La demostración resulta de las dos observaciones sencillas siguientes.
Figura 1
Figura 2
(b) Aquí se han añadido a los elementos
de la figura 1 las circunferencias U y
V, de centro O y radios 2m y 3m, el triángulo equilátero
ABC, la circunferencia
W de centro P y radio m, que interseca a QJ en T. Entonces, como
el ángulo
PLT vale 3t/2 (según la figura 1), resulta que el ángulo
SPT mide 3t y así T es
punto de la deltoide engendrada por W al rodar dentro de la circunferencia
V
partiendo de la posición en que el centro de W está
sobre la recta OA.
Como el ángulo STQ es de 90º y ST
es radio de rotación instantánea de la
circunferencia W al rodar dentro de V, la recta TQ es tangente a
la deltoide.
Por otra parte como el ángulo PQT mide t/2 resulta (ver Figura
3 abajo) que QT es la recta de Wallace-Simson de P respecto de ABC. Así
la recta de Wallace-Simson de P es la tangente a la deltoide en el punto
T. Esto demuestra el lema.