PROLOGO
La obra de G.H. Hardy A Mathematician's Apology fue publicada por vez primera en 1940, cuando se empezaba a presentir la Segunda Guerra Mundial. Han pasado 60 años y las ideas que Hardy expone en su obra siguen ejerciendo una atracción especial, tanto para matemáticos como para quienes no lo son.
Y es que a quien contempla el mundo de la actividad matemática desde fuera, le resulta un tanto enigmático cuál puede ser el tipo de motivación profunda que un profesional de la matemática encuentra en su ejercicio, que de eso es en realidad de lo que se trata en la obra de Hardy.
Para un matemático es claro que las ideas sobre este asunto de uno de los grandes del siglo en su propia profesión han de resultar fuertemente estimulantes. Y esto es así aun en el caso, incluso tal vez precisamente por ello, de que en muchos puntos las ideas de Hardy resulten un tanto chocantes con sus propias ideas acerca del quehacer matemático.
Pienso que el que resulte su obra incluso hoy controvertida y chocante le hubiera agradado a Hardy especialmente. En su estilo personal y en su propia formación con el talante típico de Cambrige y Oxford casaba bien la confrontación directa con opiniones extendidas en su ambiente e incluso con las de personas muy concretas y famosas de su tiempo. Como se verá en las páginas que siguen, Hardy no rehuye ni suaviza tales confrontaciones, sino más bien parece subrayarlas y saborearlas con placer. Su misma forma de expresarse, abierta, incisiva, directamente polémica a veces, proporciona a sus páginas unos rasgos un tanto inesperados, y al mismo tiempo atrayentes, en un tema que muchas personas están habituadas a contemplar de forma más pacífica e impersonal.
Una biografía breve de Hardy junto con alguna información interesante sobre su obra matemática y con referencias adecuadas para quien quiera examinarla más de cerca se puede encontrar en la red en la dirección siguiente:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hardy.html
Para percibir más intensamente muchos de los rasgos curiosos de la personalidad de Hardy una de las mejores fuentes es el extenso prólogo que C.P. Snow, quien tuvo un conocimiento de Hardy muy cercano, escribió para la primera edición de este libro.
En las breves notas que siguen me restringiré a comentar unas pocas de las muchas ideas interesantes que Hardy desarrolla en su obra.
Hardy confiesa bien abiertamente que su dedicación a la matemática ha tenido siempre una motivación estética. Y es precisamente en la apasionada exposición que hace en esta obra de la belleza de la matemática donde a mi parecer más brilla Hardy y más convincente se muestra.
Su análisis de los elementos de esa belleza peculiar que de la actividad matemática resulta, belleza enigmática, seria, profunda, desveladora de hondas y armónicas relaciones en un mundo no menos real que el físico, pone de manifiesto en esa belleza un carácter de permanencia superior incluso a los principales logros más universalmente reconocidos de la creatividad humana. Estas reflexiones surgen del más profundo convencimiento de Hardy. En mi opinión, las secciones del libro en que se trata este tema son las más logradas y aleccionadoras.
En contraste profundo con lo anterior, hay una idea reiterada en la obra de Hardy en cuya exposición y defensa también derrocha gran energía y apasionamiento que había de ser refutada con contundencia por unos cuantos desarrollos posteriores. Hardy insiste con fuerza, yo diría también con cierta jactancia y machaconería, en la "inutilidad" de la matemática que él llama "real", es decir la que tiene que ver con ese quehacer elevado y recóndito que es el que ha atraído de veras a los grandes matemáticos alejados de todo contacto con los mundanales intereses, y sobre todo de la guerra y otros menesteres más o menos sucios. En ella incluye los recientes desarrollos de Einstein, la obra maestra de Gauss en teoría de números,… Esta matemática "real" es también, por supuesto, la suya propia.
En 1945, cinco años después de la publicación del libro y dos años antes de la muerte de Hardy, la matemática de Einstein, junto con otros avances de la física, había dado lugar a la bomba atómica. Probablemente las afirmaciones tajantes que se pueden leer en este libro hubieran sido matizadas tras un acontecimiento como éste.
En cuanto a sus observaciones sobre la inutilidad de la teoría de números Hardy se hubiera quedado un tanto perplejo ante las implicaciones que un campo aparentemente tan "inútil" como el relativo a la factorización, es decir la descomposición efectiva en factores primos de un número grande, tienen sobre la criptografía actual.
Si Hardy echara hoy una mirada a la Encyclopaedia Britannica y buscara la información que recoge sobre él se extrañaría un tanto de que, al parecer, el rastro suyo en la ciencia que se cita en primer lugar, como si fuera lo más importante que él hizo, es la ley de Hardy-Weinberg, que describe el equilibrio genético de una población y que es útil, entre otras cosas, para estudiar la distribución sanguínea del factor Rh.
Hay una buena porción de los temas tratados por Hardy en su obra que probablemente seguirán generando siempre una fuerte diversidad de opiniones, tanto entre los matemáticos de cualquier nivel, como entre los no matemáticos.
Uno de ellos bien patente y recurrente en la obra es el pensamiento deprimente, y posiblemente fruto de la profunda depresión en la que Hardy se sumergió en sus últimos años, e la inutilidad de la vida del matemático que no es, o bien ya no es, capaz de producir esa matemática "real" de la que habla Hardy.
Parecería que incluso el matemático que se siente únicamente motivado por el placer estético presente en el quehacer propio de la matemática debería pensar de modo distinto al que Hardy propone. Tal placer se puede producir, no tan sólo en la creación de esa matemática "real", lo que suele ser privilegio de unos pocos e incluso para ellos de unos pocos instantes, sino también en la contemplación de la belleza matemática, creada por quien sea, así como en la participación con otros de ese goce estético que esa contemplación es capaz de producir.
A mi parecer, hay algo en la actitud profunda de Hardy que le privó de este gozo posible que otros experimentamos también en la contemplación individual y en la transmisión a otros de esta belleza que implica la enseñanza a diversos niveles. Como Hardy mismo afirma en la sección 29, él consideró la matemática esencialmente como un ejercicio competitivo, en el que lo importante es hacerlo mejor que los demás. Es verdad que hay matemáticos que comparten esta visión. Pero no creo que sea esta una actitud sana, ni muy generalizada, y me imagino que los que la comparten no son los más satisfechos con su dedicación a la matemática.
La insistencia de Hardy en la "inutilidad" de la matemática "real" le lleva también a adoptar extremos extraños. Su opinión, en la sección 27, es que, si bien la matemática ha hecho y sigue haciendo más cómoda la vida de los hombres, le parece inapropiado hablar de los grandes efectos de la matemática sobre el curso mismo de la humanidad, como hacen sus contemporáneos Hogben y Whitehead.
Su desacuerdo con Hogben no parece importarle mucho, pues Hogben, según dice Hardy, no es un matemático. Su discrepancia con Whitehead, que sí es un matemático "real", es otra cosa. Hardy dice que los "tremendo efectos" de la matemática pueden tener lugar efectivamente sobre matemáticos como Whitehead, pero no sobre la humanidad. Hardy no parece tener en cuenta que la influencia de las ideas en la evolución del pensamiento humano no se da sino a través de personas singulares capaces de percibir tales ideas en su justo valor e interpretarlas y comunicarlas de modo adecuado.
Hardy, en contraste con Whitehead y con muchos otros, matemáticos y no matemáticos, concede una ínfima atención a la influencia de las ideas profundas que, surgiendo o apoyándose en el pensamiento matemático, han ejercido un impacto esencial sobre el progreso cultural humano. Tal vez estos aspectos no significaran gran cosa para la sensibilidad de Hardy.
Como se puede observar, hay en la obra de Hardy una gran cantidad de ideas que estimulan el pensamiento de quien se pone en contacto con ellas. Pienso que la republicación en castellano de las interesantes páginas de Hardy servirá para animar a matemáticos y no matemáticos a meditar profundamente sobre el sentido mismo del quehacer matemático.
Miguel de Guzmán
Madrid, Agosto 1999
Hardy era un matemático dedicado fundamentalmente a la investigación. ¿Qué piensa un matemático así sobre su propia actividad? Odio enseñar, dice…
Un libro que atrae por su carácter directo, al grano, sin componendas,… Parece el estilo que se llevaba en Cambridge y Oxford en sus días (ahora?) en el contacto intelectual. Lanzar ideas que uno piensa o ha pensado, buscando, o al menos no tratando de evitar la controversia.
Parece buscar los aspectos en que hay o puede haber discrepancia y proponer crudamente su pensamiento. Con fuerza. Ahí está tal vez lo interesante.
Quien lo lea desde fuera, y desde dentro, no debe creer que todos opinan así. Ha habido y hay grandes matemáticos que encontraban placer en exponer sus ideas de modo inteligible incluso para los más ignorantes y aparentemente peor preparados. En ello encontraban gusto y provecho… (Quienes han escrito tratados con gran cuidado seguro que así lo hacían. Euler, Cauchy, Goursat, Jordan, Hadamard,…)
Hay muchos aspectos que claramente no suscribirían otros y hoy día mucho menos. Sobre que valga la pena la contemplación matemática. Todos contemplamos, y en alguna forma somos capaces de gozar de la creación de otros. De vez en cuando se puede dar la chispa creativa de mayor o menor profundidad, y esto es también un gran gozo y una gran satisfacción estética.
Los matematicoi sabrían probablemente que los acusmaticoi también podían gozar de la contemplación. Y entre los matematicoi estarían otros además de Hipaso, que contribuirían más modestamente a los avances de la matemática.
Desde luego sus ideas sobre la inutilidad de su matemática pronto se encontraron con su contradicción. Equipara las teorías de Einstein, creadas no mucho antes, con la teoría de números. Al poco tiempo, el libro se publica en el 40, aparece la bomba atómica, surgida de las posibilidades de las ideas de Einstein, más aún a instancias explícitas de Einstein mismo.
No le importa expresar directamente su opinión contraria directamente de personas bien conocidas de su tiempo. Hogben, Whitehead,…
Un libro directo escrito sin ambages. Aquí está lo que pienso, guste o no guste, escrito como lo pienso, sin florituras, con claridad. Sobre un asunto que interesa al matem
Lo que empezó y fué diseñado como excusa (autojustificación)…
se ha convertido en apología (defensa)
los trazos más interesantes del libro
la descripción de la belleza de las matemáticas
la descripción del trabajo del matemático
la vehemencia de expresión de sus ideas
ideas que muchos no compartiríamos
si puede ser apasionante la observación del cricket, incluso a distancia (Australia) ¿cuánto más el observar las construcciones espectaculares, bellas, artísticas, de la matemática? Puede tener perfecto sentido
la actitud de Newton me gusta más que la de Hardy en este respecto
como un niño que juega en la playa y recoge unas caracolas y comparte el placer de observarlas con otros mientras el océano de la verdad yace delante de él…
I seem to have been only like a little boy playing on
the sea-shore and diverting myself in now and then finding a smoother pebble
or a prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay
all undiscovered before me.
Observaciones sobre una lectura el 8 Agosto 99.
La experiencia melancólica de escribir sobre matemáticas… Un libro triste en el fondo
Una confesión de debilidad por la que puedo ser censurado o compadecido por matemáticos más jóvenes y vigorosos.
La masa de matemáticas verdaderas es impresionante… Todo esto puede ser muy confortante para los matemáticos pero apenas es posible que un matemático genuino se contente con ello. Hay motivos para una defensa más racional de la matemática.
Dos cuestiones principales (3): The first is whether the work which he does is worth doing; and the second is why he does it (whatever its value may be).
Good work is not done by "humble" men.
La opinión cruda de Hardy.
La mayor parte de la gente no sabe hacer bien nada en absoluto.
Pareceres que son interesantes por su rotundidez…
Es innegable que un don para las matemáticas es uno de los talentos más especializados y que los matemáticos en su conjunto no se distinguen particularmente por su verstailidad o capacidades generales.
(6) Sobre la primera cuestión:
Is mathematics, what I and other mathematicians mean by mathematics, worth doing; and if so, why?
Harmlessness, unprofitable
If we are wasting our time, the waste of the lives of of a few university dons is no such overwhelming catastrophe?
Permanencia
Los motivos para perseguir una investigación
Curiosidad intelectual
Orgullo profesional
Ambición
Cómo se dan en matemáticas
Humor de vez en cuando
Russell que ve cómo sus Principia Mathematica a punto de caer en el vacío…
A mathematician a maker of patterns
Permanentes porque son ideas
Must be beautiful
Best mathematics is serious
Seriousness, significance
A serious theroem is one which connects significant ideas
Seriousness lies not in its consequences, but in its content
Real mathematical theorems
Difficult task
Superioridad en el caso de la existencia de infinitos primos. Son la base de la aritmética.
En el caso de la irracionalidad. Otras demostraciones distintas de hechos muy profundos y piedras angulares de porciones importantes de la matemática.
La observación de la poca importancia del cálculo de muy exactas aproximaciones. El poco interés práctico de los teoremas de Euclides y de Pitágoras.
Ideas significantes.
Generalidad y profundidad
Profundidad. Compara con dos hechos bien poco profundos de las recreaciones de Ball, taken almost at random, dice. Creo que no.
La idea de Leibniz y de Hardy respecto de los juegos.
Generality
No se trata de abstracción, porque toda la matemática lo es.
Una cierta dosis de generalidad en un gran teorem, pero no demasiada.
A property common to too many objects can hardly be very exciting, and mathematical ideas become dim unless they have plenty of individuality.
Depth
Something to do with difficulty but not the same. Pythagoras theorem is deep but not difficult.
Estratos en que se encuentran las ideas en matemáticas. Las de estratos inferiores más profundas. Irracional más profundo que entero y este más superficial que racional.
Infinitud de primos no muy profunda. Distribución de primos profunda.
Real mathematics.
In the examples (infinitud de primos y sqrt2 es irracional)
Unexpectedness
Inevitability
Economy
19 I am interested in mathematics only as a creative art.
Other questions
Utility
Harmlessness
The questions: puede la matemática tener esta clase de utilidad
Qué matemática
Hasta qué punto esto puede justificar la dedicación al estudio intenso de la matemática
21 Una buen porción de cálculo
la matemática real (fermat, Euler, Gauss, Abel, Riemann) casi totalmente inútil
parece que nos gloriamos de la inutilidad
both Gauss and lesse mathematicians may be justified in rejoicing that there is one science at any rate, and that it is their own, whose very remoteness from ordinary human activities should keep it gentle and clean.
22 Matemática pura y aplicada
realismo de Hardy
25 página 131
I count Maxwell and Einstein, Eddington and Dirac, among 'real' mathematicians. The great modern achievements of applied mathematics have been in relativity quantum mechanics, and these subjects are, at present at any rate, almost as 'useless' as the theory of numbers.
26 What parts of mathematics are useful?
School mathematics: aritmética, álgebra elemental, geometría euclídea elemental, calculo diferencial e integral elemental
Una buena proporción de la matemática universitaria es también útil
Conclusión general es útil lo que necesita un ingeniero superior o un físico moderado
Una conclusión curiosa. La matemática pura es en su conjunto más útil que la matemática aplicada. Porque lo que es útil sobre todo es la técnica y eso se aprende en la pura más que en la aplicada.
Lo patético del matemático
Si quiere ser útil ha de trabajar en un modo (humdrum) ordinario, de lugares comunes y no puede dar rienda suelta a su imaginación incluso cuando quiere elevarse alas alturas…..
Creo que todo esto es muy vago y sin sentido.
27
Hogben, Whitehead, hablan del tremedo efecto del conocimiento matemático sobre las vidas de los hombres….
Creo que Hardy pretende no entender aquello de lo que Whitehead habla.
Efectivamente el confort del hombre depende de unas cuantas cosas, ahora bastantes, de matemática elemental y de otras mucho menos elementales. Pero el progreso humano no ha sido posible sin lo que la matemática ha representado en su conjunto sobre la actitud misma, por ejemplo, del hombre con respecto a la naturaleza, con respecto a la idea misma de poder explorarla y dominarla, de atreverse. Que es obra de unos pocos este tipo de interpretación, pero estos pocos han ejercido una influencia inmensa sobre otros muchos que han hecho posible poco a poco el progreso sobre esta base. Una sociedad que hubiera arrinconado y no hubiera sido capaz de estimular y albergar a estos grandes hombres hubiera sido inmensamente más pobre.
Yo creo que todo esto sí que es de confort para los matemáticos. Las filigranas técnicas que nos hacen ver un teorema profundo de teoría de números tienen un snetido diferente, por supuesto, en lo que se refiere a la utilidad y a la belleza.
La matemática de White afecta, dice Hardy, la física, la astronomía, la foilosofía, pero tien muy poco efecto sobre ninguna otra cosa.
Its "tremendous effects" have been, not on me generally, but on men like Whitehead himself.
Como si la influencia de las ideas sobre la civilización y el progreso no se realizara a través de unas pocas personalidades fundamentalmente que han adivinado de algún modo el valor profundo de ellas y el valor para cambiar el sentido de la vida de los hombres…
28
El daño de las matemáticas.
There is one comforting conclusion which is easy for a real mathematician. Real mathematics has no effects on war…..
Muy inetresante en cuánto se puede engañar uno.
Trivial mathematics, on the other hand, has many applications on war.
Bombs are probably more merciful than bayonets
Lachrymatory gas and mustard gas are perhaps the most humane weapons yet devised by military science
Tesis extrañas que no muchos apoyarían
29
Mi camino.
Su concepción de la matemática. Un ejercicio
competitivo. Fundamentalmente como Dieudonné. Pero hay muchos que
no lo consideramos así.
Su trabajo con Littlewood y con Ramanujan.
I hate "teaching", and have had to do very little, such teaching as I have done having been almost entirely supervision of research; I love lecturing, and have lectured a great deal to extremely able classes; and I have always had plenty of leisure for the researches which have been the one great permanent happiness of my life.
I have never done anything "useful".
Una confesión final sincera sobre cómo se
ve él mismo.