"**************************************************************"

"UN LUGAR INTERESANTE: Para el tri ngulo ABC A(a,b) B(-1,0) C(1,0)"

"se considera X (u,v) tal que al proyectar sobre los lados y obtener M, N, P,~
 entonces"

"AM BN CP son concurrentes. Resulta una cubica que ha sido muy estudiada"

"como se puede ver en la pag 555 de FGM donde aparecen Lucas, van Aubel, y ot~
ros"

"**************************************************************"

"Introducimos unas cuantas definiciones auxiliares"

"**************************************************************"

PUNTOMEDIO(a,b):=(a+b)/2

MEDIATRIZ(a,b):=(b-a) SUB 1*(x-((a+b)/2) SUB 1)+(b-a) SUB 2*(y-((a+b)/2) SUB ~
2)=0

RECTAPARALELA(m,n,p,v):=m*(x-v SUB 1)+n*(y-v SUB 2)=0

RECTAPERPENDICULAR(m,n,p,v):=n*(x-v SUB 1)-m*(y-v SUB 2)=0

RECTAPENDIENTEARECTACART(a,m):=IF(m=inf,x=a SUB 1,m*x-y-m*a SUB 1+a SUB 2=0)

RECTACARTAPUNTOPENDIENTE(m,n,p):=IF(n/=0,SOLVE(m*x+n*y+p=0,y),SOLVE(m*x+n*y+p~
=0,x))

RECTAPORDOSPUNTOS(a,b,c,d):=x*(b-d)+y*(c-a)+a*d-b*c=0

INTERSECCIONRECTAS(alpha,beta,tau,kappa,lambda,mu):=[(beta*mu-tau*lambda)/(al~
pha*lambda-beta*kappa),(tau*kappa-alpha*mu)/(alpha*lambda-beta*kappa)]

INTERSECDIAGCUADR(m,n,p,q,r,s,t,u):=[(m*(p*(s-u)+t*(q-s))-r*(n*(p-t)-p*u+q*t)~
)/(m*(q-u)+n*(t-p)+p*s-q*r+r*u-s*t),(m*s*(q-u)-n*(p*u+q*(r-t)-r*u)+s*(p*u-q*t~
))/(m*(q-u)+n*(t-p)+p*s-q*r+r*u-s*t)]

NORMALUNITARIA(v,m,n,p):=IF(m*v SUB 1+n*v SUB 2+p>0,-1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n],~
1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n])

DISTANCIA(v,m,n,p):=ABS(m*v SUB 1+n*v SUB 2+p)/(m^2+n^2)^(1/2)

SIMETRICO(v,m,n,p):=v+2*DISTANCIA(v,m,n,p)*NORMALUNITARIA(v,m,n,p)

SIMETRICODEPUNTORESPECTOPUNTO(v,p):=2*p-v

SIMETRICOPUNTORESPECTORECTA(v,m,n,p):=[(v SUB 1*(n^2-m^2)-2*v SUB 2*m*n-2*p*m~
)/(m^2+n^2),(v SUB 2*(m^2-n^2)-2*v SUB 1*m*n-2*p*n)/(m^2+n^2)]

ROTACION(v,p,ang):=p+[(v SUB 1-p SUB 1)*COS(ang)-(v SUB 2-p SUB 2)*SIN(ang),(~
v SUB 1-p SUB 1)*SIN(ang)+(v SUB 2-p SUB 2)*COS(ang)]

INVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAK(v,p,k):=p+k/ABS(v-p)^2*(v-p)

HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONK(v,p,k):=p+k*(v-p)

"*************************************************"

"Definicion de los macros para hacer las graficas mas comodas e ilustrativas"

F(x,y):=

MACROINVERSION(p,k):=[F(x,y),(x-p SUB 1)^2+(y-p SUB 2)^2-k=0,F((INVERSODEVRES~
PECTOPPOTENCIAK([x,y],p,k)) SUB 1,(INVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAK([x,y],p,k)) S~
UB 2)]

MACROROTACION(c,alpha):=[F(x,y),c,F((ROTACION([x,y],c,-alpha)) SUB 1,(ROTACIO~
N([x,y],c,-alpha)) SUB 2)]

MACROSIMETRIARESPECTORECTA(m,n,p):=[F(x,y),m*x+n*y+p=0,F((SIMETRICOPUNTORESPE~
CTORECTA([x,y],m,n,p)) SUB 1,(SIMETRICOPUNTORESPECTORECTA([x,y],m,n,p)) SUB 2~
)]

MACROHOMOTECIA(p,k):=[F(x,y),p,F((HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONK([x,y],p,1/k)) ~
SUB 1,(HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONK([x,y],p,1/k)) SUB 2)]

"*******************************************************"

"EJEMPLOS"

"(Si los ejes se ponen del color del fondo queda mejor)"

"Se puede empezar experimentando con algo simple"

F(x,y):=x+2*y-1=0

MACROINVERSION([0,0],16)

MACROROTACION([3,5],pi/2)

MACROHOMOTECIA([2,2],3)

MACROSIMETRIARESPECTORECTA(5,4,1)

"La curva F(x,y) se puede elegir muy complicada. El precio"

"sera el tiempo para el dibujo."

"*******************************************************"

"AQUI EMPIEZA LA CONSTRUCCION DE LA CUBICA"

"*******************************************************"

"Recta AM"

RECTAPORDOSPUNTOS(a,b,u,0)

;Simp(User)
b*x+y*(u-a)-b*u=0

"*******************************************************"

"Recta AB"

RECTAPORDOSPUNTOS(a,b,-1,0)

;Simp(User)
b*x-y*(a+1)+b=0

"Recta XP"

RECTAPERPENDICULAR(b,-a-1,b,[u,v])

;Simp(#2)
-x*(a+1)-b*y+a*u+b*v+u=0

"Punto P"

INTERSECCIONRECTAS(b,-a-1,b,-a-1,-b,a*u+b*v+u)

;Simp(#5)
[(a^2*u+a*(b*v+2*u)-b^2+b*v+u)/(a^2+2*a+b^2+1),b*(a*(u+1)+b*v+u+1)/(a^2+2*a+b~
^2+1)]

"*******************************************************"

"Recta AC"

RECTAPORDOSPUNTOS(a,b,1,0)

;Simp(#9)
b*x+y*(1-a)-b=0

RECTAPERPENDICULAR(b,1-a,-b,[u,v])

;Simp(#13)
x*(1-a)-b*y+a*u+b*v-u=0

"Punto N"

INTERSECCIONRECTAS(b,1-a,-b,1-a,-b,a*u+b*v-u)

;Simp(#16)
[(a^2*u+a*(b*v-2*u)+b^2-b*v+u)/(a^2-2*a+b^2+1),b*(a*(u-1)+b*v-u+1)/(a^2-2*a+b~
^2+1)]

"*******************************************************"

"Recta BN"

RECTAPORDOSPUNTOS(-1,0,(a^2*u+a*(b*v-2*u)+b^2-b*v+u)/(a^2-2*a+b^2+1),b*(a*(u-~
1)+b*v-u+1)/(a^2-2*a+b^2+1))

;Simp(#20)
-b*x*(a*(u-1)+b*v-u+1)/(a^2-2*a+b^2+1)+y*(b*(a*v+b*(1-u)-v)/(a^2-2*a+b^2+1)+u~
+1)-b*(a*(u-1)+b*v-u+1)/(a^2-2*a+b^2+1)=0

-b*x*(a*(u-1)+b*v-u+1)+y*(b*(a*v+b*(1-u)-v)+(u+1)*(a^2-2*a+b^2+1))-b*(a*(u-1)~
+b*v-u+1)=0

"*******************************************************"

"Recta CP"

RECTAPORDOSPUNTOS(1,0,(a^2*u+a*(b*v+2*u)-b^2+b*v+u)/(a^2+2*a+b^2+1),b*(a*(u+1~
)+b*v+u+1)/(a^2+2*a+b^2+1))

;Simp(#24)
-b*x*(a*(u+1)+b*v+u+1)/(a^2+2*a+b^2+1)+y*(b*(a*v-b*(u+1)+v)/(a^2+2*a+b^2+1)+u~
-1)+b*(a*(u+1)+b*v+u+1)/(a^2+2*a+b^2+1)=0

-b*x*(a*(u+1)+b*v+u+1)+y*(b*(a*v-b*(u+1)+v)+(u-1)*(a^2+2*a+b^2+1))+b*(a*(u+1)~
+b*v+u+1)=0

"*******************************************************"

"Recordando recta AM"

b*x+y*(u-a)-b*u=0

"*******************************************************"

"Escribiendo la condici¢n de concurrencia"

DET([[b,u-a,-b*u],[-b*(a*(u-1)+b*v-u+1),b*(a*v+b*(1-u)-v)+(u+1)*(a^2-2*a+b^2+~
1),-b*(a*(u-1)+b*v-u+1)],[-b*(a*(u+1)+b*v+u+1),b*(a*v-b*(u+1)+v)+(u-1)*(a^2+2~
*a+b^2+1),b*(a*(u+1)+b*v+u+1)]])

-4*b^2*(a^3*(u^2-1)+a^2*u*(b*v-u^2+1)+a*(b^2*(u^2-1)+2*b*v*(1-u^2)-u^2+1)+u*(~
b^3*v-b^2*v^2-b*v+u^2-1))=0

"ESTA ES LA CUBICA"

;Sub(#51)
-4*b^2*(a^3*(x^2-1)+a^2*x*(b*y-x^2+1)+a*(b^2*(x^2-1)+2*b*y*(1-x^2)-x^2+1)+x*(~
b^3*y-b^2*y^2-b*y+x^2-1))=0

MACROLUGAR(a,b):=[[[a,b],[1,0],[-1,0],[a,b]],-4*b^2*(a^3*(x^2-1)+a^2*x*(b*y-x~
^2+1)+a*(b^2*(x^2-1)+2*b*y*(1-x^2)-x^2+1)+x*(b^3*y-b^2*y^2-b*y+x^2-1))=0]

"*******************************************************"

"Ejemplo"

MACROLUGAR(0.5,1)

;Approx(#57)
[[[0.5,1],[1,0],[-1,0],[0.5,1]],-0.5*(6*x^3+x^2*(1-8*y)-2*x*(4*y^2-y+3)+8*y-1~
)=0]

"*******************************************************"

"Pequenas comprobaciones"

"*******************************************************"

"Pasa por A (a,b)"

;Sub(#53)
-4*b^2*(a^3*(a^2-1)+a^2*a*(b*b-a^2+1)+a*(b^2*(a^2-1)+2*b*b*(1-a^2)-a^2+1)+a*(~
b^3*b-b^2*b^2-b*b+a^2-1))=0

;Simp(#63)
0=0

"*******************************************************"

"Caso isosceles, a=0,b=1"

;Simp(User)
-4*x*(x^2-y^2-1)=0

"*******************************************************"

"Para a=1,b=3"

;Simp(User)
108*(x^2*(2*y-3)+3*x*y*(y-3)-2*y+3)=0

"Efectivamente pasa por A,B,C,H,O"

"Como tenia que ser"

"*******************************************************"

"Las tres mediatrices son las as¡ntotas"

MEDIATRIZ([0.5,1],[1,0])

MEDIATRIZ([0.5,1],[-1,0])

x=0

;Simp(#93)
-(12*x+8*y-1)/8=0

;Simp(#93)
-(12*x+8*y-1)/8=0

;Simp(#92)
(4*x-8*y+1)/8=0

"*******************************************************"

"Que O, centro del c¡rculo circunscrito,"

"es el centro de la c£bica se puede demostrar sin problemas"

"ya que la ecuaci¢n es bastante sencilla"

"*******************************************************"