Un grupo para solitarios

En el siglo 18 un aristócrata francés fue confinado en una aislada celda de la Bastilla. El solitario noble inventó un solitario para soportar su soledad. El juego hizo furor más tarde en la Inglaterra de la reina Victoria y hoy día ha tenido un fuerte relanzamiento.

Puedes jugarlo sobre un tablero de ajedrez muy cómodamente con 32 monedas de peseta. La diferencia de color no va a importar aquí nada. Con unas cuartillas tapa los cuadros necesarios del tablero para que te quede una figura así:
 

Coloca ahora las 32 monedas, una en cada cuadro menos en el señalado. Así:

Ahora puedes empezar a mover las pesetas. Se pueden mover haciendo saltar una moneda por encima de otra contigua (a su derecha o a su izquierda, arriba o abajo) si es que al otro lado de aquella sobre la que se salta hay un cuadro vacío. Entonces se come, es decir se retira, aquella peseta sobre la que se ha saltado. Por ejemplo, se puede pasar de esta situación

a esta otra

o de ésta

a ésta

Se trata de lograr que al final el tablero quede casi todo lo contrario de lo que estaba en un principio, es decir, así:

El juego es entretenido y nada fácil. Ponte manos a la obra, a mover el capital de un escaque a otro. Escaque, por cierto, es el término del diccionario para la casilla del tablero de ajedrez. Ahora no sigas leyendo, cierra el libro y cuando te hayas entretenido un buen rato, vuelve...
 
 
 

... Y perdóname por haberte tomado un poco el pelo. El juego así propuesto es imposible. ¿Que cómo lo sé? A lo mejor tú has encontrado otro modo de verlo en todo este rato (si es así, ¡enhorabuena! y por favor escríbemelo), pero a mí me contó este método Allen Shields, de la Universidad de Michigan, metiendo por medio el grupo de Klein. ¿Que qué es eso? Es el grupo conmutativo de cuatro elementos que llamaremos a, b, ab, 1 (el tercero ab se podría llamar c, por ejemplo, pero llamándolo ab la tabla de multiplicar de este grupo será más fácilmente memorizable). La tabla del grupo es la siguiente:

(Como ves, sólo nos tenemos que acordar de que aa = 1, bb = 1 y de que 1, naturalmente, es la unidad del grupo.)

¿Qué tiene que ver esto con el solitario? En realidad, se puede relacionar con unos cuantos juegos y solitarios, como verás más adelante. En nuestro tablero podemos escribir los elementos del grupo de Klein en la forma siguiente:
 

Observa estas dos cosas: 
1) El producto de todos los elementos del grupo correspondientes a casillas ocupadas por pesetas al comienzo del juego es a. Esto es claro pues cada tres cuadros contiguos contienen a, b, ab y abab = 1. Con esto se hace fácil el producto señalado y resulta ser a.

2) El efectuar con las pesetas un movimiento cualquiera de los permitidos en nuestro solitario se puede interpretar de la siguiente manera. Consideramos por ejemplo el movimiento:

Fíjate que tal como hemos denominado las casillas con los elementos del grupo de Klein en todo caso el elemento del grupo situado en la casilla ocupada después del movimiento es el producto de los elementos del grupo situados en las casillas ocupadas antes del movimiento realizado. Así resulta que el producto de los elementos del grupo correspondientes a casillas ocupadas antes de un movimiento es el mismo que el producto de los elementos correspondientes a casillas ocupadas después, es decir, este producto es invariante a lo largo de nuestros movimientos.

Con estas dos observaciones queda claro que el solitario propuesto va a ser imposible. Al principio, el producto de los elementos del grupo correspondientes a casillas ocupadas era a y, en el juego propuesto, al final debería ser b, pero esto es imposible.

El solitario del caballero de la Bastilla no tenía tan mala idea. La posición final debía ser ésta, en que, como ves, el producto correspondiente al único elemento que debe quedar es a, corno al principio.

Ahora sí que va en serio. Disponte a pasar un rato entretenido. Cierra estas páginas y... a mover el capital, Es posible que te salga. Lo difícil, si te sale, es que te acuerdes de cómo lo has logrado. Si no te sale y pides sopitas o si quieres impresionar a tus amigos mostrando tu clarividencia, vuelve conmigo.

Aquí tienes una estrategia, compuesta de unos cuantos macromovimientos que te permiten dar pasos de gigante. Cada macromovimiento es una sucesión de movimientos obvios en la que un conjunto básico de cuadros con fichas en una cierta situación catalizadora a su lado se puede vaciar sin modificar los catalizadores.

Macromovimiento a. De una situación parcial como ésta:

se pasa a la siguiente,

Macromovimiento b. De esta situación:

se pasa a:

Macromovimiento c. De la situación:

Para emplear estos macromovimientos, coloquemos el cuadro inicial, con un movimiento, en esta situación:

Y ahora te indico los macromovimientos que puedes emplear, por su orden, para llegar a un final feliz.

Una pregunta curiosa. Con el mismo comienzo se pide acabar en esta situación:

o bien en ésta:

Como puedes ver fácilmente, no parece existir la obstrucción de la trampa que te puse al comienzo. El producto al comienzo era a y sigue siendo a al final. ¿Se puede resolver el solitario con estas condiciones? ¿Podrías encontrar una receta si se puede? Si la encuentras, por favor envíamela.
 
 

"El solitario anterior me agrada mucho. Yo lo juego en orden inverso. Es decir, en lugar de hacer una figura determinada (por ejemplo una ficha en el cuadro central) según las reglas del juego, o sea saltando sobre una ficha a un lugar vacío y retirando la ficha sobre la que se ha saltado, me parece mejor jugar al revés: partiendo de una figura determinada, saltando sobre un lugar vacío y poniendo una ficha en el lugar vacío sobre el que se ha saltado".

Estas son las palabras del gran Leibniz, en una carta de 1716. Leibniz estaba convencido del inmenso valor educativo de los juegos, como lo manifiesta explícitamente en otra carta de 1715:

«Nunca son los hombres más ingeniosos que en la invención de los juegos. El espíritu se encuentra ahí a sus anchas... Después de los juegos que dependen únicamente de los números vienen los juegos en los que interviene la situación... Después de los juegos en los que no intervienen más que el número y la situación, vendrían los juegos en que interviene el movimiento... En fin, sería deseable que se hiciese un curso entero de juegos, tratados matemáticamente.»

Nació en Leipzig donde se formó inicialmente en la biblioteca de su padre y luego en la universidad de su ciudad. Estudió primero derecho y luego se interesó especialmente por las matemáticas y la metafísica, siendo uno de sus ideales espirituales efectuar una síntesis metodológica que permitiera tratar con métodos matemáticos todo el campo del conocimiento. Se colocó al servicio del príncipe elector de Maguncia, comenzando así su carrera como político, que simultaneó con multitud de investigaciones de la naturaleza más diversa. Pocos científicos habrán sido capaces de compaginar una vida tan activa con una profundidad de pensamiento como la que se revela en los escritos filosóficos, matemáticos, lógicos, históricos..., de Leibniz. Al servicio del duque de Hannover Leibniz recorría incansablemente los países de Europa en su diligencia que era al mismo tiempo su lugar de pensamiento y de trabajo.