¿Cuál ha sido el papel de la visualización en matemáticas a lo largo del tiempo? Examinaremos brevemente algunos puntos significativos.
 

La visualización en los orígenes.
La palabra griega yeorein (zeorein) significa contemplar y yeoreµÓ (zeorema) es lo que se contempla, y no, como lo solemos entender actualmente, lo que se demuestra. En particular, entre los pitagóricos primitivos, entre los que se consolidó la matemática como ciencia, el estudio de los números y sus relaciones eran estudiados a través de configuraciones diversas realizadas con piedrecillas (cálculos).

He aquí dos de sus teoremas interesantes de entre una multitud de ellos, algunos francamente sofisticados

Para ellos la visualización era algo totalmente connatural a la matemática.

En Platón el papel específico de la imagen en la construcción matemática se resalta fuertemente y se hace más explícito. La imagen evoca la idea, como la sombra evoca la realidad. El círculo pintado no es la realidad del círculo. La realidad del círculo es la idea, pero la imagen juega un papel bien importante de evocación, es decir de recuerdo de la idea. La dianoia es lo propio del conocimiento matemático. El matemático se acerca a lo inteligible a través de la referencia a lo sensible.

Los Elementos de los matemáticos anteriores a Euclides debieron de contener, como contienen los Elementos mismos de Euclides, continuas referencias a imágenes, que forman una parte indispensable del texto. Pero posiblemente fue en el libro de las Aporías de Euclides, hoy perdido, donde la referencia a imágenes falaces geométricas tendría un papel todavía más relevante. Se puede aventurar que este podría ser, más bien que los Elementos, una especie de libro de texto que serviría a Euclides y sus alumnos en su ejercicio de aprendizaje.

Como hemos visto, Arquímedes uilizó su método analógico comoherramienta muy fundamental para sus descubrimientos matemáticos.
 

Los clásicos modernos.
Descartes, en sus Reglas para la dirección del espíritu tiene varias reglas que tienen que ver muy directamente con la visualización, señalando bien claramente varios de los papeles importantes de las imágenes y figuras en lo que se refiere al pensamiento matemático. He aquí el enunciado de las reglas más llamativas a este respecto:

Regla XII.
Finalmente, es preciso servirse de todos los recursos del entendimiento, de la imaginación, de los sentidos y de la memoria: ya para intuir distintamente las proposiciones simples; ya para comparar debidamente lo que se busca con lo que se conoce, a fin de reconocerlo; ya para descubrir aquellas cosas que deben ser comparadas entre sí de modo que no se omita ningún elemento de la habilidad humana.

Regla XIV
Esta regla debe ser aplicada a la extensión real de los cuerpos, y proponerse toda ella a la imaginación mediante puras figuras: pues así será percibida por el entendimiento mucho más distintamente.

Regla XV
Es útil también en muchas ocasiones describir estas figuras y mostrarlas a los sentidos externos para que de este modo se mantenga atento nuestro pensamiento más fácilmente.

Parece claro que la idea fuente de la geometría analítica surge en Descartes como un intento de fusión de la imagen, de la geometría sintética de los antiguos, con el álgebra ya bastante madura de su tiempo.

El cálculo del siglo 17 nace con un componente muy fundamentalmente visual y así se mantiene en su desarrollo a lo largo de los siglos siguientes, en interacción constante con problemas geométricos y físicos. Las siguientes palabras de Sylvester pueden resumir y representar el sentir de algunos de los grandes clásicos de la matemática:

"Lagrange ha expresado con énfasis su creencia en la importancia para el matemático de la facultad de observación; Gauss ha llamado a la matemática una ciencia del ojo..." (James Joseph Sylvester, The Collected Works of James Joseph Sylvester, Cambridge University Press, 1904-1912, citado por Davis en su artículo Visual Theorems, Educational Studies 1993).

La visualización ha sido la tónica general en el trabajo creativo de los matemáticos de todos los tiempos. Uno u otro tipo de imagen acompaña constantemente sus especulaciones, probablemente aun las más abstractas, aunque la naturaleza de esta imagen presenta una variedad de individuo a individuo mucho mayor de lo que sospechamos.

La visualización, como vemos por estas muestras, ha jugado un importante papel en el desarrollo del pensamiento matemático. Como tenía que ser, dada la naturaleza cognoscitiva del hombre, tan condicionada por los elementos visuales, intuitivos, simbólicos, representativos, y como corresponde a la naturaleza de la matemática y a sus propósitos.
 

El formalismo en el siglo 20 y la visualización.
Sin embargo, las tendencias formalistas imperantes durante una buena parte del siglo 20, como veremos a continuación, han relegado a segundo término la visualización, tratándola en algunos casos con desconfianza y con sospecha.

Sería largo tratar de seguir algunas de las razones que han podido ser causa de tal situación, pero se pueden citar esquemáticamente algunas circunstancias que han contribuído a arrojar sospechas sobre la visualización. La justificación del cálculo estuvo inmersa desde el siglo 17 en oscuridad y confusión de las que no se libró hasta finales del siglo 19 con la aritmetización del análisis por Weierstrass. Las geometrías no euclídeas condujeron a mediados del siglo 19 a desconfiar intensamente de la intuición. La polémica inicial en torno a la teoría de conjuntos de Cantor, así como las paradojas en torno a los fundamentos de la matemática condujeron a los matemáticos a poner el énfasis en sus construcciones en los aspectos formales que les proporcionaban seguridad. Los resultados falsamente o incompletamente demostrados (por ejemplo el teorema de los cuatro colores o el teorema de la curva de Jordan) en base a una confianza ingenua en ciertos elementos intuitivos contribuyeron a escudriñar con intenso recelo los argumentos meramente intuitivos.

Todos estos hechos condujeron a crear una corriente hacia la formalización a ultranza, no sólo en lo que se refiere a la fundamentación de la matemática, lo que parecía estar plenamente justificado, sino incluso en lo que se refiere a la intercomunicación en la comunidad matemática, y, lo que ha sido mucho peor, en lo que atañe a la educación matemática a diversos niveles.

Las consecuencias fueron muy serias en lo que se refiere a la visualización. Se creó un ambiente de desconfianza respecto a ella. Algunos propugnaron de forma militante que se prescindiera de ella totalmente. La influencia del formalismo en la presentación de los resultados de la investigación se hizo la norma ineludible. La estructura de los libros de texto tendía a conformarse con los imperativos de esta misma corriente, no sólo a nivel de la enseñanza superior, sino lo que es peor, en muchos países también a nivel secundario e incluso primario ("matemática moderna").

Como botón de muestra se pueden leer un par de frases entresacadas de la introducción de la obra de Jean Dieudonné sobre Algebra lineal y Geometría Elemental:

"Me he permitido también no introducir ninguna figura en el texto,..."

"Es deseable liberar al alumno cuanto antes de la camisa de fuerza de las "figuras " tradicionales hablando lo menos posible de ellas (exceptuando, naturalmente, punto, recta y plano)..."

El modelo de la actividad científica universitaria en la enseñanza fue asímismo el modelo formalista por mucho tiempo, siendo mimetizado en la enseñanza secundaria rápidamente.
 

¿Hacia un retorno de la visualización?
¿Cuál es la situación actual? Parece que se puede percibir una cierta tendencia hacia la renovación del papel de la visualización en el quehacer matemático, con decisión y seguridad entre quienes se ocupan de la investigación en educación matemática. Con ensayos numerosos y variados, tal vez no siempre con acierto, entre quienes se ocupan de explorar las posibilidades recién estrenadas del ordenador para las tareas del quehacer matemático. Con cierta inercia, como es natural, por parte de una buena porción de la comunidad matemática.

Se podrían señalar unos cuantos indicios que ponen de manifiesto esta tendencia hacia una revitalización de la visualización:

En Junio y en Agosto de 1994 el Zeitschrift für Didaktik der Mathematik publicó dos números monográficos de la revista dedicados al tema de la visualización. Los artículos que en ellos se publican así como la extensa bibliografía recopilada por W.S. Peters es una buena muestra del interés por el tema de muchos de los que investigan los problemas actuales de la educación matemática. Esta información será de consulta obligada para todos los que se interesan por la visualización. Entre las obras recientes se podría destacar la recopilación de artículos:

Zimmermann,W. and Cunningham,S. (editors), Visualization in Teaching and Learning Mathematics (Mathematical Association of America, Notes, 19, 1991)

Un artículo muy interesante: Philip J. Davis, Visual theorems, Educational Studies in Mathematics 24 (1993), 333-344.

Otro artículo muy claro, interesante y convincente: Tommy Dreyfus, Imagery and Reasoning in Mathematics and Mathematics Education (ICME-7 (1992) Selected Lectures, 107-123, Les Presses de l'Université Laval, 1994).

La atractiva colección de R.B. Nelsen, Proofs without words (The Mathematical Association of America, Washington, 1994)

Es interesante señalar en este contexto la reciente tesis: Shin, Sun-Joo,The Logical Status of Diagrams (Cambridge University Press, 1994). En ella se trata de poner de manifiesto el poder probativo de ciertas estructuras diagramáticas emparentados con los diagramas de Venn.

También la tesis de Marianna Bosch i Casabó, La dimensión ostensiva en la actividad matemática. El caso de la proporcionalidad (Universitat Autonoma de Barcelona, 1994) contiene muchos análisis interesantes en torno a la visualización.

Una buena parte de la responsabilidad de estas tendencias recientes hay que situarla en las facilidades ofrecidas para la visualización de cierto tipo por el ordenador y los modernos sistemas de cálculo simbólico.

Desde una consideración de lo visual como argumento heurístico, ayuda en el trabajo informal, guía de inspiración,... se trata de avanzar hacia una concepción más seria de los valores probativos y demostrativos de los procesos de la visualización. Un tema que está muy lejos de ser tratado a fondo.