DERIVE for Windows version 5.00 DfW file saved on 17 Dec 2000 =ALTURAATRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=n·(q - s) + m·(p - r) + y·(s - q) + x·(r - p) = 0 ALTURABTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=ALTURAATRIANGULO(p, q, r, s, m, n) ALTURACTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=ALTURAATRIANGULO(r, s, m, n, p, q) AREATRIANGULOV(a, b, c):=1/2·ABS(DET([a™1, a™2, 1; b™1, b™2, 1; c™1, c™2, 1])) BARICENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[(r + p + m)/3, (s + q + n)/3] CIRCUNCENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[1/2·(q·(- s^2 - r^2 + q·s) + p^2·s - n·(- s^2 - r^2 + q^2 + p^2) + n^2·(q - s) + m^2·(q - s))/(- q·r + p·s + n·(r - p) + m·(q - s)), - 1/2·(q^2·r - p·(r^2 + s^2) + p^2·r + n^2·(p - r) - m·(- s^2 - r^2 + q^2 + p^2) + m^2·(p - r))/(- q·r + p·s + n·(r - p) + m·(q - s))] DISTANCIA(a, b, m, n, p):=ABS(p + n·b + m·a)·(m^2 + n^2)^(- 1/2) DISTANCIAV(v, m, n, p):=ABS(p + n·v™2 + m·v™1)·(m^2 + n^2)^(- 1/2) HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONK(u, v, p, q, k):=[p, q] + k·[u - p, v - q] HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONKV(v, p, k):=p + k·(v - p) INTERSECCIONRECTAS(©, ß, ¼, ´, ¿, µ):=[(ß·µ - ¼·¿)/(©·¿ - ß·´), (¼·´ - ©·µ)/(©·¿ - ß·´)] INTERSECCIONRECTASDADASPORPUNTOS(a, b, c, d, e, f, g, h):=[(a·(f·g - e·h + d·(e - g)) - c·(f·g - e·h + b·(e - g)))/(d·(e - g) + c·(h - f) + b·(g - e) + a·(f - h)), (d·(e·h - f·g) - b·(- f·g + e·h + c·(f - h)) + a·d·(f - h))/(d·(e - g) + c·(h - f) + b·(g - e) + a·(f - h))] INTERSECCIONRECTASDADASPORPUNTOSV(r, s, t, u):=[(r™1·(t™2·u™1 - t™1·u™2 + s™2·(t™1 - u™1)) - s™1·(t™2·u™1 - t™1·u™2 + r™2·(t™1 - u™1)))/(s™2·(t™1 - u™1) + s™1·(u™2 - t™2) + r™2·(u™1 - t™1) + r™1·(t™2 - u™2)), (s™2·(t™1·u™2 - t™2·u™1) - r™2·(- t™2·u™1 + t™1·u™2 + s™1·(t™2 - u™2)) + r™1·s™2·(t™2 - u™2))/(s™2·(t™1 - u™1) + s™1·(u™2 - t™2) + r™2·(u™1 - t™1) + r™1·(t™2 - u™2))] INTERSECDIAGCUADR(m, n, p, q, r, s, t, u):=[(m·(p·(s - u) + t·(q - s)) - r·(q·t - p·u + n·(p - t)))/(- s·t + r·u - q·r + p·s + n·(t - p) + m·(q - u)), (s·(p·u - q·t) - n·(- r·u + q·(r - t) + p·u) + m·s·(q - u))/(- s·t + r·u - q·r + p·s + n·(t - p) + m·(q - u))] INVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAK(u, v, p, q, k):=[p, q] + (k·ABS([u - p, v - q])^(-2))·[u - p, v - q] INVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAKV(v, p, k):=p + (k·ABS(v - p)^(-2))·(v - p) MACROALTURASTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[[m, n; p, q; r, s; m, n], [ALTURAATRIANGULO(m, n, p, q, r, s), ALTURABTRIANGULO(m, n, p, q, r, s), ALTURACTRIANGULO(m, n, p, q, r, s)]] MACROMEDIANASTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[[m, n; p, q; r, s; m, n], [MEDIANAATRIANGULO(m, n, p, q, r, s), MEDIANABTRIANGULO(m, n, p, q, r, s), MEDIANACTRIANGULO(m, n, p, q, r, s)]] MACROMEDIATRICESTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[[m, n; p, q; r, s; m, n], [MEDIATRIZATRIANGULO(m, n, p, q, r, s), MEDIATRIZBTRIANGULO(m, n, p, q, r, s), MEDIATRIZCTRIANGULO(m, n, p, q, r, s)]] MACRORECTAEULERTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[[m, n; p, q; r, s; m, n], RECTAEULERTRIANGULO(m, n, p, q, r, s)] MEDIANAATRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=RECTAPORDOSPUNTOS(m, n, (p + r)/2, (q + s)/2) MEDIANABTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=MEDIANAATRIANGULO(p, q, r, s, m, n) MEDIANACTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=MEDIANAATRIANGULO(r, s, m, n, p, q) MEDIATRIZ(a, b, c, d):=d^2 + c^2 - b^2 - a^2 + 2·y·(b - d) + 2·x·(a - c) = 0 MEDIATRIZATRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=MEDIATRIZ(p, q, r, s) MEDIATRIZBTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=MEDIATRIZATRIANGULO(p, q, m, n, r, s) MEDIATRIZCTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=MEDIATRIZATRIANGULO(r, s, m, n, p, q) MEDIATRIZV(a, b):=(b - a)™1·(x - ((a + b)/2)™1) + (b - a)™2·(y - ((a + b)/2)™2) = 0 NORMALUNITARIA(a, b, m, n, p):=IF(p + n·b + m·a > 0, - (1·(m^2 + n^2)^(- 1/2))·[m, n], (1·(m^2 + n^2)^(- 1/2))·[m, n]) NORMALUNITARIAV(v, m, n, p):=IF(p + n·v™2 + m·v™1 > 0, - (1·(m^2 + n^2)^(- 1/2))·[m, n], (1·(m^2 + n^2)^(- 1/2))·[m, n]) ORTOCENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[- (m·(r·s - p·q + n·(p - r)) + (q·s + p·r - n·(q + s) + n^2)·(q - s))/(- q·r + p·s + n·(r - p) + m·(q - s)), (- q·r·s + p·(q·s - r^2) + p^2·r + n·(r·s - p·q) + m·(r^2 - p^2 + n·(q - s)) + m^2·(p - r))/(- q·r + p·s + n·(r - p) + m·(q - s))] PMEDIO(a, b, c, d):=[(a + c)/2, (b + d)/2] PROYECCIONPUNTOSOBRERECTA(a, b, m, n, p):=[(- m·p - b·n^2 + a·n^2)/(m^2 + n^2), - n·(p - b·m + a·m)/(m^2 + n^2)] PUNTOMEDIOV(a, b):=(a + b)/2 RECTACARTAPUNTOPENDIENTE(m, n, p):=IF(n ” 0, SOLVE(p + n·y + m·x = 0, y), SOLVE(p + n·y + m·x = 0, x)) RECTAEULERTRIANGULO(m, n, p, q, r, s):=[BARICENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s), ORTOCENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s), CIRCUNCENTROTRIANGULO(m, n, p, q, r, s)] RECTAPARALELA(m, n, p, a, b):=m·(x - a) + n·(y - b) = 0 RECTAPARALELAV(m, n, p, v):=m·(x - v™1) + n·(y - v™2) = 0 RECTAPENDIENTEARECTACART(a, b, m):=IF(m = –, x = a, b - m·a - y + m·x = 0) RECTAPENDIENTEARECTACARTV(a, m):=IF(m = –, x = a™1, a™2 - m·a™1 - y + m·x = 0) RECTAPERPENDICULAR(m, n, p, a, b):=n·(x - a) - m·(y - b) = 0 RECTAPERPENDICULARV(m, n, p, v):=n·(x - v™1) - m·(y - v™2) = 0 RECTAPORDOSPUNTOS(a, b, c, d):=- b·c + a·d + y·(c - a) + x·(b - d) = 0 RECTAPORDOSPUNTOSV(u, v):=- u™2·v™1 + u™1·v™2 + y·(v™1 - u™1) + x·(u™2 - v™2) = 0 ROTACION(v, p, ang):=p + [(v™1 - p™1)·COS(ang) - (v™2 - p™2)·SIN(ang), (v™1 - p™1)·SIN(ang) + (v™2 - p™2)·COS(ang)] SIMETRICO(a, b, m, n, p):=[a, b] + 2·DISTANCIA(a, b, m, n, p)·NORMALUNITARIA(a, b, m, n, p) SIMETRICODEPUNTORESPECTOPUNTO(a, b, p, q):=2·[p, q] - [a, b] SIMETRICODEPUNTORESPECTOPUNTOV(v, p):=2·p - v SIMETRICOPUNTORESPECTORECTA(a, b, m, n, p):=[(- 2·p·m - 2·b·m·n + a·(n^2 - m^2))/(m^2 + n^2), (- 2·p·n - 2·a·m·n + b·(m^2 - n^2))/(m^2 + n^2)] SIMETRICOPUNTORESPECTORECTAV(v, m, n, p):=[(- 2·p·m - 2·v™2·m·n + v™1·(n^2 - m^2))/(m^2 + n^2), (- 2·p·n - 2·v™1·m·n + v™2·(m^2 - n^2))/(m^2 + n^2)] SIMETRICOV(v, m, n, p):=v + 2·DISTANCIAV(v, m, n, p)·NORMALUNITARIAV(v, m, n, p) proyeccionpuntosobrerecta(a, b, m, n, p):=[(- m·p - b·n^2 + a·n^2)/(m^2 + n^2), - n·(p - b·m + a·m)/(m^2 + n^2)] ang:= hCross:=APPROX(7897727272727273/2500000000000000) vCross:=APPROX(17272727272727273/20000000000000000) ©:= ´:= µ:= ¼:= ¿:= ß:= ‰ÿÿCExpnObj8 (Userð¿@"**************************************************************"€8$€0Userð¿+"UNAS CUANTAS FUNCIONES BASICAS AUXILIARES"€8<ØHUserð¿V"A veces conviene que los puntos aparezcan en coordenadas (a,b) y otras como vectores"€8T(`Userð¿@"**************************************************************"€8l¨xUserð¿0"El punto medio mediante las cuatro coordenadas"€8„x¨Userð¿"PMEDIO(a,b,c,d):=[(a+c)/2,(b+d)/2]€8´HÀUserð¿$"El punto medio de dos puntos A y B"€8ÌðUserð¿PUNTOMEDIOV(a,b):=(a+b)/2€8ü(Userð¿ @"**************************************************************"€8° Userð¿ 1"Recta que pasa por los dos puntos (a,b) y (c,d)"€8,h8Userð¿ 5RECTAPORDOSPUNTOS(a,b,c,d):=x*(b-d)+y*(c-a)+a*d-b*c=0€8D(PUserð¿  "Recta por los dos puntos U y V"€8\€tUserð¿ bRECTAPORDOSPUNTOSV(u,v):=x*(u SUB 2-v SUB 2)+y*(v SUB 1-u SUB 1)+u SUB 1*v SUB 2-u SUB 2*v SUB 1=0€8€(ŒUserð¿@"**************************************************************"€8˜à¤Userð¿7"Interseccion de dos rectas dadas por los coeficientes"€8°HÔUserð¿“INTERSECCIONRECTAS(alpha,beta,tau,kappa,lambda,mu):=[(beta*mu-tau*lambda)/(alpha*lambda-beta*kappa),(tau*kappa-alpha*mu)/(alpha*lambda-beta*kappa)]€8à(ìUserð¿@"**************************************************************"€8øUserð¿+RECTAPARALELA(m,n,p,a,b):=m*(x-a)+n*(y-b)=0€8(Userð¿6RECTAPARALELAV(m,n,p,v):=m*(x-v SUB 1)+n*(y-v SUB 2)=0€84(@Userð¿@"**************************************************************"€8L(XUserð¿0RECTAPERPENDICULAR(m,n,p,a,b):=n*(x-a)-m*(y-b)=0€8d(|Userð¿;RECTAPERPENDICULARV(m,n,p,v):=n*(x-v SUB 1)-m*(y-v SUB 2)=0€8ˆ(”Userð¿@"**************************************************************"€8 ð¬Userð¿9"De punto-pendiente a ecuacion cartesiana para una recta"€8¸XèUserð¿0,-1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n],1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n])€8X@ˆUserð¿(fNORMALUNITARIAV(v,m,n,p):=IF(m*v SUB 1+n*v SUB 2+p>0,-1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n],1/(m^2+n^2)^(1/2)*[m,n])€8”( Userð¿)@"**************************************************************"€8¬ ÜUserð¿*4DISTANCIA(a,b,m,n,p):=ABS(m*a+n*b+p)/(m^2+n^2)^(1/2)€8è $Userð¿+?DISTANCIAV(v,m,n,p):=ABS(m*v SUB 1+n*v SUB 2+p)/(m^2+n^2)^(1/2)€80(<Userð¿,@"**************************************************************"€8HxUserð¿-LSIMETRICO(a,b,m,n,p):=[a,b]+2*DISTANCIA(a,b,m,n,p)*NORMALUNITARIA(a,b,m,n,p)€8„ÈUserð¿.ESIMETRICOV(v,m,n,p):=v+2*DISTANCIAV(v,m,n,p)*NORMALUNITARIAV(v,m,n,p)€8œ(¨Userð¿/@"**************************************************************"€8´(ÀUserð¿05SIMETRICODEPUNTORESPECTOPUNTO(a,b,p,q):=2*[p,q]-[a,b]€8̰ØUserð¿1*SIMETRICODEPUNTORESPECTOPUNTOV(v,p):=2*p-v€8ä(ðUserð¿2@"**************************************************************"€8ü€Userð¿3uSIMETRICOPUNTORESPECTORECTA(a,b,m,n,p):=[(a*(n^2-m^2)-2*b*m*n-2*p*m)/(m^2+n^2),(b*(m^2-n^2)-2*a*m*n-2*p*n)/(m^2+n^2)]€8Œ(Userð¿4ŒSIMETRICOPUNTORESPECTORECTAV(v,m,n,p):=[(v SUB 1*(n^2-m^2)-2*v SUB 2*m*n-2*p*m)/(m^2+n^2),(v SUB 2*(m^2-n^2)-2*v SUB 1*m*n-2*p*n)/(m^2+n^2)]€84(@Userð¿5@"**************************************************************"€8L|Userð¿6ZROTACION(a,b,p,q,ang):=[p,q]+[(a-p)*COS(ang)-(b-q)*SIN(ang),(a-p)*SIN(ang)+(b-q)*COS(ang)]€8ˆÄUserð¿7‚ROTACION(v,p,ang):=p+[(v SUB 1-p SUB 1)*COS(ang)-(v SUB 2-p SUB 2)*SIN(ang),(v SUB 1-p SUB 1)*SIN(ang)+(v SUB 2-p SUB 2)*COS(ang)]€8Ð(ÜUserð¿8@"**************************************************************"€8èxôUserð¿9:HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONK(u,v,p,q,k):=[p,q]+k*[u-p,v-q]€8 ð Userð¿:/HOMOTETICODEVRESPECTOPRAZONKV(v,p,k):=p+k*(v-p)€8 ($ Userð¿;@"**************************************************************"€80 œ Userð¿<KINVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAK(u,v,p,q,k):=[p,q]+k/ABS([u-p,v-q])^2*[u-p,v-q]€8¨ 8Ø Userð¿=:INVERSODEVRESPECTOPPOTENCIAKV(v,p,k):=p+k/ABS(v-p)^2*(v-p)€8ä (ð Userð¿>@"**************************************************************"€8ü È\ Userð¿?bAREATRIANGULOV(a,b,c):=1/2*ABS(DET([[a SUB 1,a SUB 2,1],[b SUB 1,b SUB 2,1],[c SUB 1,c SUB 2,1]]))€8h (t Userð¿@@"**************************************************************"€8€ 0Œ Userð¿A!"EXPERIMENTANDO CON LAS MEDIANAS"€8˜ (¤ Userð¿B@"**************************************************************"€8° ¸Ô Userð¿CFMEDIANAATRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=RECTAPORDOSPUNTOS(m,n,(p+r)/2,(q+s)/2)€8à ˆì Userð¿D>MEDIANABTRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=MEDIANAATRIANGULO(p,q,r,s,m,n)€8ø ˆ Userð¿E>MEDIANACTRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=MEDIANAATRIANGULO(r,s,m,n,p,q)€8 Ä Userð¿FŸMACROMEDIANASTRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=[[[m,n],[p,q],[r,s],[m,n]],[MEDIANAATRIANGULO(m,n,p,q,r,s),MEDIANABTRIANGULO(m,n,p,q,r,s),MEDIANACTRIANGULO(m,n,p,q,r,s)]]€8Ð (Ü Userð¿G@"**************************************************************"€8è €ô Userð¿H$MACROMEDIANASTRIANGULO(3,4,-2,5,6,1)€8 ˆ Userð¿I%MACROMEDIANASTRIANGULO(0,4,-2,-3,5,2)€8 À$ Userð¿J3"*************************************************"€80 P< Userð¿KE"Por los experimentos parece que las medianas concurren en un punto."€8H ðT Userð¿L"Tratamos de demostrarlo"€8` @l Userð¿MC"DERIVE lo demuestra calculando la interseccion de las tres rectas"€8x ¨ Userð¿NkSOLVE([MEDIANAATRIANGULO(m,n,p,q,r,s),MEDIANABTRIANGULO(m,n,p,q,r,s),MEDIANACTRIANGULO(m,n,p,q,r,s)],[x,y])€8´ XØ Simp(#9)ð¿O[[x=(m+p+r)/3,y=(n+q+s)/3]]€8ä (ð Userð¿P@"**************************************************************"€8ü P Userð¿Q7BARICENTROTRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=[(m+p+r)/3,(n+q+s)/3]€8, (8 Userð¿R@"**************************************************************"€8D (P Userð¿S@"**************************************************************"€8\ ¨h Userð¿T0"EXPERIMENTANDO CON LAS ALTURAS DE UN TRIANGULO"€8t ð€ Userð¿U@ALTURAATRIANGULO(m,n,p,q,r,s):=x*(r-p)+y*(s-q)+m*(p-r)+n*(q-s)=0€8Œ x˜ Userð¿V