MATEMATICAS Y ESTRUCTURA DE LA NATURALEZA
¿Matemáticas y... Estructura de la Naturaleza?
Matemáticas, todos lo sabemos, es 2+2=4, log 2=0'301030..., tgx=senx/cosx,
pi= 3'14... es la razón entre el perímetro y el diámetro
de una circunferencia, dos triángulos son semejantes cuando...,
¿qué pueden tener que ver tales cosas nada menos que con
laestructura
de la naturaleza?
¡Ni siquiera
a los matemáticos normales les oímos nada sobre tal relación!
Que tenga que ver con la tecnología, con los cálculos relacionados
con la construcción de un satélite que ha de viajar al espacio,
pase, pero con... ¡la estructura de la naturaleza!
¿No estaremos delante de una exageración, una tremenda hipérbole,
o tal vez ante una estrategia de propaganda en favor de algo tan abstruso
como las matemáticas que necesita disfrazarse para encontrar cierto
prestigio o al menos cierta comprensión en la gente crédula?
¿No serán quimeras de iluminado?
Mi intención, con las consideraciones
que siguen, es tratar de ayudar a contemplar la matemática bajo
la misma luz con la que durante muchos siglos muchas personas la han considerado.
Es cierto que nosotros mismos, los profesionales de la matemática,
una gran mayoría, nos hemos vuelto bastante prosaicos en nuestra
propia concepción de lo que la matemática representa. Para
una gran parte de nosotros la matemática es una especie de herramienta,
más o menos complicada, pero muy potente para manejar bien ciertos
problemas prácticos, o bien una serie de elucubraciones que la tradición
nos ha entregado y que, no sabemos muy bien por qué razón,
viene bien que transmitamos a los más jóvenes.
Pero hubo un tiempo, en el nacimiento mismo
de la matemática tal como hoy la concebimos, hace más de
25 siglos, a finales del siglo 6 a. de C., en que todo esto fue muy diferente.
Para la comunidad de los pitagóricos, en cuyo seno fue gestada la
matemática al modo que hoy la cultivamos, el pensamiento matemático
era la escala hacia la comprensión del universo, hacia el conocimiento
de "las raíces y fuentes de la naturaleza", como se expresan frecuentemente
los documentos del pitagorismo primitivo conservados y esta era su función
más importante.
La estela del pitagorismo en la historia
de la civilización humana es bien patente, especialmente en la del
pensamiento occidental, con Platón actuando como influyente transmisor
del pensamiento pitagórico. A lo largo de la historia unas veces
se manifiesta de forma bien explícita, como en el propio Platón,
los neopitagóricos, los neoplatónicos, la Kabala, Galileo,
Kepler,... y otras más implícitamente, por ejemplo en el
mismo fundamento de nuestra actual concepción científica,
a través del pensamiento básico de que el universo en que
vivimos es un cosmos ordenado, no un caos, es un mundo inteligible mediante
la luz de la razón, y en muchos aspectos a través de la razón
matematizante.
Los pitagóricos: de los números a la divinidad
El siguiente testimonio puede resultar,
en una primera consideración, un tanto chocante para los que vivimos
acostumbrados a la concepción prosaica de la matemática,
que somos la mayor parte de nosotros. Proviene de un pitagórico
del siglo 4 a. de C., Filolao, y constituye una especie de himno entusiasmado
al número.
Grande, todopoderosa, todoperfeccionadora y divina
es la fuerza del número,
comienzo y regidor de la vida divina y humana,
participante de todo.
Sin el número todo es confuso y oscuro.
...
Porque nada de las cosas nos sería claro
ni en su mismo ser ni en sus relaciones mutuas
si no existiera el número y su esencia.
El es quien armoniza en el alma
las cosas con su percepción
haciéndolas cognoscibles y congruentes unas con otras
según su naturaleza,
proporcionándoles corporeidad.
¿Cómo llegó Pitágoras
a esta percepción profunda que ha sido capaz de iluminar una buena
parte de la vida intelectual de los 25 siglos que de él nos separan?
¿Cómo es posible que su idea haya calado tan profundamente
en el pensamiento humano hasta convertirse en el centro de vida de todo
un movimiento científico-filosófico-religioso que ha perdurado
de forma organizada durante unos cuantos siglos y que hoy mismo ejerce
una influencia y una fuerza de atracción tan poderosa como tendremos
ocasión de ver?
La iluminación fundamental de Pitágoras está sostenida sobre tres constataciones que él tuvo ocasión de realizar, sobre todo a lo largo de sus viajes de estudio por los países de sabiduría milenaria de Mesopotamia y Egipto.
1) Del legado babilonio y egipcio Pitágoras
había aprendido que los movimientos de los astros están
gobernados por leyes numéricas.
2) Sobre todo a través de los desarrollos
geométricos de los egipcios Pitágoras sabía también
que las formas de las figuras geométricas se ajustan a los números
y sus proporciones.
3) Parece estar bastante bien documentado
que Pitágoras tuvo ocasión de comprobar, a través
de experimentos realizados por sí mismo, posiblemente a través
del monocordio, un instrumento sonoro con una sola cuerda, que la armonía
de los sonidos está regida por los números.
De estos tres hechos, con una audaz extrapolación
propia del verdadero genio que era, Pitágoras dedujo que todo
en el universo está regido por el número, y mediante él
llegamos a las raíces y fuentes de la naturaleza.
Para Pitágoras la matemática
(el número) se dirige en realidad a la exploración del universo
entero, en primer lugar hacia la estructura de lo cercano, de lo sensible,
pero también hacia la estructura de la mente, incluso constituye
un modo de acercamiento a la divinidad.
Esta sorprendente iluminación de
Pitágoras es comentada como sigue por Alfred N. Whitehead, al final
del primer capítulo de su obra Science in the Modern World
(1925):
Verdaderamente Pitágoras, con su fundación de la filosofía y de la matemática europeas, las dotó con la más afortunada de las conjeturas.
¿O acaso fue un resplandor de
genio divino que penetró hasta la naturaleza más íntima
de las cosas?
Tal fundación de la filosofía
y de la matemática europea no tuvo lugar como un fenómeno
singular e individual, sino a través de lo que ha sido sin duda
uno de los movimientos intelectuales más influyentes y duraderos
en la historia del pensamiento humano. La comunidad de índole filosófico-científico-religiosa
que se creó alrededor de Pitágoras en la Magna Grecia (situada
al sur de lo que ahora es la península italiana, y que comprendía
ciudades libres tales como Crotona, Tarento,...) alcanzó una fuerte
identidad que la hizo perdurar por varios siglos alrededor de unas creencias
que resume así Dicaiarcos, un discípulo de Aristóteles,
en el siglo 4 a. de C. (lo narra Porfirio, neoplatónico del siglo
3 d. de C.):
(1) Que el alma es inmortal.
(2) Que las almas cambian su lugar,
pasando de una forma a otra (metempsicosis).
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna
en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo (eterno retorno).
(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.
Trataremos a continuación de examinar
los aspectos que han perdurado a través del tiempo de la visión
interesante y profunda de los pitagóricos.
¿Qué hay de válido en el fondo de la concepción de la matemática de los pitagóricos?
¿Qué se puede pensar sobre la iluminación pitagórica después de 25 siglos de evolución ascendente de la matemática? La descripción general del quehacer matemático que se expone a continuación podría ser compartida sin problemas, pienso yo, por la mayor parte de los matemáticos contemporáneos. Como veremos, incorpora algunos de los rasgos de la intención de los pitagóricos. Cuando más adelante descendamos a la interpretación, un poco más detallada, del significado de esta actividad, entonces es cuando deberemos hacer notar las divergencias existentes entre los mismos matemáticos de la actualidad.
La
matemática es una exploración de ciertas estructuras complejas
de la realidad que, mediante un proceso de simbolización adecuado
de los objetos a los que se acerca, y mediante una manipulación
racional rigurosa de ellos, se dirige hacia un dominio efectivo de dicha
realidad.
Las estructuras complejas
de la realidad que en un principio trató de explorar la actividad
matemática fueron las relacionadas con la multiplicidad y con el
espacio, las dos estructuras básicas con las que el hombre se enfrenta
de una forma espontánea y apremiante. De la intención racional
de conseguir el dominio de estas realidades surgieron la aritmética
y la geometría. Esta es la razón de que, en un principio,
y por mucho tiempo, la matemática fuera definida como la ciencia
del número y de la extensión.
Pero cuando las herramientas conceptuales de la matemática iniciales, número y geometría, fueron haciéndose más sofisticadas, cuando los instrumentos materiales de observación de otro tipo de estructuras de la realidad fueron perfeccionándose, y cuando se despertó la motivación suficiente para tratar de dominar otras regiones de la realidad material o conceptual, la mente matematizante fue creando otros sistemas adecuados para lograr el señorío de tales estructuras. Así es como nacieron, por ejemplo,
el álgebra, como símbolo del símbolo, es decir como un intento simplificador, a través de la introducción de nuevos modos de simbolización, de las relaciones de la aritmética,
el análisis matemático, fruto en un principio de la exploración del cambio físico en el tiempo y del estudio cuantitativo de la relación causa-efecto cuando ésta es suficientemente simple de analizar,
la probabilidad y la estadística, que encuentran modos de manejar cuantitativamente el azar, es decir aquellas situaciones en las que las causas que en ellas influyen son tantas y tan complejas que la mente matematizante ha de renunciar a examinar el influjo aislado de cada una para explorar de otro modo la influencia global de todas ellas,
la lógica matemática, que trata de explorar de modo riguroso las estructuras de funcionamiento deductivo de la misma mente cuando se ocupa de
temas en los que tales estructuras
son susceptibles del proceso de simbolización y manipulación
rigurosa que llamamos matematización,...
El avance de la matemática,
como vemos, tiene lugar, en extensión, a medida que la mente humana
se va encontrando capacitada y provista de las herramientas adecuadas,
conceptuales y materiales, para explorar nuevos campos de la realidad,
ya sea externa o interna, y este proceso parece que nunca llegará
a su fin, dada la extrema complejidad del mundo real, que siempre va ofreciendo
nuevos retos a la mente con intención matematizante.
En tiempos recientes, gracias
a la disponibilidad de un gran cúmulo de herramientas conceptuales
nuevas, en torno fundamentalmente al análisis matemático,
y gracias también a la presencia de la revolucionaria herramienta
que constituye el ordenador, ha surgido la posibilidad de iniciar, a través
de la teoría de los sistemas dinámicos, la exploración
de los fenómenos de la naturaleza que no son lineales (es decir
el efecto no es proporcional a la causa, sino por ejemplo al cuadrado de
la causa), y esto ha abierto una ventana para contemplar de cerca lo que
se suele denominar caos matemático.
Un reto que se perfila para
el futuro, en el que en nuestro tiempo han comenzado los primeros balbuceos,
consiste en la exploración, mediante nuevas herramientas matemáticas,
del funcionamiento global de la mente humana, del problema, por ejemplo,
de encontrar explicaciones al fenómeno de la conciencia refleja,
es decir al modo en que la mente conoce que conoce.
El proceso de matematización:
un camino de ida y vuelta entre la realidad y las ideas.
Hasta aquí hemos tenido ocasión
de contemplar cuál es el sentido del quehacer matemático,
es decir qué es lo que con eso que hemos llamado matematización
se pretende. Vamos ahora a examinar un poco más profundamente cómo
tiene lugar tal proceso, cuáles y cómo son las fases a través
de las que la mente procede a la matematización.
¿Cómo es propiamente el proceso
de matematización? A grandes rasgos se pueden distinguir las siguientes
etapas:
1) la mente se acerca a la realidad con intención matematizante
es decir, colocada ante una realidad tal
vez muy compleja la mente se encuentra motivada y suficientemente provista
de instrumentos adecuados para acercarse a ella y comenzar a analizarla,
es decir a descomponerla en sus elementos más simples, a prescindir
de multitud de aspectos de esa realidad que son los causantes de su extraordinaria
complejidad, a quedarse con unos cuantos que le parecen más propicios
para empezar a practicar sobre ellos el ejercicio de simbolización
e introducción en las redes y estructuras de sus conocimientos ya
familiares a fin de aplicarles a ellos los útiles matemáticos
que ya posee o de crear otros nuevos más idóneos para lo
que le ha quedado de la realidad que se ha propuesto analizar. En otras
palabras, abstrae, simplifica, modeliza, pero también hay que decirlo,
mutila la realidad para tratar de entenderla, al menos parcialmente.
2) el matemático desarrolla el propio modelo mental que ha creado
guiada la mente unas veces por el deseo
de resolver los problemas prácticos que condujeron a la creación
del modelo, otras veces motivada por un cierto placer estético de
exploración de los problemas que el modelo mismo le propone de forma
natural,... la mente va desarrollando, en ocasiones incluso con una extensión
y profundidad que pueden parecer poco razonables, un edificio conceptual
que, según confía, puede ayudarle a entender mejor la realidad
misma que inició su construcción
3) la mente vuelve a la realidad de partida
con los resultados que sus construcciones le ofrecen,
a veces realizadas sin pretensión alguna de aplicación a la realidad, y...
¡ observa con sorpresa su adecuación a ella, a veces perfecta!
tal ha sido la situación en muchos
casos de la historia del desarrollo de la matemática, tanto en tiempos
antiguos como recientes; un caso bien conocido y que no necesita mucho
comentario es el profundo desarrollo de la teoría de las cónicas
en la matemática griega clásica, que tiene su origen en la
curiosidad geométrica por saber cómo son las posibles secciones
de un cono y que, llevado adelante con un alarde extraordinario de técnica
por Apolonio en el siglo 3 a. de C., en buena parte por puro placer estético,
encontró en el siglo 17, con Kepler y sus tres leyes sobre el movimiento
de los planetas, una culminación digna de esta bella construcción
teórica sobre las cónicas.
Este extraño camino, contacto inicial con una realidad, abstracción de unos cuantos aspectos de ella, construcción de todo un edificio mental por motivos que pueden ser tan variados y aterrizaje sobre la realidad inicial, que parece adaptarse a las construcciones realizadas, le deja a uno con una sensación semejante a la que uno cualquiera de nosotros experimentaría en la situación siguiente. Un buen día, basado en unos pocos detalles que conozco de la vida de una persona, me decido a escribir una novela sobre ella. Después de haberla escrito toda ella, con multitud de detalles, que yo considero ficticios, llego a conocer a tal persona... ¡y me entero de que mi descripción se ajusta, punto por punto, a la realidad! Por su puesto que mi asombro sería enorme.
No es de extrañar que este misterio
de la adecuación de nuestra teoría a la realidad haya dejado
perplejos a muchos de los científicos que han reflexionado sobre
ella. He aquí tres testimonios llamativos. El primero pertenece
a E. Wigner, gran físico que recibió el premio Nobel en 1963,
en un famoso artículo que lleva el significativo título La
irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales:
El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberíamos mostrarnos agradecidos por él y esperar que permanezca siendo válido en la investigación futura y que se extienda, para bien o para mal, para placer nuestro, aunque también tal vez para nuestra perplejidad, a ramas más amplias del saber.
(E.P.Wigner, The unreasonable efectiveness
of mathematics in the natural sciences, 1960)
El segundo testimonio pertenece a N. Bourbaki,
seudónimo bajo el que un célebre colectivo matemático,
con su obra Élements de Mathématique a partir de los
años cuarente, alcanzó enorme influencia en el desarrollo
de la matemática reciente:
Que existe una relación íntima entre los fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece confirmarse plenamente de la forma más inesperada mediante los descubrimientos más recientes de la física contemporánea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente significado a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello.
(N.Bourbaki, L'Architecture des Mathématiques,
1948).
Bourbaki se refiere a los avances espectaculares
de la física en torno a la relatividad, partículas elementales,...
Parecía en aquel tiempo como si los instrumentos matemáticos
ya creados casaran perfectamente para explicar una realidad que no tenía
nada que ver con la motivación y los orígenes de tales instrumentos.
El tercer testimonio interesante proviene
del mismo A. Einstein, artífice en buena parte de los avances en
física a los que aludía Bourbaki anteriormente:
Aquí aparece un rompecabezas que ha perturbado a los científicos de todos los tiempos. ¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano,que es independiente de la experiencia, se ajusta tan excelentemente a los objetos de la realidad física? ¿Puede la razón humana sin experiencia descubrir con su puro pensar propiedades de las cosas reales?
(A. Einstein, Sidelights of Relativity)
El problema efectivamente asombra a cualquiera
que a él se asome y, en el fondo, no es otro que el de la relación
mente-mundo, sobre el que tanto han elucubrado filósofos y científicos
de todos los siglos. ¿Cuál es la relación de nuestra
mente con la realidad? ¿En qué consiste propiamente conocer?
Desde el campo propio de la filosofía
se han dado muchas respuestas diferentes y aun diametralmente opuestas
a este problema, lo cual no es muy sorprendente, dada la naturaleza tan
compleja de la pregunta. Parecería que en la matemática,
donde hemos construído un mundo que parece más a medida de
nuestra propia mente, la situación debería aparecer más
clara. ¿Cuál es la relación matemática-realidad
que hace posible esta situación misteriosa? Como veremos enseguida,
tampoco los matemáticos que más han reflexionado sobre ello
están de acuerdo.
Respuestas al enigma: ¿realismo y formalismo frente a frente?
Para obtener una primera visión
de la confrontación de que hablamos se pueden considerar dos testimonios
muy importantes y bien representativos de las dos concepciones enfrentadas.
La postura calificada como formalista(la
forma
denuestras
afirmaciones es lo determinante en matemáticas)se puede entender
a través de las siguientes palabras de B. Russell con las que él
describe el quehacer matemático:
La Matemática Pura consiste enteramente en tales aseveraciones como la consistente en que, si esta y esta otra proposiciones son verdaderas acerca decualquier cosa entonces estas y estas otras proposiciones sobre esa cosa son verdaderas. Es esencial no discutir si la primera proposición es realmente verdadera y no mencionar qué es esa cualquier cosa de la que se supone que es verdadera...
...Si nuestra hipótesis es acerca de cualquier cosa y no acerca de una o más cosas particulares, entonces nuestras deducciones resultan ser matemática. Por lo tanto la matemática se puede definir como el campo en que nunca sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdadero.
(Bertrand Russell, Recent Work on the
Principles of Mathematics, International Monthly 4 (1901)).
Como se observa, según esta concepción,
la matemática se asemeja mucho a un mero juego en el que se introducen
unos cuantos objetos (no importa para nada lo que estos objetos puedan
ser) que se manejan de acuerdo con ciertas reglas convenidas. Esos objetos
son, en el caso de la matemática, esas cosas cualesquiera
a las que Russell alude, de las que se pueden afirmar (se suponen verdaderas)
tales y cuales proposiciones (aunque en realidad no es necesario ni nos
debe importar que sean verdaderas o no). Las reglas de combinación
de esos objetos son en el caso de la matemática las reglas deductivas,
es decir las reglas por las cuales de unas cuantas afirmaciones se siguen
lógicamente otras.
Es conveniente hacer notar que Russell se refiere aquí explícitamente a lo que el llama MatemáticaPura, un término del tiempo en las universidades británicas que no incluía los desarrollos matemáticos relativos a las aplicaciones. Y también viene bien recordar que él y A.N.Whitehead intentaron llevar a cabo con los Principia Mathematica (1910-1913) un proyecto titánico interesante con el que se pretendía derivar la matemática a partir de la lógica. La descripción de Russell bien puede corresponder a dicho intento, pero lo discutible, y por muchos rechazado, es que eso constituya el quehacer propio de la matemática. A mi parecer se podría decir que la descripción de Russell se adapta de algún modo a lo que es el mero juego deductivo de la matemática o de cualquier otro sistema hipotético-deductivo, pero no a lo que ha constituído propiamente el quehacer matemático de todos los tiempos. Creo que serían pocos los matemáticos del pasado, e incluso del presente, los que estarían seriamente de acuerdo con la afirmación de que su quehacer matemático es un mero juego deductivo cuya relación con la realidad es mejor dejar a un lado.
En los tiempos actuales, la concepción opuesta, que se denomina realismo matemático, se puede entender bien, en una primera aproximación, a través de las siguientes palabras de K. Gödel, autor de algunos de los trabajos más importantes en la matemática de todos los tiempos en relación con la comprensión de lo que la matemática significa desde el punto de vista filosófico. Al final de una importante conferencia, la conferencia Gibbs, en 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their philosophical implications, proclamaba bien abiertamente su propia concepción de la matemática:
...la concepción platónica es la única sostenible. Con ello me refiero a la concepción de que la matemática describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que sólo es percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta. Esta concepción es más bien impopular entre los matemáticos, aunque algunos de los grandes la han adoptado, por ejemplo Hermite, que escribió una vez lo siguiente:
'Existe, si no me equivoco, todo un mundo que es el conjunto de las verdades matemáticas, al que no tenemos acceso más que por la inteligencia, al igual que existe el mundo de las realidades físicas; ambos son independientes de nosotros y de creación divina.' "
(K.Gödel, Ensayos
inéditos, Edición a cargo de F. Rodríguez Consuegra,
Mondadori,
Madrid, 1994, p.169)
Esta conferencia de Gödel, que ha
permanecido inédita hasta hace tres años, como la mayor parte
de sus escritos filosóficos, frutos del trabajo de más de
40 años de intensa dedicación a las implicaciones filosóficas
de sus propios resultados matemáticos, destaca su concepción
pitagórico-platónica de la matemática, frente a las
tendencias formalistas muy dominantes en la época en que fue pronunciada.
La expresión de Gödel es bien explícita y, con toda
probabilidad escogió con sumo cuidado todas y cada una de sus palabras,
a juzgar por su forma de trabajar, en constante duda y replanteamiento
de los pensamientos que iba elaborando, como queda bien patente en lo que
va apareciendo publicado de todos los escritos muy elaborados que dejó
inéditos.
Formalismo y realismo son dos concepciones
muy distintas de lo que el quehacer matemático significa. Esto no
quiere decir que tal escisión interna inquiete mucho a la comunidad
matemática. La mayor parte de los matemáticos actuales consideran
que tienen ante sí una tarea suficientemente atrayente y complicada
al tratar de resolver los problemas concretos que se van generando de forma
natural con el desarrollo de su propio campo y dejan como responsabilidad
de quienes se ocupan de explorar los fundamentos de la matemática
los temas que no son de índole técnica, sino más bien
de sabor filosófico. Piensan que en realidad tales problemas no
afectan en absoluto la belleza ni la utilidad del juego que la comunidad
matemática desde hace milenios viene practicando.
Pero parece una actitud más razonable
tratar de interesarse por este tipo de problemas al menos hasta el punto
de poder formarse una idea propia bien fundamentada sobre el sentido y
el alcance de la actividad a la que cada uno de nosotros está dedicado.
Esto es, por otra parte, bien útil a fin de no quedar atrapado por
los muchos prejuicios alrededor de la ciencia, y en particular alrededor
de la matemática misma, que nos pueden impedir contemplar con objetividad
el lugar que nuestra actividad ocupa en el desarrollo de una cultura más
plenamente humana. La matemática participa de muchos de los aspectos
del juego, pero no es solamente un juego, sino también una ciencia,
un arte intelectual creador de una belleza peculiar, uno de los ejes fundamentales
de la cultura, con un lugar muy central en ella y una responsabilidad muy
especial en su correcto desarrollo. Trataré a continuación
de exponer sucintamente unas cuantas observaciones propias en torno al
triángulo realidad-mente-matemática que tal vez puedan ayudar
a otros a formarse su propia opinión sobre el problema.
Una explicación plausible: la aproximación permanente del quehacer matemático hacia la realidad.
A mi parecer se puede concebir el sentido
del quehacer matemático como una aproximación hacia la realidad,
aproximación cada vez más sutil mediante la construcción
de esquemas mentales que tratan de explicar de modo más adecuado
aspectos nuevos de la misma realidad o bien aspectos ya considerados por
etapas anteriores que resultan ser problemáticos y aún inabarcados
por nuestra comprensión. La matemática surge de la interacción
continua de la mente con la realidad, del modo que señalaré
en seguida.
En primer lugar quisiera dejar claro que
por realidad no quiero significar solamente el mundo externo, el mundo
perceptible por nuestros sentidos y cuantificable mediante nuestros instrumentos
de medida, sino también el mundo mental, el universo conceptual
que el matemático va estructurando, ya que es claro que la matemática
se va construyendo también tomando como objeto de su consideración
el edificio mismo de los objetos que ya ha construído.
Pero sí que es cierto que las realidades iniciales de partida sobre las que la mente matemática inició su exploración fueron las realidades sensibles a su alrededor. Como he indicado antes, las estructuras de multiplicidad y las estructuras espaciales presentes para nosotros en nuestra primera percepción de ellas dieron lugar a las primeras formas de matematización, aritmética y geometría.
¿Cómo? Tal vez se puedan señalar en el proceso unas cuantas etapas. El hombre capta las realidades externas directamente mediante sus sentidos, pero en cierto modo el magma caótico que podrían resultar sus percepciones se le comienza a hacer transparente ya desde el principio para su mente gracias a que sobre ellas lanza sus redes y esquemas conceptuales. La percepción sensorial del hombre no es previa en el tiempo a la percepción intelectiva, sino coincidente con ella. Juntamente con su percepción sensorial el hombre percibe relaciones de similitud, diferencia, formas, situación,... entre las cosas. Es capaz de iniciar un proceso de matematizaciónen sobre ciertas estructuras básicas de la realidad en el sentido indicado anteriormente (simbolización, manipulación racional,...). Sus trucos iniciales que en un principio pudieron ser bien toscos se convierten en esquemas más sofisticados que le proporcionan un cierto éxito.
Por ejemplo, el hombre afronta la multiplicidad,
presente en las cosas y también, de una manera más sutil,
en la propia conciencia de repetibilidad de su yo mismo, es decir de su
misma unidad interna. Idea el número como instrumento adecuado para
manejar esa multiplicidad de las cosas mediante unas cuantas hipótesis
razonables. A través de esta estructura mental llega a dominar aspectos
simples de la realidad subyacente.
Los éxitos conseguidos le hacen
más audaz. Se atreve con aspectos más complicados y sofisticados
de la realidad que observa y de las estructuras que se ha ido creando.
Por ejemplo, en relación con el número, se forja conjeturas
tal vez aventuradas, como la de los pitagóricos que ya hemos contemplado,
según la cual el universo entero está regido por los números
naturales (1,2,3,4,...) y por las proporciones entre ellos.
Aparecen situaciones que resultan confusas
y paradójicas. Con respecto a la concepción del número
entre los pitagóricos surgió la presencia del número
irracional y el mundo se les vino abajo. Los esquemas iniciales que la
mente matemática había esperado que pudieran explicar adecuadamente
la realidad para la que se habían construído resultan ahora
demasiado simples y estrechos para seguir explicando aspectos nuevos que
han surgido o bien insuficientes para poder dar cuenta, como esperaba,
de situaciones más abiertas. Es necesario revisar tales concepciones.
Esta revisión no se realiza inmediatamente, no se sabe bien cómo hacerlo, y por ello no se percibe a veces, en el desarrollo de la matemática, como un avance, sino más bien como un fracaso, como una profunda crisis, como sucedió en el caso de la irrupción del número irracional entre los matemáticos pitagóricos. Sólo a posteriori podrá ser contemplada como una crisis de crecimiento, cuando, después de reparado el edificio y con una cierta visión panorámica, se deshaga la comunidad matemática de los prejuicios que le habían inducido a aceptar como buenas las ideas y expectativas que en realidad no tenían un fundamento adecuado. La realidad acaba por imponerse.
En esta interacción con la realidad,
con la estructura de la naturaleza, la matemática va desarrollándose,
profundizando y abarcando campos más amplios. Esta situación
apunta, a mi parecer, a la existencia en la mente humana de una cierta
plasticidad, también en este terreno aparentemente tan rígido
del pensamiento matemático.
La mente se acerca a la realidad para matematizarla
y se construye ciertos trucos mentales, incluso en ocasiones esquemas axiomáticos
bien sofisticados que, ya que de momento le van bien, incluso a veces sorprendentemente
bien, los da por perfectamente adecuados y piensa que abarcan y se ajustan
a la realidad entera, dominando plenamente los aspectos de ella a los que
se dirigen. Piensa que esas configuraciones de su mente que con esfuerzo
ha realizado se adaptan plenamente a la realidad, piensa que son las leyes
a las que la misma realidad se ajusta.. Pero tal vez no tiene en cuenta
que sus esquemas fueron abstracción y mutilación de la realidad
y que de ella pueden surgir, cuando trate de enfrentarse con nuevas preguntas
y problemas, aspectos que ya no son dominados por tales esquemas.
Cuando estos aspectos surgen, en muchas
ocasiones manifestados por la presencia de situaciones paradójicas,
la mente se encuentra en un principio sacudida, las cosas no casan con
sus expectativas, pero no tarda en encajar la convicción que se
le impone de que las cosas no son como pensaba y que tiene que aceptar
la realidad tal cual es. Vuelve a construirse nuevos esquemas, nuevos trucos,
cambia de sus axiomas aquellos que piensa que le van a venir bien para
que el nuevo sistema que construye se adapte a todas las situaciones que
en ese terreno sabe ahora que se dan.
En mi opinión la matemática
surge de esta interacción continua entre la mente y la realidad.
La realidad posee su estructura, por supuesto. La realidad es como una
filigrana de estructura extraordinariamente fina que actúa como
un estímulo necesario para que, en la interacción mente-realidad,
surja el edificio conceptual de la matemática. La mente se acerca
a ella y se adapta a esa realidad, en un intento que parece suficiente
para los problemas simples con los que se ocupa al comienzo, mediante los
esquemas que crea. Tales esquemas no tienen por qué coincidir enteramente
con los de la realidad. Son aproximaciones a ella, pero nunca acabarán
por abarcarla toda, como más adelante veremos.
Por supuesto que algunas de estas estructuras
conceptuales fundamentales tendrán una solidez permanente, 2+2 siempre
serán 4, pero puede haber finezas, explícitas o implícitas,
en esa forma inicial de acercamiento a la realidad que no parecen importantes
para los problemas más básicos, pero que afloran cuando las
preguntas se hacen más sofisticadas.
La aritmética de los números
naturales no parece presentar problemas de fondo hasta que la mente se
encara con otras preguntas que nos colocan en una cierta encrucijada. Por
ejemplo, si consideramos por un lado todos los números naturales
(1, 2, 3, 4,...) y por otro todos los números pares (2, 4, 6, 8,...),
nos podemos preguntar legítimamente: ¿dónde hay más,
en el primer conjunto o en el segundo? Por una parte parece claro que,
como todos los pares son naturales y el 3, por ejemplo, es natural y no
par, uno debería responder que los naturales son más. Pero
por otra parte es claro que cada número par, por ejemplo 28, se
puede emparejar con su mitad, aquí 14, y de esta manera los elementos
de los dos conjuntos quedan emparejados uno a uno, sin que sobren números
naturales ni números pares, cada oveja con su pareja. De modo que
hay tantos pares como naturales. Esto es lo que constituye una de las paradojas
importantes de los números naturales (paradoja de Galileo), detrás
de la cual está la antiquísima polémica sobre el infinito
potencial y el infinito actual. El enfrentamiento matemático de
forma sistemática con situaciones semejantes tuvo lugar a finales
del siglo 19 con G. Cantor y dió lugar a una expansión considerable
del ámbito de la matemática, con la creación de la
teoría de conjuntos.
Con respecto a paradojas semejantes a la
mencionada de Galileo y otras más profundas que aparecieron en la
teoría de conjuntos y en los fundamentos básicos de la matemática,
Gödel pensaba que lo que sucede es que la teoría de conjuntos
es algo que tiene realidad propia, en ese mundo de las ideas del que en
su conferencia Gibbs anteriormente citada se hacía eco, y que lo
que sucede es que la mente humana no ha llegado a penetrar aún suficientemente
en ella para ver claro y extraer con justeza cuáles son los axiomas
por los que se rige, pero que con el tiempo la mente verá más
claramente y entonces será capaz de discernir cuáles son
los axiomas que es preciso adoptar, pues son los de la realidad. La teoría
de conjuntos por tanto, es algo que está ahí, independiente
de la mente humana y que lo que hace la mente con ella no es más
que observarla y darse cuenta de su forma, de manera semejante a la que
un botánico va observando las diversas especies de plantas y las
describe. Pero, si esto es así, ¿cómo explicar la
posibilidad de establecer, por ejemplo, diversos sistemas axiomáticos
en geometría y en teoría de conjuntos, igualmente legitimados
desde el punto de vista del constructor lógico, y tales que el sistema
A resulta más adecuado que el B para manejar y explicar ciertas
situaciones mientras que el B es más adecuado para explicar otros
aspectos de la realidad? ¿Cómo se puede afirmar a la vista
de este fenómeno que solamente uno de estos sistemas es el que posee
la exclusiva de ser el auténtico esquema de la realidad?
Quizás se pudiera modular el pensamiento de Gödel de la siguiente forma. Se podría tal vez pensar que, como he afirmado antes, la realidad es la motivación para que nuestro mecanismo mental construya diversos modelos, esquemas mentales, que no son necesariamente impuestos por ella ni por la forma de ser de nuestra propia estructura mental. En realidad ninguno de los esquemas que construyamos va a agotar sin residuos la realidad misma que pretende manipular y manejar. Por eso mismo la mente es, hasta cierto punto al menos, libre en su construcción. La realidad nos proporciona la ocasión. Nuestra mente la puede interpretar de diversas formas. Y cuando hablo de realidad, como dije antes, me refiero también a nuestra propia estructura mental, y muy principalmente a ella, ya que la matemática se fundamenta de forma tan determinante en esta estructura mental.
Por lo tanto, en este proceso de ajustamiento
a la estructura fina de la realidad, la mente, que forma parte ella misma
de tal realidad, va conformando estructuras propias que, espera, se adecúen
cada vez mejor. La mente actúa en esta interacción con cierta
plasticidad y libertad. Ante una misma etapa de la interacción mencionada
la mente puede optar por construir tal o cual sistema de axiomas (geometría
euclídea o no-euclídea, teoría de conjuntos cantoriana
o no-cantoriana) e incluso es capaz de desarrollarlos todos ellos independientemente
por tenerlos en reserva, tal vez a la espera de su posible aplicación
cuando surja una situación que convenga. Quizás se encuentre
en el futuro en circunstancias en las que uno de los sistemas que ha creado
pueda proporcionarle ventajas en su interpretación de algún
aspecto de la realidad.
Esta visión de la matemática
permanentemente en camino hacia una comprensión más cabal
de diferentes aspectos de la realidad y construyéndose y perfeccionándose
a sí misma en interacción profunda con los aspectos de la
realidad misma a los que dirige su contemplación está plenamente
en consonancia con las propias ideas de Gödel acerca del carácter
inagotable del quehacer matemático, y con la apertura estructural
del pensamiento de la matemática al misterio, como tendremos ocasión
de ver en detalle más adelante, al tratar, al menos someramente,
la significación del teorema de Gödel en la comprensión
del significado de la actividad matemática. Pero antes quisiera
centrar la atención sobre un punto interesante que de algún
modo ya ha hecho su aparición en nuestra exploración del
modo como tiene lugar el desarrollo de la matemática. ¿Cuál
ha sido la fuerza fundamental que ha empujado al matemático a modificar
las concepciones, en muchos casos bien arraigadas y aparentemente con fundamentos
bien seguros, en las que estaba asentado?
La paradoja como estímulo del progreso matemático.
Una paradoja es una situación a
la que llegamos cuando, pensando adecuadamente, a partir de ciertas premisas
de las que nos parece no poder tener ningún motivo para dudar, llegamos
a una afirmación que, por lo tanto, nos parece incontrovertible,
y a continuación, pensando de otro modo también indubitable,
llegamos a una conclusión que contradice la anterior. Una paradoja
no es un sofisma. Un sofisma es un engaño más o menos sutil.
Una paradoja es una oportunidad para profundizar en nuestras ideas y concepciones,
ya que pone de manifiesto que hay algo en las premisas que damos por perfectamente
buenas que no hemos llegado a entender correctamente. En cierta ocasión,
trabajando con un grupo de colaboradores sobre un problema difícil
se le oyó musitar a Niels Bohr, uno de los grandes científicos
del siglo: "¡Magnífico! Hemos topado con una paradoja. Ahora
sí que podemos tener esperanza de progresar".
La paradoja de Galileo que hemos considerado
antes (hay y no hay más naturales que números pares)
nos pone de manifiesto que el sentido de ese hay más es ambiguo
cuando se trata de conjuntos infinitos y hace falta que nos pongamos de
acuerdo sobre él antes de tratar de manejar un conjunto infinito
con cierto rigor. G.Cantor, al hacerlo, consiguió abrir caminos
hasta entonces insospechados para poder manejar de alguna forma el concepto
de conjunto infinito actual, hasta entonces desterrado de la matemática.
Solamente el infinito potencial era admisible, es decir el conjunto
de los números enteros no se podía tratar matemáticamente
como algo completo, en su totalidad realizada, sino como algo que se hace.
En la historia de la matemática
las paradojas importantes han representado un verdadero cambio de rumbo
en su evolución, al poner de manifiesto que ciertas formas de pensamiento,
hasta entonces por nadie discutidas, resultaban conducir a una situación
de es y no es insostenible para la mente matemática. El que
la proporción entre las medidas de la diagonal y el lado de un pentágono
regular no fuera expresable mediante una proporción entre dos números
naturales, es decir la aparición del inconmensurable, del número
irracional, dió al traste con la creencia fundamental de los
pitagóricos de que los números naturales regían todo
el universo, pero fue la ocasión para que se enriqueciera la matemática
con nuevos métodos para el tratamiento del número (métodos
de exhausción de Eudoxo). Las cuatro paradojas de Zenón (Aquiles
y la tortuga, la dicotomía, la flecha, el estadio) acabaron con
la creencia, también pitagórica, en la constitución
atómica del espacio y dieron ocasión para pensar mucho en
la naturaleza continua del espacio de la geometría.
En tiempos más recientes, en torno
al comienzo del siglo 20, las paradojas en torno a la teoría de
conjuntos, la paradoja de Cantor (sobre el conjunto de todos los conjuntos),
la de Russell (paradoja del barbero), de Richard (sobre los adjetivos autopredicables
y heteropredicables), han dado lugar a toda una revolución en torno
a los fundamentos de la matemática, que vino a tener una primera
cima histórica con el teorema de incomplitud de Gödel en 1931,
que enseguida examinaremos un poco más de cerca. Con esta revolución
se puede decir que la matemática ha pasado a ser, en lugar de la
disciplina un tanto cerrada en sí misma que el programa de Hilbert
(con el que se pretendía demostrar que cualquier proposición
legítima del sistema matemático es un teorema o un contrateorema)
la hubiera convertido, una disciplina inagotable, abierta, en perpetua
expansión, camino de una mejor adecuación a la realidad.
Un aspecto interesante de las paradojas
que hemos mencionado es que en todas ellas está de alguna forma
presente algún tipo de proceso que tiene que ver con el infinito
matemático. No es casualidad, ya que, como tendremos ocasión
de ver enseguida, el infinito matemático, presente en el pensamiento
matemático desde sus mismos orígenes, es lo que le proporciona
la profundidad que posee, aunque también constituye la raíz
de los problemas más profundos en los que se embarca.
Hacia la matematización del infinito.
Una barrera en el camino: el teorema
de Gödel.
La presencia del infinito en la matemática constituye un reto insoslayable. En la misma percepción originaria de la multiplicidad presente en las cosas, en ese caer en la cuenta de la finitud (no soy quien lo llena todo) y repetibilidad de la unidad presente en la propia conciencia del yo (hay otros como yo mismo), en esos puntos suspensivos que colocamos cuando empezamos a contar y decimos 1,2,3,... está ya presente de alguna manera la percepción de la presencia del infinito en nuestra mente.
Se trata de una presencia no temática,
es decir no se hace ella misma objeto al modo como se objetivan las cosas
concretas del resto de nuestro conocimiento, pero en realidad es esta presencia
la que está dando fundamento a nuestra posibilidad de conocimiento
de lo que es finito. Lo finito se recorta en lo infinito como en un horizonte.
El infinito está en nuestra mente a modo de un espacio en el que
lo finito se destaca, precisamente delimitándose a través
de su propia concreción, mostrando así que no lo es todo,
que no lo llena todo. Y al mismo tiempo nuestro conocimiento de los objetos
concretos, de cualquier conocimiento de lo finito, nos hace percibir la
presencia de lo infinito de una forma que tal vez se entienda mejor con
la siguiente comparación. En la total oscuridad de una habitación
penetra por una rendija un rayo de luz que sale de la habitación
por otra rendija opuesta. Entonces no vemos el rayo de luz, y no seremos
capaces de percibir la presencia de ese rayo de luz a menos que un objeto,
o bien las partículas de polvo del aire, sean iluminadas por ese
rayo de luz. Al ver las partículas nos apercibimos de la presencia
del rayo de luz. De manera parecida, el infinito de algún modo presente
en nuestra mente posibilita y funda nuestro conocimiento de lo finito,
y en el conocimiento de lo finito y concreto nos apercibimos de esa presencia
del infinito.
El acercamiento con intención matematizante
a esta estructura primordial de la realidad (la multiplicidad) es lo que
da lugar, a mi parecer, al inicio de nuestras construcciones sobre el número.
Y así se puede decir que el infinito matemático ya está
presente en nuestro más primitivo contar 1,2,3,... Con el tiempo,
y tras la familiarización con el número, la mente comienza
a hacerse preguntas sobre la naturaleza de esa realidad presente en ella
misma (por ejemplo, ¿podemos considerar como un todo acabado esa
multitud que empieza con 1,2,3,... y que sabemos perfectamente cómo
se va construyendo? ¿o bien no tiene sentido ninguno el hacerlo?).
Estas preguntas se hacen cada vez más sofisticadas. Como ciertas
de ellas conducen a situaciones paradójicas y posiblemente confusas,
tal como hemos visto antes, la mente se construye un esquema hipotético,
cuando es preciso incluso un sistema axiomático formal, con el que
aprende a tratar con más rigor la situación. Parece que todo
funciona satisfactoriamente. La mente adquiere cada vez más destreza
y se atreve a explorar más alla. Vuelven a aparecer otras situaciones
paradójicas que le hacen comprender que sus esquemas anteriores
no dominan totalmente la realidad para la que fueron construídos.
Su visión actual de la situación le sugiere algunas modificaciones
de sus construcciones con las que los nuevos problemas quedan solucionados...
A lo largo de la historia de la matemática,
este tipo de proceso reaparece una y otra vez, motivando el progreso del
pensamiento matemático. Los números irracionales aparecidos
al margen de ciertas construcciones geométricas, las paradojas de
Zenón en torno al movimiento y a la naturaleza continua del espacio,
fueron motivaciones para construir una nueva forma de manejar matemáticamente
esta forma de infinitud. Los desarrollos del cálculo infinitesimal,
consolidados en un intenso trabajo de multitud de matemáticos entre
el siglo 17 y finales del 19, constituyen nuevas formas de manejo del infinito
matemático. La teoría de conjuntos de Cantor, a fines del
siglo 19 y principios del 20, constituyeron el instrumento fundamental
para tratar de dar rigor a estos nuevos esquemas de pensamiento.
A principios del siglo 20, la teoría
de conjuntos creada por Cantor, sobre la que se intentaba fundamentar de
forma rigurosa el edificio de la matemática, parecía haber
alcanzado una cierta madurez para tratar de resolver una pregunta crucial,
el problema de la decisión (Entscheidungsproblem). Así
se expresaba en 1925 D. Hilbert en un artículo, precisamente titulado
Sobre
el infinito:
En cierto sentido la matemática se ha convertido en una corte de arbitraje, un tribunal supremo para decidir cuestiones fundamentales sobre una base concreta en la que todos puedan concordar y donde cada afirmación sea controlable,... Un ejemplo del tipo de cuestiones fundamentales que pueden ser tratadas de este modo es la tesis de que todo problema matemático es soluble. Todos nosotros estamos convencidos de que realmente es así. De hecho uno de los principales atractivos para atacar un problema matemático es que siempre oímos esta voz dentro de nosotros: Ahí está el problema, encuentra la contestación, siempre la puedes encontrar puramente pensando, pues en matemáticas no hay ningún 'ignorabimus'.
(D. Hilbert, Über das Unendliche,
Mathematische Annalen 95 (1925), 161-190).
Según el sentir de Hilbert, todos
los matemáticos del tiempo estaban de acuerdo en que, para cualquier
proposición bien construída del sistema matemático
habría de existir o bien una demostración de ella o bien
una demostración de su negación porque en matemáticas
no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik.
La
demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera
de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert
proponía. Con ello se llegaría a establecer claramente esa
condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.
No habían pasado 6 años cuando
en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa
de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del
tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente
la contraria:
En cualquier sistema matemático
suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética
de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido
dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar,
pero tampoco no-P se puede demostrar.
Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en un artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).
Poco después Gödel demostraría
además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar
aún mejor la profundidad de su anterior teorema:
Una de tales proposiciones indecidibles
es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen
contradicciones.
Es decir, construyamos el sistema matemático
que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficientemente potente
para que en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria,
no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones
contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él
no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es
un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema,
ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente
demostrables.
Examinaremos a continuación algunas
de las consecuencias de este enfrentamiento con el infinito, que tiene
una cima importante para nosotros en el teorema de Gödel, especialmente
las que tienen relación con nuestra exploración sobre el
triángulo mente-realidad-matemática. Trataremos de recapitular
brevemente lo que revela en relación con la concepción de
la matemática como proceso de acercamiento a la realidad y señalando
especialmente el carácter de la matemática como ciencia abierta
que sugiere.
El acercamiento de la mente a la realidad
¿Una apertura de la matemática a la trascendencia?
Hemos visto cómo la mente, en el
comienzo mismo de su matematizar, ya en el más primitivo contar,
se hace cargo de la presencia, de un modo muy peculiar, en su misma estructura,
del infinito. Esta presencia es precisamente la condición de posibilidad
de nuestro conocimiento de lo finito, sin ser ella misma abordable de la
misma forma que los demás objetos de nuestra mente. Se podría
decir que es lo inabarcable, lo misterioso o, en palabras de L.Wittgenstein,
lo
inexpresable. Tal vez a esta situación aludía él
mismo en una página de sus anotaciones:
Lo inexpresable (aquello que me parece misterioso y no puedo expresar) proporciona tal vez el fondo sobre el que alcanza sentido aquello que pude expresar.
(L.Wittgenstein, Vermischte Bemerkungen, Werkausgabe Band 8, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main, p.472)
Das Unaussprechbare (das, was mir geheimnisvoll erscheint und ich nicht auszusprechen vermag) gibt vielleicht den Hintergrund, auf dem das, was ich aussprechen konnte, Bedeutung bekommt.
El intento de matematización de
esta realidad ha conducido a la mente, tras el trabajo de muchos siglos,
a través de numerosas crisis y profundizaciones sucesivas, al convencimiento
de que el quehacer propio de la matemática es una actividad necesariamente
abierta, inagotable escribe Gödel, en el sentido de que nunca
puede darse por concluída. Esto, me parece, es bien congruente con
la concepción de la matemática que antes he apuntado, como
un proceso de permanente acercamiento a una realidad que siempre va a presentar
nuevos parajes por explorar, acercamiento que se realiza gracias a la interacción
constante con la realidad misma y a la inmensa flexibilidad de nuestra
propia mente en este ejercicio de adaptación.
Parece, pues, que el pensamiento matemático
comporta varios aspectos que lo hacen muy interesante desde el punto de
vista de la relación del hombre con la realidad global del mundo
y que son los que, a mi parecer, explican algunas posiciones intelectuales
de muchos matemáticos que pueden resultar bien extrañas para
quienes nunca han pensado en tales aspectos. De varias maneras, en efecto,
tiene lugar en algunos de los matemáticos que más han reflexionado
sobre el sentido profundo de su ciencia, una apertura hacia la trascendencia
que no les parece en absoluto estar en contradicción con su quehacer
matemático, sino incluso fundamentada en ella misma.
¿Cuál puede ser el sentido
de esta apertura a la trascendencia? Será bueno, para comenzar,
tratar de delimitar cuándo podemos responder afirmativamente sobre
la existencia de una tal apertura a la trascendencia desde el mismo quehacer
de la matemática. Tal vez, pienso yo, se puede hablar de tal apertura
cuando al reflexionar sobre ese quehacer el hombre encuentra en él
mismo indicios, pistas, que hacen pensar a quien matematiza que hay algo
o alguien en el universo más allá de él
mismo, es decir que es más, que sabe más, que puede más,
que fundamenta de alguna manera lo que él encuentra, su misma actividad
creativa, por lo que o por quien, según podemos barruntar,
la naturaleza se sostiene de algún modo, que está realmente
ahí, que es misterioso para nosotros y ante el cual, en principio,
nuestro papel consiste en guardar un silencio respetuoso y expectante ante
la posibilidad de que se comunique de alguna manera más cercana.
¿Se dan tales elementos en la actividad matemática?
Un poco más arriba hemos tenido
la oportunidad de considerar las palabras de Charles Hermite, uno de los
grandes matemáticos del siglo 19, repetidas con solemne aprobación
por Gödel, sobre el origen divino del mundo de las ideas matemáticas.
Enseguida tendremos ocasión de escuchar algunos testimonios semejantes.
¿Se puede dar alguna explicación plausible sobre el origen
de tales afirmaciones rotundas?
Por una parte en la mente matematizante se da un cierto grado de libertad. Lo que la mente observa de la realidad que pretende matematizar le guía en sus construcciones, pero no le compele de modo absoluto hasta el punto de privarle de toda autonomía. La realidad observada le permite, en muchas ocasiones, una variedad inmensa de elecciones. Esto indujo a Cantor a afirmar que la esencia de la matemática radica en su libertad, y en ella defendía con insistencia algunas de las, en su tiempo, controvertidas construcciones de su teoría de conjuntos. Pero por otra parte, ante esa misma realidad el matemático tiene la sensación de encontrarse con que esa realidad tiene su estructura propia, su solidez peculiar que se le impone en muchos aspectos, que es algo que está por encima de su propio arbitrio.
Esta situación explica, en primer
lugar, la polémica permanente sobre si la matemática
se
crea o se descubre. En mi opinión, de acuerdo con la concepción
ya considerada de la actividad matemática, el matemático
atiende a la realidad y, con ella como referencia, construye los esquemas
que, espera, se adaptan a mejor a ella, y permanece abierto a la posibilidad
de mejorar su forma de aproximación a esa misma realidad. La matemática,
en algún sentido, por tanto, se crea y se descubre. Hay estructuras
de la realidad que podemos dar por definitivamente establecidas, descubiertas,
por ejemplo que 2+2=4, y otras que la mente ha establecido, creado, como
acercamiento suficiente, al menos en un primer intento provisional, y que
también tienen su valor, incluso en el caso de que se observe más
adelante que otras diferentes pueden servir mejor para explicar la realidad.
Esa solidez y fortaleza de la realidad
matemática, que se resiste de algún modo a posibles manipulaciones
arbitrarias, y a los intentos de un falso encasillamiento, que la mente
matemática colectiva y también el matemático individual
en su propio trabajo experimentan tantas veces, son tal vez la raíz
de las consideraciones en torno a la trascendencia que llevaron a los pitagóricos
a contemplar la matemática como escala hacia la divinidad. Al contemplar
la fuerza independiente y autónoma de las relaciones que en la matemática
se crean-descubren, el matemático puede quedar plenamente convencido
de que está percibiendo la presencia de algo superior a él,
que le precede a él en inteligencia y cuyas huellas le parece estar
siguiendo en todo su esforzado y laborioso trajín. Esto no ha sido
tan sólo un convencimiento del pitagorismo primitivo.
A mi parecer, la afirmación de Hermite
(y Gödel), sobre el origen divino del mundo de las ideas matemáticas,
provienen de la percepción, tal vez sin explicitar ni fundamentar
más pormenorizadamente, de esta solidez y rotundidad de los objetos
que la mente humana encuentra en su tarea de matematización. Para
Gödel, según cuenta Hao Wang, uno de los matemáticos
que mejor le han conocido, la tarea de construir una religión
racional, basada en su pensamiento lógico-filosófico,
constituyó uno de los núcleos importantes del trabajo filosófico
de más de los últimos 30 años de su vida. Su teísmo
no era como el de Einstein, quien creía en el Dios de Spinoza,
no personal. Para Gödel, en palabras de Wang, Dios era más
que persona, en consonancia tal vez con la teología negativa
de muchos de los místicos de todas las tradiciones, según
la cual, nuestras afirmaciones sobre Dios deben ir acompañadas de
una confesión de nuestra ignorancia sobre él.
Entre los personajes de la matemática del siglo 20 en cuyos escritos científicos ha quedado plasmado explícitamente algún tipo de percepción de esta apertura a la trascendencia que venimos comentando se encuentra L.Wittgenstein. En la segunda parte de su Tractatus, la parte que se denomina mística, se encuentra una buena porción de pensamientos con tal orientación, expresados, eso sí, en el estilo un tanto sibilino que caracteriza todo el Tractatus. Estos pensamientos ponen de relieve cómo la intención profunda de Wittgenstein en su obra era, como él mismo decía, ética. He aquí una muestra extraída de esta segunda parte:
6.52 Percibimos
que, incluso aunque todas las posibles preguntas científicas
sean contestadas, los problemas referentes a nuestra vida no han sido tocados
en absoluto. Es cierto que precisamente entonces no queda ninguna pregunta;
y exactamente esto es la respuesta.
6.521 La solución del problema
de la vida se caracteriza por la desaparición de este problema (¿No
es éste el motivo por el que personas para quienes el sentido de
la vida resultó claro tras largas dudas no pudieron decir en qué
consistía este sentido?)
6.522 Existe ciertamente lo inexpresable. Esto se muestra, es lo místico.
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus
, 1921)
Otra muestra interesante de esta apertura
a la trascendencia, esta vez de un matemático contemporáneo,
que enlaza muy explícitamente con el pitagorismo primitivo, son
las siguientes palabras finales de una conferencia pronunciada hace unos
pocos años por Shafarevich, un gran algebrista, con ocasión
de la entrega de cierto importante premio internacional, y que fue publicada
en un buen número de revistas matemáticas:
La matemática como ciencia nació en el siglo VI a. de C. en la comunidad religiosa de los pitagóricos y fue parte de esta religión. Su propósito estaba bien claro. Revelando la armonía del universo expresada en la armonía de los números proporcionaba un sendero hacia una unión con lo divino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo proporcionó las fuerzas necesarias para un logro científico del que en principio no puede darse parangón. Lo que estaba en juego no era el descubrimiento de un bello teorema ni la creación de una nueva rama de las matemáticas, sino la creación misma de las matemáticas.
Entonces, casi en el momento de su nacimiento, habían aparecido ya aquellas propiedades de la matemática gracias a las cuales las tendencias humanas generales se manifiestan más claramente que en ninguna otra parte. Esta es precisamente la razón por la que en aquel tiempo las matemáticas sirvieron como modelo para el desarrollo de los principios fundamentales de la ciencia deductiva.
En conclusión quiero expresar la esperanza de que por esta misma razón la matemática ahora pueda servir como modelo para la solución del problema fundamental de nuestro tiempo: revelar un supremo objetivo y propósito religioso para la actividad cultural humana.
(I.R.Shafarevich, On
certain Tendencies in the Development of Mathematics)
La forma de percepción de la trascendencia
por la mente humana a través de la robustez y solidez de los objetos
mismos de la matemática, que la mente hubiera esperado ser más
moldeables, no es en realidad muy distinta de la que pueda aparecer al
contemplar la existencia de las cosas mismas, "al asombrarnos sobre
la existencia del mundo", como afirma L. Wittgenstein en su Conferencia
sobre Ética, al explicar las propias vivencias que constituían
el fundamento de su sentido ético, o de la pregunta primigenia de
Leibniz que sirve de arranque a toda la filosofía sobre por qué
existe algo más bien que nada.
Sin embargo, a mi parecer, en la estructura
peculiar del pensamiento matemático tal como se nos revela en el
itinerario que hemos recorrido, y más en concreto en la misma presencia
del infinito en el origen de nuestra matematización, aparece una
forma de apertura a la trascendencia que es diferente y que más
bien presenta puntos de semejanza con la manera de proceder de algunos
de los teólogos de nuestro tiempo como K. Rahner, en sus ideas sobre
el acercamiento racional a Dios (Se puede consultar, por ejemplo, los Grados
1 y 2 de su
Curso fundamental sobre la fe, Herder, Barcelona, 1989).
A
los matemáticos que tienen interés por pensar sobre el significado
profundo del infinito desde su misma perspectiva científica les
vendría bien recordar las palabras del gran matemático Félix
Klein, quien, en conexión con las exploraciones sobre los fundamentos
de la teoría de conjuntos hace notar cómo en muchos aspectos
"las
especulaciones de los escolásticos... han resultado ser los intentos
más correctos de lo que hoy llamamos teoría de conjuntos",
y
señala cómo Cantor mismo, el creador de la teoría
de conjuntos recibió su estímulo principal para ello de tal
fuente (F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik
im 19. Jahrhundert, Teil I, p.52, Chelsea, New York, 1967).
Como hemos visto anteriormente, en la apertura inicial de la mente al conocimiento intelectual, a cualquier conocimiento intelectual, está presente, como horizonte, como condición de posibilidad de cualquier conocimiento concreto, el ser en su infinitud. Nosotros percibimos esta infinitud no de modo temático, sino como el espacio en que nuestro conocimiento tiene lugar. Esta presencia no es sólo mera condición de posibilidad, como podría ser la mera ausencia de obstáculos, sino causa fundante de nuestro propio conocer, no una mera cuestión de estructura externa. Es algo constitutivo de nuestro conocer, aunque de una forma tan velada que no se explicita. Y tal vez no se puede explicitar. El ojo, al ver, no se puede ver a sí mismo, a no ser en la imagen de un espejo. Y en ello posiblemente radica el carácter peculiar de esta presencia, que es por una parte, lo primario, lo siempre presente, lo más obvio de nuestro conocimiento, y por otra parte lo necesariamente oculto, escondido, misterioso. Si lo pudiéramos conocer al modo como conocemos los objetos cotidianos no sería lo que es.
En este horizonte infinito debe destacarse
el ser finito, limitado, y este horizonte es el que proporciona la posibilidad
de cualquier otro conocimiento. No nos lo planteamos como objeto. Es el
horizonte, el trasfondo de nuestra visión cognoscitiva que, de no
estar ahí no habría nada en ella. La mente está por
su propia naturaleza abierta a este horizonte y cualquiera de sus actividades
lo pone de manifiesto. El ser finito, concreto, se destaca en ella precisamente
de modo negativo, mostrando su limitación, su modo de ser
particular que niega el modo de ser de otros muchos, afirmando así
implícitamente que el ser importante es el que no tiene modo.
Un examen más cercano, que aquí
no podemos hacer con más detalle, de la peculiar estructura de nuestra
mente, con esta apertura inherente en ella, nos lleva en primer lugar a
pensar que, detrás de ese misterio, lo inexpresable, lo que a
mí me parece misterioso, en palabras de Wittgenstein, que funda
nuestro conocimiento no puede estar la nada, pues la nada no da lugar a
cosa alguna, sino que es algo que tiene que existir, si bien con una forma
de existencia muy distinta de la que nosotros mismos experimentamos. Algunas
de las implicaciones de esta experiencia trascendental pueden tal vez ser
resumidas como sigue.
La percepción del horizonte, del infinito, del ser, dentro de nosotros nos estimula a buscar su fundamento. Y éste no se puede encontrar en la nada, pues la nada nada funda. Esto nos indica que ese fundamento es real, no es una construcción de nuestra mente, no es algo a lo que nosotros concedemos realidad, pues es previo de muchas maneras a nuestra propia realidad. Es ese fundamento real lo que está colocando las fronteras con lo limitado que nosotros percibimos de este modo peculiar desde el otro lado. Es ese fundamento real lo que propiamente posibilita nuestro mismo conocer y nuestro mismo ser. El misterio está ahí, más interior a nosotros que nosotros mismos, mucho más real que nosotros, fundando la realidad que somos nosotros. Es ese misterio el que posibilita nuestro conocer y nuestro ser y no al revés.
Escondido... sí y no. Está
presente, puedo pensar, en la forma, tal vez la única, que mejor
corresponde a su ser, que es una forma que a nosotros se nos aparece como
una mezcla de presencia insoslayable y de ocultamiento silencioso... el
misterio inexpresable. Los místicos de todas las tradiciones, esas
personas, como dice Wittgenstein en el Tractatus, para quienes el sentido
de la vida resultó claro tras largas dudas y no pudieron decir en
qué consistía, han evocado mejor que nadie esta situación.
Así lo canta San Juan de la Cruz:
¡Qué bien sé yo la fonte que mana y corre,
aunque es de noche!
Aquella eterna fonte está escondida,
¡qué bien sé yo do tiene su manida,
aunque es de noche!
(De: Cantar de la alma que se huelga de conoscer a Dios por fe)
De esta forma, parece, se pasa desde lo que en principio podría uno señalar como mera apertura estática de la mente a lo que es misterioso y trascendente, que se da en su pensar originario (y así en cualquier pensar concreto, matemática y otras ciencias, por ejemplo), hacia un movimiento más activo de afirmación y de búsqueda más dinámica de lo que representa para la misma mente esto misterioso e inexpresable. La mente se apercibe de su propia situación de apertura a la trascendencia. Se pregunta por la razón de esta situación. La encuentra en un algo que tiene que fundarla aunque no sepa cómo debe concebirlo. Desea vehementemente saber y saborear más de ello.
¡Oh cristalina fuente,
si en esos tus semblante plateados
formases de repente
los ojos deseados que llevo en mis entrañas dibujados!
(De: Canciones entre el alma y el esposo)
Y tras esa búsqueda, se topa con
la cercanía al misterio que parece que ya se le va a manifestar
más plenamente.
¡Oh llama de amor viva,
que tiernamente hieres
de mi alma en el más profundo centro!;
pues ya no eres esquiva, acaba ya, si quieres;
rompe la tela de este dulce encuentro!
(De: Canciones que el alma hace en la íntima unión en Dios su esposo amado)
La apertura de nuestra mente no es solamente
apertura y dinámica de la inteligencia. En ella va incluída
la persona toda con su voluntad, capaz de deseo, de amor, de compenetración,
a través de la cual desearía ver colmada toda su forma de
ser. La estructura de sujeto y persona del hombre derivan de una forma
natural de esta experiencia originaria de lo transcendente, constituyen
el soporte propio que posibilita tal experiencia trascendental y de ella
se sigue, al percibirse el hombre a sí mismo como teniendo a su
cargo sus propias decisiones y al estar colocado en el tiempo, su propia
estructura de libertad.
Pienso que es desde esta experiencia de lo trascendente desde donde uno puede entender mejor la relación íntima entre:
sujeto (capacidad de hacerse cargo de sí mismo de modo muy especial),
persona (capacidad de abrirse a otros en virtud de una misma participación de esa experiencia de lo trascendente y de abrirse a lo que es misterioso, pero acerca de lo cual puede colegir, por el hecho de estar fundando tal capacidad suya, que es ello mismo capaz de alguna forma también misteriosa de acoger su propia apertura),
libertad (capacidad, fundada en su carácter de sujeto y persona colocada ante opciones, de elegir y actuar de modos diferentes)
historicidad (colocado en un instante
determinado del tiempo con todo lo que esto significa, por ejemplo su posibilidad
de escrutar si en el pasado pudiera encontrar huellas de la manifestación
del misterio).
Es claro que no es este el lugar adecuado
para tratar de llevar adelante las muchas implicaciones a las que parecen
conducir estas consideraciones que enlazan, a mi parecer de forma natural,
con el resto de las consideraciones filosóficas de todos los tiempos.
Para terminar quisiera recordar unas palabras
de A.N.Whitehead, que nos hacen volver a nuestro punto de partida y que
vienen a subrayar la importancia del papel del modo de pensar matemático
para una mejor comprensión de las estructuras de la realidad:
La noción de estructura es tan antigua como la civilización... la infusión de estructuras en el curso de la naturaleza y la estabilidad de tales estructuras, así como la modificación de ellas es la condición necesaria para la realización del Bien.
La matemática es la técnica más poderosa para la comprensión de la estructura y para el análisis de la relación entre estructuras... Considerando la inmensidad de su campo de acción la matemática, incluso la matemática moderna, es una ciencia en su infancia.
Si la civilización continúa
avanzando, en los próximos 2000 años la novedad predominante
en el pensamiento humano será el señorío de la intelección
matemática.
(A.N. Whitehead, Sobre el Bien, 1923)
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