Lema 3.
Para un triángulo equilátero ABC la envolvente de las rectas de
Wallace-Simson es una hipocicloide tricúspide (deltoide) cuyos
vértices son los vértices de un triángulo equilátero de lados paralelos
a ABC y de tamaño 3/2 veces el de ABC.

La demostración resulta de las dos observaciones sencillas siguientes.

Figura 1

(a) Si un rectágulo de diagonal OP (longitud 2m) se amplía con dos rectángulos en la forma indicada en la figura, entonces se tiene la relación entre ángulos que se señala.
 


Figura 2

   (b) Aquí se han añadido a los elementos de la figura 1 las circunferencias U y
V, de centro O y radios 2m y 3m, el triángulo equilátero ABC, la circunferencia
W de centro P y radio m, que interseca a QJ en T. Entonces, como el ángulo
PLT vale 3t/2 (según la figura 1), resulta que el ángulo SPT mide 3t y así T es
punto de la deltoide engendrada por W al rodar dentro de la circunferencia V
partiendo de la posición en que el centro de W está sobre la recta OA.
    Como el ángulo STQ es de 90º y ST es radio de rotación instantánea de la
circunferencia W al rodar dentro de V, la recta TQ es tangente a la deltoide.
Por otra parte como el ángulo PQT mide t/2 resulta (ver Figura 3 abajo) que QT es la recta de Wallace-Simson de P respecto de ABC. Así la recta de Wallace-Simson de P es la tangente a la deltoide en el punto T. Esto demuestra el lema.

Figura 3
    Como BPQR es un cuadrilátero inscriptible, resulta que los ángulos PBR y PQR son inguales. Por otra parte PBR inscrito, que abarca el arco PA en la circunferencia U es la mitad de POA. Así la recta de Wallace-Simson de P, que es QR forma un ángulo t/2 con PQ y R coincide con el punto T de la figura anterior.