El matemático como naturalista

Pitágoras gozaba jugando con piedrecillas (cálculos) y haciendo cálculos con cálculos. Uno de sus juegos era el siguiente: 
 

«¡Ajá! -se dijo-. ¡Ya tengo el truco! La suma de los n primeros impares es n². »

Esto es un teorema surgido de las sencillas piedras de una playa..., y de la observación de Pitágoras. ¿Es esto una demostración? Si no lo es, está muy cerca, ¿no?

Euler miraba y remiraba con gran atención y placer su colección de cuerpos platónicos, los poliedros regulares, como quien mira una colección de piedras preciosas. Allí tenía el picudo tetraedro, el cubo con su pinta tan maciza, el octaedro, el extraño dodecaedro y el lío del icosaedro, todos iguales por todos los costados. Todos llenos de simetrías y regularidades. Se le ocurrió ir contando sus caras, sus vértices, sus aristas. ¡Tal vez habría alguna ley que conectara estos números! ¡En un mundo tan perfecto también estos números deberían ser regidos por una ley sencilla y transparente!

¿Por qué no te haces tú también una colección de cuerpos perfectos? Es muy fácil. Recorta en una cartulina, por ejemplo, un pentágono bien regular. La forma más fácil de trazar un pentágono regular consiste en hacer un nudo con una tira de papel como te indico en la figura. ¿Por qué no tratas de demostrar que si empiezas con una tira bien rectangular lo que te sale es un pentágono regular? Es bastante fácil conseguirlo.
 

Ayudándote con este pentágono recortado pinta en una cartulina grande doce pentágonos iguales a éste y juntos, de la forma que te indico (yo los pinto más pequeños, porque de otra forma no me caben)

Recorta ahora por las líneas exteriores dejando unas pequeñas pestañas para poder pegar las caras por los bordes. Así:

Dobla ahora por los bordes de los pentágonos (para hacerlo más exactamente, lo mejor es marcar un poco los bordes con un cuchillo) y trata de pegarlos para formar un poliedro cerrado. Sí los has pintado con suficiente exactitud observarás, ¡oh, maravilla!, que se cierran perfectamente y se pueden pegar las pestañas para obtener una figura así:

¿0 piensas que no es maravilla que se peguen bien? Haz un pequeño experimento. En lugar de partir de un pentágono regular, procede del mismo modo con un hexágono regular. Dibuja un montón de hexágonos regulares pegados y..., verás lo que pasa. Partiendo de un heptágono regular la cosa va aún peor. Pero partiendo de polígonos regulares de menos lados sí que puedes construir figuras cerradas. Experimenta un poco, que la experiencia es la madre de la ciencia. Partiendo de un triángulo equilátero, con cuatro, puedes formar un tetraedro, con ocho un octaedro regular, con veinte de ellos un icosaedro. Partiendo de un cuadrado se forma, con seis iguales, un cubo y partiendo de un pentágono regular, con doce, se forma un dodecaedro regular. ¿Qué misterio es éste? ¿Habrá más poliedros regulares? Trata de estudiar la cosa desde un punto de vista geométrico, que es como la estudiaron los antiguos griegos. ¿Por qué si con triángulos regulares, equiláteros, se pueden formar tres poliedros regulares distintos, con cuadrados, o pentágonos, solamente uno?

Cuenta, como Euler, y hazte una lista de los vértices, aristas y caras de tus poliedros regulares.

«¡Extraños números!», se dijo Euler cuando terminó. Pero a Euler no le amedrentaban los números. Empezó a echar cuentas con ellos. «Las aristas son siempre más que los vértices y que las caras... ¡Es natural! Si hemos partido de un L-ágono (polígono regular de L lados), para contar las aristas podemos multiplicar el número de caras C por L. Pero así, habremos contado cada arista dos veces. De este modo está claro que CL = 2A, siendo A el número de aristas. Como L es al menos 3, tiene que ser A > C. Veamos si se verifica la fórmula CL = 2A...

... Todo marcha como preveía.»

«¿Se podría establecer alguna relación semejante entre aristas y vértices?... Parece que se puede hacer algo parecido, Llamaré G al número de aristas que concurren en un vértice cualquiera, Así, para contar las aristas podemos multiplicar V, el número de vértices, por G. Pero así hemos contado dos veces las aristas. Por tanto VG = 2A. Veamos:

Todo va según lo previsto. Como G es siempre al menos 3, resulta A > V.»

Las listas de números anteriores son curiosa, ¿verdad? Hay unas relaciones extrañas. Observa:

Por otra parte, mirando los números L y G. resulta:

Estas relaciones parecen sugerir que el cubo y el octaedro se comportan entre sí de modo parecido al que lo hacen dodecaedro e icosaedro. Se pueden intercambiar caras por vértices y vértices por caras. ¿Qué explicación se puede dar de este fenómeno extraño?

En cada cara de un poliedro regular hay un punto especial, el centro. ¿Será posible que los centros de las caras de un octaedro ... ? ¡¡Sí!! ¡¡EUREKA!! ¡Son los vértices de un cubo! ¡Y los centros de las caras de un dodecaedro son los vértices de un icosaedro regular! ¡Y también al revés! Ya tenemos aclarado un enigma. Esta relación explica los cuadros de arriba plenamente. Incluso explica por qué el número de aristas es el mismo, 12, en el cubo y octaedro, y 30 en el icosaedro y dodecaedro. El CL de uno es el VG del otro y esto es 2A.

La introducción de los números G y L ha constituido una complicación de nuestra tabla inicial de C, V, A que nos ha aclarado algunas cosas. Pero, ¿se podrá hallar alguna relación directa entre C, V, A?

El cuadro inicial sugiere, jugando un poco con las cifras que allí figuran, la relación:

que se verifica en todos los casos. ¿Casualidad? ¿Hasta dónde llega esta relación? Construyamos otro poliedro no regular, un prisma, por ejemplo, o una pirámide. Parece que en cualquier poliedro de este tipo se tiene C + V = A + 2. Este fue, más o menos, el hilo del pensamiento del gran Euler y este es uno de los muchos teoremas famosos que llevan su nombre:

Euler nunca llegó a demostrar su teorema. Pasó casi un siglo hasta que Cauchy dio con una demostración que marcha mediante la siguiente idea fecunda. Supongamos el poliedro envuelto con una malla muy elástica que se pega a sus caras perfectamente. Pintemos en la malla las aristas y los vértices bien claramente, recortemos una de las caras, con su trozo de malla correspondiente, la quitamos y, haciendo uso de la elasticidad de la malla, desplegamos ésta sobre un plano de modo que las aristas no se hagan un lío. No es necesario que las aristas queden rectas. Por ejemplo, de un cubo queda esto:

de un octaedro,

de un dodecaedro,

Si demostramos que para cualquier figura de este tipo se verifica C + V = A + 1, ya tenemos el teorema de Euler demostrado.

¿Qué es una figura de este tipo? Es claramente una figura constituída por un conjunto de polígonos con lados curvilíneos de modo que no deja agujeros dentro, es decir una configuración poligonal curvilínea en cuyo interior se ha hecho una partición por polígonos curvilíneos que no se solapan.

Ahora podemos tratar de hacer una inducción sobre el número de polígonos que constituyen la partición de la configuración, basada en la observación de que si en una figura del tipo descrito eliminamos un polígono del borde exterior, lo que nos queda es una figura del mismo tipo, sólo que con un polígono menos. Si el número de polígonos es 1, entonces C = 1 y, como A = V, resulta C+ V= 1 + V= 1 +A.

Supongamos ahora que en el caso de una configuración cualquiera de h o menos polígonos se verifica C + V = A + 1 (hipótesis inductiva). Consideremos un caso cualquiera de una configuración en la que el número de polígonos, C*, es h + 1. Sean A* y V* el número de aristas y vértices. Si

Conocemos C + V = A + 2, CL = VG = 2A.

Así,    
C+CL/G=CL/2+2

Ahora bien, sabemos que G>=3, L>=3. Vayamos probando diferentes valores.

Por tanto, los únicos poliedros regulares que existen son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y, el icosaedro. No hay que buscar más, no pueden existir. Como ves, este método de demostración demuestra más que el método geométrico. Si es que has intentado establecer esta imposibilidad mediante el método geométrico, lo entenderás bien. Este método demuestra que, incluso si se quita la condición de regularidad y se impone simplemente que todas las caras tengan el mismo número de lados, aunque no sean regulares, resulta que no pueden existir otros poliedros que satisfagan esta condición más que los tetraedros, los hexaedros, los octaedros, los dodecaedros y los icosaedros, deformaciones de los poliedros regulares. Como ves, el método que hemos empleado aquí no ha tenido en cuenta para nada la igualdad del tamaño de caras, lados y ángulos.

Más adelante veremos alguna otra aplicación del teorema de Euler.

Es curiosísimo observar que en el espacio de tres dimensiones hay solamente los 5 políedros regulares conocidos por los pitagóricos. En el espacio de dimensión 4 hay 6 poliedros regulares (aquí se suelen llamar politopos regulares). En cambio, en el espacio de dimensión 5 hay sólo ¡tres! (el correspondiente al tetraedro, al cubo y al octaedro).

Kepler nació en 1571 en Weil der Stadt, una de las «ciudades libres» dentro del Sacro Imperio Romano Germánico. Nacido prematuramente y de una familia pobre, Johannes era pequeño y de escasa salud, pero su extraordinaria inteligencia pronto se hizo patente. Gracias a los duques de Würtemberg, comenzó estudios universitarios en 1587 en la Universidad de Tubinga, donde Michael Mästlin profesor de Astronomía, le introdujo en las ideas copernicanas sobre el sistema solar.

En 1591 Kepler, después de terminar su licenciatura, comenzó a estudiar teología en Tubinga mismo, con la idea de llegar a ser pastor luterano, pero en 1594, por la muerte de un profesor de Matemática en la ciudad austríaca de Graz, Kepler fue designado para ocupar la vacante.

La característica más llamativa del modo de pensar de Kepler fue la convicción profunda, ya presente en el mundo antiguo en Pitágoras y Platón, de que el universo entero es descifrable mediante el pensamiento matemático. Los planetas conocidos en su tiempo eran seis. Los sólidos regulares posibles eran cinco, según hemos visto. Haciéndolos del tamaño adecuado se pueden colocar todos concéntricos de tal forma que permitan seis esferas alternativamente inscritas y circunscritas a los sólidos regulares. ¡Ésta era la razón profunda de que los planetas fueran seis y no quince o veinticinco! ¡En estas seis esferas se movían los planetas existentes alrededor del Sol! Además, esto permitía estimar la distancia de los planetas al Sol. Es curioso que, a pesar de la falsedad de la hipótesis de principio (hay unos cuantos planetas más de los que Kepler conoció), las distancias calculadas no le resultaran tan disparatadas como uno podría pensar a priori. Más adelante, Kepler abandonaría su hipótesis ante la imposibilidad de ajustar mediante círculos la órbita de Marte, que fue un objeto muy particular de sus observaciones junto a Tycho Brahe, el astrónomo imperial que le agregó a su equipo de trabajo. Pero la convicción de que las matemáticas andaban por medio de todas formas le llevó a pensar en una órbita elíptica y a formular sus tres leyes:
a) los planetas recorren elipses, uno de cuyos focos es el Sol;
b) áreas barridas por el segmento que va del Sol a un mismo planeta en tiempos iguales son iguales;
c) el cubo del semieje mayor de la elipse que un planeta cualquiera recorre dividido por el cuadrado del tiempo que este planeta invierte en recorrerla resulta ser un número independiente del planeta que se elija.

¡La fe profunda de Kepler en la inteligibilidad matemática del universo produjo el milagro del hallazgo de estas tres leyes! Ellas sirvieron a Newton más tarde para convencer al mundo de la validez de su ley de gravitación universal, al deducir matemáticamente las tres leyes de Kepler a partir de su ley sobre la gravedad.