Ejemplos:
El teorema de Napoleón
Los centros de los triángulos
equiláteros trazados sobre los lados de un triángulo arbitrario
hacia afuera son los vértices de un triángulo equilátero
El teorema de Feuerbach
El círculo de los 9 puntos de un triángulo arbitrario es tangente al círculo inscrito y a los tres círculos exinscritos
(El origen experimental parece obvio cuando uno mira
la demostración original y las notas de Laura Guggenbuhl en el libro
Dan Pedoe, Circles: a mathematical view, MAA, 1957)
Si en un cuadrilátero
convexo se trazan sobre los lados cuadrados hacia afuera, entonces los
segmentos que unen los centros de los cuadrados correspondientes a lados
opuestos son perpendiculares y de igual longitud
Otros muchos ejemplos de los teoremas que aparecen
en el libro de
David Wells, The Penguin Dictionary of Curious
and Interesting Geometry (Penguin Books, London, 1991)
Hoy tenemos ventaja:
Dibujos y experimentos con ordenador.
Experimentemos un poco.
Teorema de Fermat, Napoleón, Feuerbach...
(Experimentando
con DERIVE el teorema de Napoleón y Fermat)
(Experimentando con DERIVE el círculo de Feuerbach)
Experimentos con lugares geométricos.
PROBLEMA: Se dan cuatro puntos fijos y uno que varía
sobre otra recta fija. Se determina el centro de la cónica que pasa
por los cinco. ¿Qué curva describe el centro así obtenido?
Trabajándolo
con DERIVE.
¿Cómo se fabrica
uno las herramientas
adecuadas para experimentar
con el ordenador?
Un método general consiste
en
tratar de construir
con los programas de cálculo
simbólico
los elementos que intervienen
en la experiencia de que se
trata
y utilizarlos para que aparezcan
los dibujos correspondientes en la pantalla,
esperando que nos puedan dar
más luz
sobre la situación general.
A veces esto ya nos proporciona
la demostración de los
hechos que observamos.
Ejemplos
con DERIVE.
Es interesante experimentar,
pero esto no es el objetivo
final.
Se trata de
Diseñar experimentos con acierto
Conjeturar relaciones a través de los experimentos
Confirmar, modificar, o refutar las conjeturas mediante más experimentos
Demostrar las conjeturas
más firmes e interesantes
a las que se llega por el experimento
El objetivo importante es encontrar hechos matemáticos nuevos y llegar a su demostración.
En otro tiempo el álgebra, el análisis,...
Hoy... también, pero también en esta tarea puede ayudar el ordenador muy eficazmente.
Algunas experiencias
Triángulo de Morley.
Deltoide
de Steiner.
Calderón,
Feuerbach, Apolonio
Recta de Wallace-Simson