Aquí puedes ver el Indice, Prólogo y Capítulo 0 de la obra Miguel de Guzmán, Aventuras Matemáticas. Una ventana hacia el caos y otros episodios. (Pirámide, Madrid, 1995)



 
 

Indice

Prólogo

  1. Este capítulo es muy importante,… pero no hace falta que lo leas
  2. Algunos casos para entrenar el olfato
2. Escaleras abajo... con el descenso de Fermat

3. El juego de los quince... y unos cuantos más

4. Escaleras arriba... hacia el paraíso de Cantor

5. Algunas metamorfosis del plano

6. Palomas, palomares... y el principio de Dirichlet

7. Sobre el infinito

8. A vueltas con las flechas

9. Sobre números y primos

10.La región perdida

11.El cubo, la termita y otros animales geométricos

12.Una curva polivalente

13.Fácil dc entender, difícil de resolver

14.Una iniciación a los fractales

15.Una ventana hacia el caos

16.El teorema de Fermat y otras conjeturas

17.Los números primos y el espionaje. Criptografía de clave pública

18.Sobre el teorema de Gödel

Bibliografía

Índice de nombres

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Prólogo

Aqui tienes una variada colección de juegos, enigmas, historias..., con cierto contenido matemático. La intención con la que los he escogido ha sido la de ayudarte a comprobar que éste tipo de exploración de la realidad puede resultar interesante, divertida y en ocasiones apasionante. Por otra parte, algunas de las cuestiones que iremos viendo juntos, además de ser entretenidas, tocan muy de cerca porciones profundas de la matemática de todos los tiempos y tienen hondas ramificaciones hacia algunos de los misterios aún pendientes de ella.

La ciencia toda viene a ser una inmensa tarea de exploración de los muchos enigmas que nos presenta la naturaleza. Estos enigmas son unas veces bien concretos y cercanos:

¿Cómo funciona el cerebro humano para que el hombre sea capaz de conocer que conoce? ¿Cuáles son y cómo interaccionan los componentes últimos de la materia? ¿De cuántas maneras distintas se puede doblar un mapa de carreteras con m x n dobleces? Otras veces lo que nos ocupa son enigmas más abstractos sobre las realidades mentales que nos fabricamos: ¿Habrá una infinidad de pares de números primos cuya diferencia sea 2, tales como (11, 13), (29, 31), (101, 103), (2381,2383), (3557,3559)...? Entre los números 11, 111, 1111, 11111..., ¿habrá una infinidad de números primos? Como verás, las cuestiones matemáticas que en estos ensayos surgen son unas veces concretas y otras más abstractas.

He querido escribir estos capítulos contando esencialmente con tu intervención activa. Tú vas a ser el detective y has de tratar de esclarecer los casos que se presentan. Cada pregunta que surge a lo largo del proceso, aunque yo no te lo sugiera explícitamente cada vez, debería servirte para hacer una pausa en tu lectura y pensar un rato en ella. Unas veces no será difícil que des rápidamente con la respuesta adecuada, otras sí, pero, en todo caso, el tiempo que dediques a pensar por ti mismo será el mejor empleado.

En el capíitulo 0 encontrarás unas cuantas sugerencias sobre el gran problema de cómo afrontar los problemas, matemáticos y no matemáticos. Hay capítulos que diseccionan juegos clásicos y otros menos clásicos, otros que presentan cuestiones de diferentes tipos y sabores, otros en que trataremos de seguir el hilo de pensamiento de algunos grandes pensadores de la matemática como Fermat, Cantor, Brouwer... Al final de cada capitulo encontrarás notas que tratan de enmarcar alguna de las moralejas del capítulo mediante la biografía de personajes importantes, el sentido de alguna teoría... Hay también notas que contienen algo de lo que yo pienso sobre la actual didáctica de las matemáticas. Seguro que muchas de estas opiniones estarán equivocadas, pero me ha parecido que, en conjunto, te pueden ayudar a formarte tu propia idea de la matemática actual y de lo que se puede tomar y dejar de lo que es la oferta actual en los distintos niveles de la enseñanza.

En la versión de Aventuras matemáticas que ahora tienes en tus manos encontrarás la ocasión de vivir cinco nuevos episodios que tienen que ver con temas apasionantes y profundos. Tendremos la oportunidad de explorar juntos algunos aspectos del caos matemático, de los fractales, de la criptografía de clave abierta, del teorema de Fermat y del teorema de Gödel. Como verás, la matemática es un campo inagotable de sorpresas y de goce estético.

A fin de poder participar más cómodamente de algunos de los nuevos desarrollos que aqui se presentan, este libro va acompañado de un disco que contiene unos cuantos sencillos programas preparados para usar con el programa de cálculo simbólico DERIVE. Aquellos que tienen la posibilidad de utilizar el programa DERIVE (versión 2.5 o siguientes), un programa muy fácil de manejar que se puede introducir en cualquier ordenador personal y que es relativamente barato, tendrán la oportunidad de actuar ellos mismos como encriptadores del sistema de clave abierta o de percibir cómo se van formando en sus pantallas las telarañas del caos, entre otras cosas.

En cualquier caso, estos cinco episodios han sido escritos de manera que se puedan seguir con entera independencia del disco y de toda utilización del ordenador. Quienes quieran utilizar el disco encontrarán en los correspondientes apéndices información suficiente para hacerlo.

Es una gran satisfacción para mí constatar que, después que fue publicada en 1988 la primera versión de estas Aventuras matemáticas, el libro ha sido traducido al portugués, finlandés, francés y chino, con lo que un gran número de personas han compartido con los lectores de habla española y conmigo estas muestras del gran placer estético que la matemática puede proporcionar.

Quiero agradecer muy especialmente la colaboración de mi hijo Miguel, que con sus viñetas ha animado estas aventuras matemáticas. Muchos amigos, demasiados para nombrarlos a todos individualmente, han leído mi texto inicial. Sus observaciones, muy atinadas, han sido incorporadas en la versión final. A todos ellos, muchas gracias.

Madrid, junio de 1995.

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Capítulo 0

Este capítulo es muy importante..., pero no hace falta que lo leas

Los cuentos y juegos matemáticos que vamos a ir recorriendo juntos se pueden concebir como historias policíacas en las que tú mismo vas a ser el detective. Tú vas a ser el primero que las vivas... a tu modo, aunque otros muchos las hayan vivido antes al suyo. ¡Prepárate para la aventura! El buen detective se caracteriza por el buen olfato. Es claro que el buen olfato, supuesto que uno no tenga estropeadas las narices, se adquiere... oliendo mucho y muy diverso y ejercitándose en tratar de distinguir unos olores de otros y de sacar consecuencias. Así, si quieres convertirte en un buen detective tendrás que ejercitarte a fondo. No hay recetas maravillosas para lograrlo.

Lo que por mi parte puedo ofrecerte en este capítulo para ayudarte es una colección de estrategias generales que los detectives de todos los tiempos han utilizado en sus tareas. Tu experiencia acumulada te hará sentir, cuando te tropieces con una situación particular, cuál es la estrategia o estrategias combinadas que pueden adaptarse a tu caso. A lo largo de los casos concretos que iremos viendo juntos en los capítulos posteriores mi intención es ayudarte a calzar los zapatos de los grandes sabuesos de la matemática y a mirar a través de su lupa, que será, generalmente, mirar a través de alguna de estas estrategias que te presento.

No trates de aprenderlas de carrerilla. ¡Aquí no se trata de memoria! Ojéalas ahora por encima para familiarizarte un poco con ellas. Luego, ante un problema concreto, recórrelas suavemente para presentir las que sean más adecuadas como instrumento de ataque. Al ir viéndolas en acción unas cuantas veces irán penetrando de modo natural en tu olfato y se harán cosa tuya para siempre. Primero te las iré enunciando y explicando un poco en detalle y al final del capítulo te las encontrarás todas juntas, en una lista, de forma resumida para que te sea mas fácil verlas de una sola ojeada.

 ¡Ah! Una última observación. No pienses que las estrategias de pensamiento que aquí tienes sólo son buenas para resolver problemas y juegos matemáticos. En líneas generales, cambiando lo que hay que cambiar, esas mismas estrategias las puedes utilizar en un montón de problemas de la vida ordinaria. Esto es algo muy importante que la matemática puede enseñar a todo el mundo, un método de pensamiento sobrio, razonable, fiable...
 
 

A. Antes de hacer, trata de entender

Se cae de su peso, pero a veces, por apresurados que somos por prisas que nos imponen desde fuera, nos ponemos inmediatamente en camino... hacia ninguna parte. Sherlock Holmes, cuando se le proponía un caso, acumulaba primero toda la información que podía, detalles en todos los periódicos, visitas a lugares posiblemente relacionados, chismes a través de vecinos o a través de la banda de pilletes de Londres, sus espías particulares... y luego, con todo aquel amasijo de datos en su cabeza se ponía... a improvisar en su violín o a hacer locos experimentos de química en su laboratorio personal, por largos ratos. Cuando a ti te propongan un caso, un juego, un problema, un rompecabezas, que todo viene a ser lo mismo, debes asegurarte de que entiendes a fondo las reglas del juego, los datos, y el posible lugar que tiene cada una de sus piezas y cómo se engarzan unas con otras. Manéjalas, familiarízate con los elementos de la situación, juega con ellos un rato. Aunque al principio te parezca otra cosa, ganarás tiempo.
 
 

B. En busca de estrategias

En esta etapa del proceso debes tratar de hacerte con un montón de posibles modos de ataque del problema. Se trata de que fluyan de tu mente muchas ideas, aunque en principio puedan parecerte totalmente descabelladas. Las ideas más estrafalarias pueden resultar después las mejores. Como dicen los técnicos del brainstorming (tormenta de ideas, una de las técnicas de creatividad), cantidad engendra calidad. Todavía no vas a poner en práctica ninguna. Para procurar que fluyan muchas ideas, es necesario que actúes con espontaneidad, que aplaces el juicio crítico sobre ellas, no se trata ahora de decidir si una es mejor que otra. No te importe nada que a primera vista puedan parecer ridículas. ¡Ya veremos si lo son! Al primer gentleman que en Londres tuvo la ocurrencia de utilizar una sombrilla para protegerse de la lluvia le bombardearon con insultos y tomates. ¡Diles hoy a los británicos que eso del paraguas es un ridículo y afeminado invento!

Para facilitar este flujo de ideas posibles aquí tienes unas cuantas pautas que puedes ensayar. Estoy seguro de que tu experiencia irá aumentando la lista con sugerencias útiles distintas que a ti te servirán mejor.

B.1. Busca semejanzas con otros juegos y problemas. Nada hay nuevo bajo el sol. ¿A qué te recuerda la situación? ¿No presientes que tal vez sea como aquella otra?

B.2. Empezar por lo fácil hace fácil lo dificil. El problema es complicado tal vez porque hay muchos elementos. ¿Por qué no te lo haces más fácil tú mismo? Fabrícate uno semejante, con menos piezas. Tal vez en él te saltará la chíspa que te sirva para resolver el más complicado.

B.3. Experimenta y busca regularidades, pautas. La experiencia es la madre de la ciencia, también de la matemática. Los grandes teoremas de la historía de la matemática son fruto de muchos experimentos, más o menos locos. También la matemática procede por ensayo y error, otro ensayo y otro error...

B.4. Hazte un esquema y si se tercia..., píntalo en colores. Somos

muchos los que pensamos mejor con imágenes que con palabras. Una imagen vale más que mil palabras. Si tu modo de pensar es así, estás en buena compañía. Einstein, por ejemplo, afirmaba que su pensamiento, cuando investigaba, no era nunca verbal, sino acompañado de imágenes sensoriales, e incluso motrices.

B.5. Modifica el problema, cambia en algo el enunciado, para ver si se te ocurre así un posible camino. No será ya el problema propuesto, pero te puede proporcionar una escalera a la que puedes añadir otra y llegar a tu objetivo.

 B.6. Escoge una buena notación. Muchos problemas se enrevesan endiabladamente con una notación inadecuada y se vuelven transparentes como el agua en cuanto tomas los ejes adecuados, los nombres apropiados de los elementos... La notación mejor es la que se presta mejor a la expresión de las simetrías, la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa. Leibniz y Euler fueron los creadores de una gran parte de la notación que aún hoy usamos en matemáticas y, gracias a su adecuación a lo que querían representar, consiguieron hacer mucho más fáciles problemas complicados.

B.7. Explota la simetría..., si puedes. Son muchos los juegos, los problemas que se resuelven mediante apoyo en la simetría que presentan de forma expresa o velada. Piensa en esta posibilidad en tu caso particular.

B.8. Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. ¿Cómo marcha la cosa? Imaginate que te proponen el siguiente puzzle facilísimo: demuestra que un mismo peón en el ajedrez sólo puede moverse, a lo más, seis veces. Puedes proceder así: supongamos que un peón se mueve siete veces. Como sale de la segunda fila y en cada movimiento avanza al menos a la fila siguiente resulta que al sexto movimiento está al menos en la fila octava y en el séptimo se saldría del tablero. Absurdo. Así resulta que no puede moverse siete veces. Son muchos los problemas que se pueden manejar así. Quieres demostrar que una situación se comporta de la forma A. Empiezas suponiendo que no se comporta así. Vas deduciendo y razonando correctamente y tu cadena de razonamientos te conduce a que lo blanco es negro. Entonces es claro que tu punto de partida, no A, tiene que ser falso. Así, la situación inicial tiene que ser A.

B.9. Supongamos el problema resuelto. Esta táctica te será de especial utilidad en los juegos y problemas en los que tengas que construir alguna figura, algún elemento que deba estar relacionado de forma determinada por las reglas del juego, con otros que te den. Al imaginarte el problema resuelto, construyendo de forma aproximada, a ojo, cómo debe de ir la cosa tienes la oportunidad de explorar las relaciones entre los elementos dados y los que buscas y así, al aproximarlos, puede saltar la chispa que te haga ver claro cómo debes proceder a partir de los datos

B.10. Piensa en técnicas generales: inducción, descenso, proceso diagonal, principio del palomar... No te atosigaré aquí contándote una por una estas estrategias que son verdaderas joyas del pensamiento matemático, increiblemente sencillas y potentes a la vez. Ya las verás en otros capítulos más adelante. Cada una de ellas lleva el nombre de un matemático famoso que fue quien enriqueció la ciencia con el uso sistemático de su estrategia: principio de inducción de Pascal, principio de descenso de Fermat, proceso diagonal de Cantor, principio del palomar de Dirichlet... Poco a poco, con paz, las iremos contemplando juntos y haciendo uso de ellas.


 
 

C. Lleva adelante tu estrategia

Tienes ya unas cuantas estrategias posibles para atacar tu problema acumuladas en la etapa B. Lo más aconsejable es que tengas delante una lista escrita de todas ellas, sin olvidar las que en un principio te parecieron más absurdas...

Lo mejor sería que ahora, para incubar tus ideas y esperar la iluminación, te dedicaras un buen rato a tocar el violín o a hacer experimentos de química, como Sherlock Holmes, o bien a hacer experimentos de cocina, como hago yo, que es algo parecido y mucho más sustancioso... o bien que te enfrascaras en cualquiera de tus manías preferidas. Deja que tu subconsciente amase a su gusto el revoltijo de ideas que le has preparado...
 
 

Has vuelto al problema. Ahora llega el momento de juzgar cuáles de las estrategias que tienes en tu papel tienen más probabilidades de éxito. Tal vez la idea que antes parecia tan descabellada ahora te parezca precisamente la mejor.

C.1. Lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la etapa B. Una a una. No las mezcles en un principio. Trabaja con decisión y confianza en ti mismo, ordenadamente, con paz, sin aturullamientos. Si al poner en práctica una idea se te ocurre otra totalmente inconexa con ella que piensas que puede ayudarte, ¡no la deseches! ¡Apúntala en tu lista! Pero tampoco dejes desviar tu atención de la que ahora estás llevando adelante.

C.2. No te arrugues fácilmente. Pero tampoco te emperres demasiado con una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra vía. No abandones fácilmente una idea que te pareció buena, pero debes estar preparado a reconocer que tal vez su bondad fue un espejismo que resulta claro al adentrarte más en ella. Si ves que no te acerca nada a la solución, ensaya otra. Recuerda: ensayo y error, ensayo y error...

C.3. ¿Salió? ¿Seguro? Mira más a fondo tu solución. No te engañes a ti mismo. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco. Cerciórate bien de que has llegado a la solución.
 
 

D. Saca jugo al juego y a tu experiencia

¿Has resuelto tu problema? ¡Enhorabuena! ¿O bien lo has trabajado durante horas, has acabado por no resolverlo y has decidido mirar la solución? ¡Enhorabuena también! Si has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentando, y has decidido mirar cómo demonios se resuelve, la experiencia puede ser incluso más satisfactoria que en el primer caso. Muchas veces aprende uno mucho más y más profundamente de los problemas intentados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que uno resuelve casi a primera vista. Lo que hace falta en todo caso ahora es que reflexiones sobre todo el proceso durante un rato para darte a ti mismo una idea de cuáles fueron tus dificultades, los callejones sin salida en los que te metiste y por qué..., y cómo podrías proceder en el futuro para resolver mejor otros problemas y juegos, semejantes o no. Esta etapa del proceso puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar.

D.1. Examina a fondo el camino que has seguido tú. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien?

D.2. Trata de entender no sólo que la cosa efectivamente marcha, sino también por qué tiene que marchar así. No te contentes con ser el afortunado burro a quien le sonó la flauta por casualidad. Sí no te exiges más, la mayor parte de las veces serás más desafortunado. Por definición, las casualidades son raras.

D.3. Mira ahora a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple. Los matemáticos no suelen considerar que han entendido un teorema si no son capaces de verlo con una sencilla mirada sosegada que les permita contemplar de un golpe al menos sus piezas principales, sin tener que reptar penosamente de un silogismo a otro. Quien lo consigue entender así, será capaz de edificar sobre este resultado otras estructuras más potentes.

D.4. Mira hasta dónde da de sí el método que has seguido para ver si lo puedes usar en otras circunstancias. Tal vez puedas inventar tú mismo otros juegos o problemas más interesantes que se resuelvan con los mismos procedimientos, la misma idea feliz.

D.5. Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrias fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

Aquí tienes en forma resumida las sugerencias que te he detallado arriba.
 
 

A. ANTES DE HACER TRATA DE ENTENDER
 
 

B. EN BUSCA DE ESTRATEGIAS

B.l. Busca semejanzas con otros juegos y problemas.

B.2. Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil.

B.3. Experimenta y busca regularidades, pautas.

B.4. Hazte un esquema y si se tercia… píntalo en colores.

B.5. Modifica el problema, cambia en algo el enunciado, para ver si se te ocurre así un posible camino.

B.6. Escoge una buena notación.

B.7. Explota la simetria..., si puedes.

B.8. Supongamos que no..., ¿a dónde nos lleva?

B.9. Supongamos el problema resuelto.

B.10. Piensa en técnicas generales: inducción, descenso, proceso diagonal, principio del palomar...
 
 

C. LLEVA ADELANTE TU ESTRATEGIA

C.1. Lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la etapa B. Una a una. No las mezcles en principio.

C.2. No te arrugues fácilmente. Pero tampoco te emperres demasiado con una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra via.

C.3. ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
 
 

D. SACA JUGO AL JUEGO Y A TU EXPERIENCIA

D.1. Examina a fondo el camino que has seguido tú. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O por qué no has llegado a la solución?

D.2. Trata de entender no sólo que la cosa efectivamente marcha, sino también por qué tiene que marchar así.

D.3. Mira ahora a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple.

D.4. Mira hasta dónde da de si el método que has seguido para ver si lo puedes usar en otras circunstáncias.

D.5. Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.
 
 
 
 

Notas

¿Sabías que casi todos nosotros estamos aprovechando una mínima parte de nuestra capacidad intelectual para resolver problemas y pensar creativamente? Sí, en general todos tenemos nuestra mente ocupada a muy bajo rendimiento. ¿Por qué? Por muy diversas causas, entre las más importantes porque dejamos que nuestra mente quede dominada por bloqueos de muy diversas clases. Muchos son bloqueos culturales que se nos han metido en la cabeza desde pequeñitos, otros son bloqueos emocionales, otros son bloqueos de nuestro ambiente particular... He aquí unos cuantos:

• «BUSCA LA SOLUCIÓN CORRECTA» Con frecuencia puede haber quince soluciones correctas para muchos problemas. Esto hace que cuando encontramos una nos creamos que ya está hecho todo, siendo así que lo más probable es que no sea ni la mejor ni la más adecuada, bonita, elegante, novedosa, ni la que sirve para siempre...

• «HAY QUE SER PRÁCTICOS» Cualquiera que hubiese asistido desde dentro a las especulaciones solitarias de Einstein casi niño pensando qué ocurriría si se elevara en un ascensor a velocidad cercana a la de la luz le hubiera tirado de las orejas por su pérdida de tiempo: «Albert, en lo que tienes que pensar es en los deberes...»

• «ES MALO EQUIVOCARSE» Y como tenemos miedo a equivocarnos, hacemos las cuatro cosas de las que estamos seguros. Así, con suerte, hacemos CUATRO cosas bien. En cambio, el que sabe que se equivocará en el 40 por 100 de las veces y a pesar de ello va adelante y hace veinte cosas, hará DOCE cosas bien.

• «NO SEAS INFANTIL. JUGAR ES DE NIÑOS» Y sin embargo, del juego, del cultivo del pensamiento ambiguo, de hacer un poco el loco, es de donde salen más a menudo las ideas geniales.

El estudio sistemático de la creatividad y de sus mecanismos es cosa bastante reciente. Empezó en Estados Unidos en los años cincuenta. Pronto se empezaron a poner de manifiesto muchos elementos de la educación tradicional que lo que hacen es inhibir y apagar la creatividad innata que los niños presentan... hasta que han pasado unos pocos años en la escuela. Hacia los diez años, después de unos cuatro años de esfuerzo por introducirles en el sistema de pensamiento de los adultos, para muchos se acabó la espontaneidad de pensamiento y de acción, las ideas brillantes, el gusto por ensayar cosas nuevas... Triste, ¿no? Si te interesa ver qué puedes hacer para salir de la jaula tú mismo y ayudar a otros a salir de bloqueos y de increatividad, puedes buscar en la literatura sobre psicología y pedagogía nombres como Guilford, Torrance, Taylor... Muchos de sus libros están traducidos al castellano.