La envolvente de las rectas de Wallace-Simson en un triángulo.
Una demostración sencilla del teorema de la deltoide de Steiner.

Miguel de Guzmán
Universidad Complutense de Madrid

(Madrid, Diciembre 1998)

Introducción.

En 1856 Jakob Steiner publicó un artículo sorprendente (Steiner, 1856) relativo a las rectas de Wallace-Simson de un triángulo arbitrario ABC. La recta de Wallace-Simson relativa a un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita al triángulo es, recordamos, la que une las tres proyecciones ortogonales de P sobre cada uno de los lados.

Steiner demostraba que la envolvente de tales rectas cuando P recorre la circunferencia circunscrita es
    una curva especial de tercera clase y cuarto grado
    que tiene la recta del infinito como doble tangente ideal,
    que es tangente a los tres lados y a las tres alturas del triángulo,
    que tiene tres puntos de retroceso
    y que las tres tangentes en ellos se cortan en un punto.

En el curso de la demostración aparecen más propiedades interesantes de la curva, llamada hoy deltoide de Steiner, y que más adelante se identificó como una hipocicloide tricúspide, es decir una curva descrita por un punto de una circunferencia de radio r que rueda sin resbalar permaneciendo tangente a una circunferencia de radio 3r.

La demostración de Steiner, razonando directamente sobre el triángulo, es más bien complicada, y la del hecho de que se trata de una hipocicloide tricúspide, al menos la que se puede ver expuesta por Heinrich Dörrie (Dörrie, 1958), una de esas demostraciones analíticas que nadie que no supiera el resultado pensaría construir, resulta un tanto desconcertante.

En este artículo se trata de presentar, a través de tres lemas más bien sencillos y breves, que requieren tan sólo el uso de hechos muy básicos de la geometría elemental, una demostración directa de la identificación de la envolvente de las rectas de Wallace-Simson como una hipocicloide tricúspide, determinando directamente los círculos que dan lugar a ella y obteniendo de esta forma las muchas relaciones sorprendentes de la deltoide de Steiner con al triángulo inicial.

Enunciamos a continuación el teorema al que se llega sin más que empalmar los tres lemas siguientes que constituyen su demostración.

TEOREMA
Sea ABC un triángulo arbitrario, F su círculo de Feuerbach, K su círculo circunscrito y M su triángulo de Morley.
Entonces la envolvente de las rectas de Wallace-Simson de ABC es una hipocicloide tricúspide D concéntrica con F, tangente a F, cuyos vértices forman un triángulo equilátero T. Este triángulo T es tal que sus lados son paralelos a los de M y su orientación es opuesta a la de M. El círculo circunscrito a T tiene un radio de longitud 3 veces la del radio de F, es decir 3/2 veces la del radio de K.

El enunciado del teorema simplemente recapitula los lemas que le siguen y por tanto no requiere más demostración.

Lema 1.

Sea ABC un triángulo arbitrario y K su circunferencia circunscrita. Construimos el triángulo A'B'C' inscrito asimismo en K según indica la figura 1, es decir de modo que A coincida con A' y B'C' sea paralelo a BC .

Figura 1

Sea d la distancia entre los dos lados BC y B'C'. Llamemos v al vector perpendicular a BC, de longitud d, tal que la traslación paralela determinada por v transforma la recta que contiene BC en la que contiene B'C'.

Se verifica:

(1) Si P es un punto arbitrario de la circunferencia K  entonces su recta de Wallace- Simson respecto de A'B'C' se obtiene trasladando por v la recta de Wallace-Simson de P respecto de ABC.
(Por tanto la envolvente de las rectas de Simson de A'B'C' se obtiene mediante la traslación determinada por v a partir de la envolvente de las rectas de Wallace-Simson de ABC).

(2) El círculo de Feuerbach (círculo de los nueve puntos) del triángulo A'B'C' se obtiene asimismo mediante la traslación por v del círculo de Feuerbach de ABC.

(3) Los triángulos de Morley de ABC y de A'B'C' tienen la misma orientación.

Demostración.

Demostración de  (1).

En la figura QS determina la  recta w de W-S de P respecto de ABC y Q'S'  la recta w' de W-S de P respecto de A'B'C'. Siendo PQSB cuadrilátero inscriptible es claro que el ángulo PSQ es igual al PBQ. De la misma forma el ángulo P'S'Q' es también igual al PBQ. Por tanto w' se obtiene a partir de w mediante una traslación de vector v correspondiente a SS'.

Demostración de (2).

Si R es el radio de K entonces el radio de ambos círculos de Feuerbach es R/2. Por otra parte el círculo de Feuerbach F correspondiente a ABC pasa por M, medio de BC, por H, pie de la altura desde A, y tiene el centro situado sobre MH. Análogamente para el círculo de Feuerbach F' correspondiente a AB'C'. Esto pone en claro que F' se obtiene por traslación paralela de F por el vector correspondiente a HH' que es v.

Demostración de (3).

De acuerdo con una de las demostraciones clásicas del teorema de Morley, la demostración de Naraniengar (que puede verse en p.47 de Coxeter-Greitzer, Geometry Revisited, MAA, Washington), el lado ZY del triángulo de Morley  cercano a A forma un ángulo con BC de amplitud (C-B)/3. Pero es fácil comprobar que para los dos triángulos ABC y AB'C' se verifica

(C'-B')/3=(C-B)/3

y así los dos triángulos de Morley de ABC y de A'B'C' están igualmente orientados.

Observación:
Cuando B'C' da lugar a un triángulo degenerado, por pasar por A o bien por coincidir B' con C', o bien cuando B'C' queda del otro lado de A, todo lo anterior es válido, definiendo por continuidad los diversos elementos del teorema en los casos de degeneración y considerando siempre A'B'C' con la misma orientación que ABC.

Designemos por t(A,v) la transformación que nos hace pasar del triángulo ABC al triángulo A'B'C' en la forma indicada, es decir, manteniendo fijos el círculo circunscrito K, el vértice A=A' , y sustituyendo el lado BC por el lado B'C' determinado por v en la forma indicada en el lema anterior.

Lema 2.

Sea ABC un triángulo cualquiera.
Entonces existe una transformación t(A,v) que transforma ABC en A'B'C' y otra t(B',v') que transforma B'A'C' en un triángulo equilátero B''A''C''. Este triángulo equilátero tiene sus lados paralelos a los del triángulo de Morley de ABC y está orientado inversamente a él.

Demostración.

Basta observar en la figura el valor de los ángulos de los triángulos sucesivos ABC (triángulo rojo), A'B'C' (azul), A''B''C''(negro), siendo 2m y 2n los arcos correspondientes a las dos transformaciones sucesivas:

A,B,C
A'=A-2m, B'=B+m, C'=C+m
A''=A-2m+n, B"=B+m-2n, C''=C+m+n

Es fácil ver que podemos elegir m y n tales que A''=B''=C''=60º, (basta para ello hacer m = (180-B-2C)/3, n = (B - C)/3) y que la magnitud del ángulo que entonces el lado B'' C'' forma con BC vale precisamente (C-B)/3, es decir A''B''C'' tiene sus lados paralelos a los del triángulo de Morley de ABC.

Lema 3.

Para un triángulo equilátero ABC la envolvente de las rectas de Wallace-Simson es una hipocicloide tricúspide (deltoide) cuyos vértices son los vértices de un triángulo equilátero de lados paralelos a ABC y de tamaño 3/2 veces el de ABC.

Demostración.

La demostración resulta de las dos observaciones sencillas siguientes.

Figura 1

(a) Si un rectágulo de diagonal OP (longitud 2m) se amplía con dos rectángulos en la forma indicada en la figura, entonces se tiene la relación entre ángulos que se señala.

Figura 2

(b) En la figura 2 se han añadido a los elementos de la figura 1 las circunferencias U y
V, de centro O y radios 2m y 3m, el triángulo equilátero ABC, la circunferencia
W de centro P y radio m, que interseca a QJ en T. Entonces, como el ángulo
PLT vale 3t/2 (según la figura 1), resulta que el ángulo SPT mide 3t y así T es
punto de la deltoide engendrada por W al rodar dentro de la circunferencia V
partiendo de la posición en que el centro de W está sobre la recta OA.
    Como el ángulo STQ es de 90º y ST es radio de rotación instantánea de la
circunferencia W al rodar dentro de V, la recta TQ es tangente a la deltoide.
Por otra parte como el ángulo PQT mide t/2 resulta (ver Figura 3 abajo) que QT es la recta de Wallace-Simson de P respecto de ABC. Así la recta de Wallace-Simson de P es la tangente a la deltoide en el punto T. Esto demuestra el lema.

Figura 3

Como BPQR es un cuadrilátero inscriptible, resulta que los ángulos PBR y PQR son iguales. Por otra parte PBR inscrito, que abarca el arco PA en la circunferencia U es la mitad de POA. Así la recta de Wallace-Simson de P, que es QR forma un ángulo t/2 con PQ y R coincide con el punto T de la figura anterior.