandes descubrimientos, va

anotando, con un laconismo lleno de fuerza y entusiasmo, sus

observaciones sobre el universo matemático que se va desvelando

ante sus ojos asombrados.
 
 

Pero este mismo placer estético en la contemplación

matemática se da, en menor grado naturalmente, en todos aquellos a

quienes se les presentan adecuadamente los hechos y métodos más

salientes de la matemática elemental. Por supuesto que el goce

estético de la matemática se encuentra en el mundo de la armonía

intelectual, y así su percepción requiere una preparación inicial

tanto mayor cuanto más elevado sea el objeto que se presenta. Por

otra parte, así como el placer que puede proporcionar la pintura y

la música, dirigidas a nuestros sentidos, al menos de modo

inmediato, es perceptible hasta cierto grado con una contemplación

más o menos pasiva, el placer estético de la matemática exige sin

duda un grado de participación activa mucho más intenso. En el

mundo de la matemática, a fin de gozar del objeto bello que se

presenta, es necesario crearlo o recrearlo, de tal modo que el

goce estético aquí presente es comparable más bien con el de hacer

música, cantar, danzar, pintar, fabular,...
 
 
 

J.Bronowski, Science and Human Values, Pelican,

1964.

Mathematics in this sense is a form of poetry, which

has the same relation to the prose of practical

mathematics as poetry has to prose in any other

language. The element of poetry, the delight of

exploring the medium for its own sake, is an essential

ingredient in the creative process.

La matemática en este sentido es una forma de poesía que tiene la misma

relación con la prosa de la matemática práctica que la poesía tiene con la

prosa en cualquier otro lenguaje. El elemento de poesía, el placer de explorar

el medio por sí mismo, es un ingrediente esencial en el proceso creativo.
 
 

Analizando la belleza matemática

Analicemos un poco más a fondo el origen de esta belleza

matemática desde una perspectiva clásica. La belleza en general ha

recibido muchas definiciones. S. Alberto Magno definió la belleza

en el objeto como splendor formae, el resplandor del núcleo

fundamental del ser, su unidad (armonía interna), su verdad (es

decir su inteligibilidad y adecuación consigo mismo y con el mundo

en su entorno), su bondad (su capacidad de llenar sus tendencias

propias y las de los seres a su alrededor). Estas cualidades deben

resplandecer de modo que sean accesibles y deleitables sin áspero

trabajo.

Otra definición clásica de la belleza es la de Sto. Tomás

de Aquino: Pulchra sunt quae visa placent. Bello es aquello que

resplandece luminoso en su propio ser de modo que a quien lo

contempla le proporciona el sosiego y la facilidad de una

percepción perfecta. Esto es la contemplación estética. Bello es

aquello que se manifiesta de tal forma que produce una actividad

armoniosa y compenetrada de las capacidades anímicas del hombre.

J.W.N.Sullivan (1886-1937), Aspects of Science, 1925.

Mathematics, as much as music or any other art, is one

of the means by which we rise to a complete

self-consciousness. The significance of Mathematics

resides precisely in the fact that it is an art; by

informing us of the nature of our own minds it informs

us of much that depends on our minds.

La matemática, tanto como la música o cualquier otro arte, es uno de los

medios por los que nos elevamos a una completa autoconciencia. La

importancia de la matemática reside precisamente en el hecho de que es un

arte. Al informarnos de la naturaleza de nuestra mente nos apercibe al mismo

tiempo de lo mucho que depende de nuestra mente.

No se puede tampoco pretender describir la belleza matemática

con un simple trazo. Me limitaré a señalar unos cuantos elementos

de belleza que, a mi parecer, constituyen componentes bastante

típicos en la actividad matemática.

Un tipo de belleza matemática consiste en el orden

intelectual que ante hechos aparentemente inconexos comienza a

aparecer. Como un paisaje desde lo alto de la montaña que se

devela de una bruma que lo cubría. Todo el objeto contemplado

aparece en conexión y la unidad lo invade. Objetos aparentemente

diversos que surgen en contextos diferentes resultan ser el mismo

o estar ligados por una estructura armoniosa. La contemplación

fácil de esta unidad es sin duda una de las fuentes de gozo

estético presente en la contemplación de muchos hechos

matemáticos.

Un ejemplo claro de este tipo de belleza se da en la

unificación, realizada or Félix Klein, de los diferentes tipos de

geometría hasta entonces existentes, a través de la teoría

de grupos, con la que todos ellos se pueden contemplar

como aspectos de una misma realidad

Lawrence University catalog, Cited in Essays in

Humanistic Mathematics, Alvin White, ed, MAA, 1993

Born of man's primitive urge to seek order in his world,

mathematics is an ever-evolving language for the

study of structure and pattern. Grounded in and

renewed by physical reality, mathematics rises through

sheer intellectual curiosity to levels of abstraction and

generality where unexpected, beautiful, and often

extremely useful connections and patterns emerge.

Mathematics is the natural home of both abstract

thought and the laws of nature. It is at once pure logic

and creative art.

Nacida del primitivo impulso de buscar order en este mundo, la matemática

es un lenguaje que se desarrolla continuamente para el estudio de la estructura

y del modelo. Basada en y renovada por la realidad física, la matemática se

eleva por mera curiosidad intelectual hacia niveles de abstracción y

generalidad donde surgen conexiones y esquemas inesperados, bellos y a

menudo extraordinariamente útiles. La matemática es al tiempo el hogar

natural del pensamiento abstracto y de las leyes de la naturaleza. Es

simultáneamente pura lógica y arte creativo.

Otro tipo de gozo matemático consiste en la realización de

una ampliación de perspectivas con la que de una visión parcial se

llega a la contemplación total de un objeto mucho más

esplendoroso, en el que nuestro cuadro inicial queda englobado

ocupando su lugar justo.

En la exposición actual de la teoría de

los números naturales, enteros, racionales, reales, complejos, se

resume toda una aventura apasionante del espíritu humano que, a

través de más de sesenta siglos de historia escrita, ha tenido sus

callejones aparentemente sin salida, sus idas y venidas, sus

paradojas.

Otro elemento estético presente muchas veces en la creación

matemática consiste en la posibilidad de una contemplación

descansada e inmediata de una verdad profunda, inesperada y llena

de implicaciones.

Como ejemplo extraído de la matemática elemental pueden

citarse alguna de las muchas demostraciones gráficas del teorema

de Pitágoras que no requeien más que posar la mirada sobre ellas.

Otro bello ejemplo es la demostración visual directa, lograda por

Dandelin, del hecho de que la sección del cono recto rectangular es

una cónica.

Naturalmente que los diferentes hechos matemáticos presentan

muy diversos grados de belleza. Muchos no contienen ningún

elemento bello. Es indudable que el que una proposición matemática

sea cierta no implica que sea bella. Que 2^32+1=641x6700417 es una

verdad matemática interesante por motivos históricos (es el quinto

número de Fermat que éste pensó que sería primo y que Euler

demostró que no lo era), pero carente de gran belleza intrínseca.

Existen teoremas claramente feos. Muchas teorías,

en su nacimiento penoso y reptante, han resultado

en un principio confusas y desprovistas de unidad y belleza. El

cálculo infinitesimal de los tiempos de Newton y Leibniz

constituye probablemente uno de los logros más importantes y

útiles de la ciencia moderna, pero el grado de confusión

en que en un principio se encontraba contribuyó intensamente a que

su expansión y aceptación fuesen mucho más lentas de lo que la

teoría y sus aplicaciones merecían.

G.H.Hardy (1877 - 1947), A Mathematician's Apology,

Cambridge University Press, 1994.

The mathematician's patterns, like the painter's or the

poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or

the words must fit together in a harmonious way.

Beauty is the first test: there is no permanent place in

this world for ugly mathematics.

Las líneas maestras del matemático, como las del pintor o las del poeta, han

de ser bellas. Las ideas, como el color o las palabras han de ajustarse entre sí

de una forma armoniosa. La belleza es la piedra de toque. No hay lugar

permanente en este mundo para la matemática fea.

¿Qué características debe presentar un hecho matemático para

que se pueda calificar como bello? La belleza matemática parece

incluir cualidades tales como seriedad, generalidad, profundidad,

inevitabilidad, economía de pensamiento, transparencia, sobriedad,

adecuación,...

La seriedad se manifiesta en las ideas que pone en

conexión, que normalmente dan lugar, en su desarrollo, a una buena

porción del campo matemático en que tal hecho se encuentra, ya sea

porque el método que lo crea es la clave que ilumina dicho campo,

ya sea porque el hecho en cuestión es el germen mismo de todo ese

cuerpo matemático. La generalidad se ha de dar con una cierta

mesura. La generalización por sí misma no es en muchos casos más

que el producto de una manía, sin gran valor. Pero es cierto que

un hecho demasiado concreto no despierta una gran admiración.

Los matemáticos suelen calificar un método de "elegante" para indicar el tipo de sobriedad, economía de medios y transparencia

que a veces se encuentra en la demostración de tal o cual teorema o

hecho matemático. El proceso diagonal de Cantor, el método de

dualidad en geometría proyectiva son ejemplos característicos de

esta cualidad.

I.Newton, Letter to H.Oldenburg, the Secretary of the

Royal Society, October 24, 1676, in A Source Book in

Mathematics, D.J.Struik, ed, Princeton University

Press, 1990

I can hardly tell with what pleasure I have read the

letters of those very distinguished men Leibnitz and

Tschirnhaus. Leibnitz's method for obtaining

convergent series is certainly very elegant...

Apenas puedo describir con cuánto placer he leído las cartas de estas

personas tan extraordinarias, Leibnitz y Tschirnhaus. El método de Leibnitz

para obtener series convergentes es ciertamente muy elegante...

Allí donde hay belleza matemática, ésta no se agota

y su contemplación nunca cesa de producir ese sentimiento de

satisfacción, adecuación y acabamiento que una obra arquitectónica

perfecta produce en el ánimo de quien la contempla.

La cualidad artística de la matemática se manifiesta asimismo

en el proceso de su creación, que participa mucho de las

características del proceso creativo en cualquier otro arte.

Existe un magnífico estudio psicológico de J. Hadamard, gran

matemático él mismo, sobre el proceso creativo en matemáticas (La

psicología de la invención en el campo matemático). Otro de los

clásicos en este tema es una famosa conferencia pronunciada por

Poincaré ante la Socieda Francesa de Psicología titulada La

invención matemática. Quien no haya tenido alguna experiencia

creativa en matemáticas no podrá menos de sentirse asombrado ante

las observaciones de Poincaré sobre el proceso matemático. A juzgar

por el papel que desempeña la intuición, la inspiración, el

trabajo y el descanso, y aun el sueño, o el ensueño, uno pensaría

asistir a la composición de una sinfonía musical. Y en este

sentimiento de dádiva repentina que la creación matemática

comporta a menudo coinciden muchos matemáticos famosos como

atestigua el mismo estudio de Hadamard. Por eso puede afirmar

Poincaré con toda razón:

"Puede extrañar el ver apelar a la

sensibilidad apropósito de demostraciones matemáticas que, parece,

no pueden interesar más que a la inteligencia. Esto sería olvidar

el sentimiento de belleza matemática, de la armonía de los números

y de las formas, de la elegancia matemática. Todos los verdaderos

matemáticos conocen este sentimiento estético real. Y ciertamente

esto pertenece a la sensibilidad. Ahora bien, ¿cuáles son los

entes matemáticos a los que atribuímos estas características de

belleza y elegancia susceptibles de desarrollar en nosotros un

sentimiento de emoción estética? Son aquellos cuyos elementos

están dispuestos armoniosamente, de forma que la mente pueda sin

esfuerzo abrazar todo el conjunto penetrando en sus detalles. Esta

armonía es a la vez una satisfacción para nuestras necesidades

estéticas y una ayuda para la mente, a la que sostiene y guía. Y

al mismo tiempo, al colocar ante nuestros ojos un conjunto bien

ordenado, nos hace presentir una ley matemática... Así pues, es

esta sensibilidad estética especial la que desempeña el papel de

criba delicada de la que hablé antes. Esto permite comprender

suficientemente por qué quien no la posee no será nunca un

verdadero creador".

El que la matemática participe, efectivamente, de la

condición de creación artística no da, por supuesto, carta blanca

a los matemáticos para entregarse a un esteticismo estéril. La

cualidad artística de la matemática es como una dádiva con la que

se encuentran quienes se dedican a esta actividad que es, al mismo

tiempo y en grado muy intenso, ciencia y técnica. A este propósito

resultan muy acertadas las sensatas observaciones de uno de los

mejores matemáticos de este siglo, creador él mismo de un sinfín

de campos matemáticos diversos. Así dice John von Neumann en su

artículo El matemático:

"A medida que una disciplina matemática se

separa más y más de su fuente empírica o aún más si está inspirada

en ideas que provienen de la realidad de un modo sólo indirecto,

como de segunda o tercera mano, está más cercada de graves

peligros. Se va haciendo más y más esteticismo puro, se convierte

más y más en un puro arte por el arte. Esto no es necesariamente

malo si el campo en cuestión está rodeado de otros campos

relacionados con él que tengan todavía conexiones empíricas más

cercanas, o si la disciplina en cuestión está bajo la influencia

de hombres dotados de un gusto excepcionalmente bien desarrollado.

Pero existe un grave peligro de que este campo venga a

desarrollarse a lo largo de las líneas de menor resistencia, de

que la corriente, tan lejos de su fuente, venga a disgregarse en

una multitud de ramas insignificantes y de que la disciplina venga

a convertirse en una masa desordenada de detalles y complejidades.

En otras palabras, a gran distancia de su fuente empírica, o bien

después de mucha incubación abstracta, un campo matemático está en

peligro de degeneración".

F.Dyson, in Nature, March 10, 1956

Characteristic of Weyl was an aesthetic sense which

dominated his thinking on all subjects. He once said to

me, half-joking, "My work always tried to unite the true

with the beautiful; but when I had to choose one or the

other, I usually chose the beautiful." (Herman Weyl

(1885-1955))

Una característica de Weyl fue un sentido estético que dominó su

pensamiento en todos los aspectos. Una vez me dijo, medio en broma: "Mi

trabajo ha tratado siempre de enlazar lo verdadero con lo bello, pero cuando

tenía que escoger entre lo uno y lo otro, usalmente he escogido lo bello".
 
 

O.Spengler, in J.Newman, The World of Mathematics,

Simon & Schuster, 1956

To Goethe again we owe the profound saying: "the

mathematician is only complete in so far as he feels

within himself the beauty of the true."

A Goethe le debemos también este profundo pensamiento: "El matemático es

completo solamente cuando percibe en su interior la belleza de lo verdadero".
 
 

O.Spengler, in J.Newman, The World of Mathematics,

Simon & Schuster, 1956

"A mathematician," said old Weierstrass, "who is not at

the same time a bit of a poet will never be a full

mathematician."

"Un matemático", solía decir el viejo Weierstrass, "que no tiene al mismo

tiempo un algo de poeta nunca será un matemático completo."
 
 
 
 

Jakob Bernoulli, Tractatus de Seriebus Infinitis, 1689

(quoted in From Five Fingers to Infinity, F.J.Swetz (ed),

Open Court, 1996)

So the soul of immensity dwells in minutia.

And in narrowest limits no limits inhere.

What joy to discern the minute in infinity!

The vast to perceive in the small, what divinity!

El alma de la inmensidad habita en lo pequeño.

Y en los más estrechos límites no hay límite alguno.

¡Qué gozo distinguir lo diminuto en el infinito!

Percibir lo vasto en lo pequeño, ¡qué divinidad!
 
 

Si hay espacio suficiente se pueden introducir las demostraciones visuales del teorema de Pitágoras, las esferas de Dandelin, la descripción del método diagonal de Cantor.