Precision := Approximate

PrecisionDigits := 6

Notation := Rational

NotationDigits := 6

Branch := Principal

Exponential := Auto

Logarithm := Auto

Trigonometry := Auto

Trigpower := Auto

Angle := Radian

VariableOrder := [x,y,z]

OutputBase := Decimal

InputBase := Decimal

InputMode := Character

CaseMode := Insensitive

DisplayFormat := Normal

TimesOperator := Dot

Precision:=Approximate

PrecisionDigits:=6

Notation:=Rational

NotationDigits:=6

Branch:=Principal

Exponential:=Auto

Logarithm:=Auto

Trigonometry:=Auto

Trigpower:=Auto

Angle:=Radian

VariableOrder:=[x,y,z]

OutputBase:=Decimal

InputBase:=Decimal

InputMode:=Character

CaseMode:=Insensitive

DisplayFormat:=Normal

TimesOperator:=Dot

" Geomet 05. El problema de Apolonio con DERIVE siguiendo una idea de Alberto~
 P. Calderon"

"SE TRATA DE CONSTRUIR, SI ES POSIBLE, UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRAS TR~
ES DADAS."

"Las circunferencias dadas van a ser x^2+y^2=r^2, (x-a)^2+(y-b)^2=s^2, (x-c)^~
2+(y-d)^2=t^2"

"La idea de Calderon consiste en interpretar adecuadamente el problema en el ~
espacio"

"asociando a cada circunferencia un cono recto rectangular con base en cada c~
ircunferencia"

"y apertura en el v‚rtice de 90 grados. Este vertice estara por encima o por ~
debajo del plano"

"segun el tipo de tangencia que se pretenda (interior o exterior)."

"Dadas las tres circunferencias, decidimos, por ejemplo, que queremos una cir~
cunferencia"

"tangente exteriormente a las tres dadas (con el mismo esfuerzo nos puede res~
ultar otra"

"tangente interiormente a las tres)."

"***************************************************"

"Tomamos los tres conos asociados a las tres circunferencias con sus vertices~
 por encima del plano"

"***************************************************"

"Calculamos las dos intersecciones de estos tres conos"

x^2+y^2-(z-r)^2-((x-a)^2+(y-b)^2-(z-s)^2)=0

;Simp(#15)
2*a*x+2*b*y+z*(2*r-2*s)-a^2-b^2-r^2+s^2=0

(x^2+y^2-(z-r)^2)-((x-c)^2+(y-d)^2-(z-t)^2)=0

;Simp(#17)
2*c*x+2*d*y+z*(2*r-2*t)-c^2-d^2-r^2+t^2=0

SOLVE([2*a*x+2*b*y+z*(2*r-2*s)-a^2-b^2-r^2+s^2=0,2*c*x+2*d*y+z*(2*r-2*t)-c^2-~
d^2-r^2+t^2=0],[y,z])

Notation:=Rational

;Simp(User')
[[y=-(2*x*(a*(r-t)+c*(s-r))+a^2*(t-r)+b^2*(t-r)+(c^2+d^2+(r-t)*(t-s))*(r-s))/~
(2*(b*(r-t)+d*(s-r))),z=(2*x*(a*d-b*c)-a^2*d-b^2*d+b*(c^2+d^2+r^2-t^2)+d*(r+s~
)*(s-r))/(2*(b*(r-t)+d*(s-r)))]]

"Las abscisas de los puntos de interseccion vienen dadas por l ecuacion de ab~
ajo"

"Una ecuacion complicada que DERIVE resuelve con alguna ayuda."

;Sub(User)
x^2+(-(2*x*(a*(r-t)+c*(s-r))+a^2*(t-r)+b^2*(t-r)+(c^2+d^2+(r-t)*(t-s))*(r-s))~
/(2*(b*(r-t)+d*(s-r))))^2-((2*x*(a*d-b*c)-a^2*d-b^2*d+b*(c^2+d^2+r^2-t^2)+d*(~
r+s)*(s-r))/(2*(b*(r-t)+d*(s-r)))-r)^2=0

;Simp(User)
-4*x^2*(a^2*(d^2-(r-t)^2)-2*a*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+b^2*(c^2-(r-t)^2)+2*b*d*(r-~
s)*(r-t)-(c^2+d^2)*(r-s)^2)+4*x*(a^3*(d^2-(r-t)^2)-a^2*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+a*~
(b^2*(d^2-(r-t)^2)-b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)+(r-s)*(c^2*(r-t)+d^2*(s-t)+(r-~
t)^2*(t-s)))-c*(b^3*d-b^2*(c^2+d^2+r*(t-s)+s*t-t^2)-b*d*(r-s)^2+(c^2+d^2+(r-t~
)*(t-s))*(r-s)^2))+a^4*((r-t)^2-d^2)-2*a^2*(b^2*(d^2-(r-t)^2)-b*d*(c^2+d^2-r^~
2+2*r*t-t^2)+(r-s)*(c^2*(r-t)+(d^2-(r-t)^2)*(s-t)))+b^4*((r-t)^2-d^2)+2*b^3*d~
*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)-b^2*(c^4+2*c^2*(d^2+r*(t-s)+t*(s-t))+d^4-2*d^2*(r^2-~
r*(s+t)+s^2-s*t+t^2)+r^4-2*r^3*(s+t)+2*r^2*(s^2+s*t+t^2)-2*r*t*(2*s^2-s*t+t^2~
)+t^2*(2*s^2-2*s*t+t^2))-2*b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)*(r-s)^2+(c^4+2*c^2*(d^~
2+(r-t)*(t-s))+d^4-d^2*(r^2-2*r*t+s^2-2*s*t+2*t^2)+(r-t)^2*(s-t)^2)*(r-s)^2=0

"El de abajo es el coeficiente de x^2"

;Simp(User)
-4*(a^2*(d^2-(r-t)^2)-2*a*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+b^2*(c^2-(r-t)^2)+2*b*d*(r-s)*(~
r-t)-(c^2+d^2)*(r-s)^2)

"El de abajo es el coeficiente de x"

;Simp(User)
4*(a^3*(d^2-(r-t)^2)-a^2*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+a*(b^2*(d^2-(r-t)^2)-b*d*(c^2+d^~
2-r^2+2*r*t-t^2)+(r-s)*(c^2*(r-t)+d^2*(s-t)+(r-t)^2*(t-s)))-c*(b^3*d-b^2*(c^2~
+d^2+r*(t-s)+s*t-t^2)-b*d*(r-s)^2+(c^2+d^2+(r-t)*(t-s))*(r-s)^2))

"Este de abajo es el termino independiente"

;Simp(User)
a^4*((r-t)^2-d^2)-2*a^2*(b^2*(d^2-(r-t)^2)-b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)+(r-s)*~
(c^2*(r-t)+(d^2-(r-t)^2)*(s-t)))+b^4*((r-t)^2-d^2)+2*b^3*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t~
-t^2)-b^2*(c^4+2*c^2*(d^2+r*(t-s)+t*(s-t))+d^4-2*d^2*(r^2-r*(s+t)+s^2-s*t+t^2~
)+r^4-2*r^3*(s+t)+2*r^2*(s^2+s*t+t^2)-2*r*t*(2*s^2-s*t+t^2)+t^2*(2*s^2-2*s*t+~
t^2))-2*b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)*(r-s)^2+(c^4+2*c^2*(d^2+(r-t)*(t-s))+d^4-~
d^2*(r^2-2*r*t+s^2-2*s*t+2*t^2)+(r-t)^2*(s-t)^2)*(r-s)^2

M(a,b,c,d,r,s,t):=-4*(a^2*(d^2-(r-t)^2)-2*a*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+b^2*(c^2-(r-t~
)^2)+2*b*d*(r-s)*(r-t)-(c^2+d^2)*(r-s)^2)

N(a,b,c,d,r,s,t):=4*(a^3*(d^2-(r-t)^2)-a^2*c*(b*d+(r-s)*(t-r))+a*(b^2*(d^2-(r~
-t)^2)-b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)+(r-s)*(c^2*(r-t)+d^2*(s-t)+(r-t)^2*(t-s)))~
-c*(b^3*d-b^2*(c^2+d^2+r*(t-s)+s*t-t^2)-b*d*(r-s)^2+(c^2+d^2+(r-t)*(t-s))*(r-~
s)^2))

P(a,b,c,d,r,s,t):=a^4*((r-t)^2-d^2)-2*a^2*(b^2*(d^2-(r-t)^2)-b*d*(c^2+d^2-r^2~
+2*r*t-t^2)+(r-s)*(c^2*(r-t)+(d^2-(r-t)^2)*(s-t)))+b^4*((r-t)^2-d^2)+2*b^3*d*~
(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)-b^2*(c^4+2*c^2*(d^2+r*(t-s)+t*(s-t))+d^4-2*d^2*(r^2-r~
*(s+t)+s^2-s*t+t^2)+r^4-2*r^3*(s+t)+2*r^2*(s^2+s*t+t^2)-2*r*t*(2*s^2-s*t+t^2)~
+t^2*(2*s^2-2*s*t+t^2))-2*b*d*(c^2+d^2-r^2+2*r*t-t^2)*(r-s)^2+(c^4+2*c^2*(d^2~
+(r-t)*(t-s))+d^4-d^2*(r^2-2*r*t+s^2-2*s*t+2*t^2)+(r-t)^2*(s-t)^2)*(r-s)^2

"Aqui abajo estan las tres coordenadas correspondientes al primer centro"

"**************************************************************"

XPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t):=(-N(a,b,c,d,r,s,t)+(N(a,b,c,d,r,s,t)^2-4*M(a,b,~
c,d,r,s,t)*P(a,b,c,d,r,s,t))^(1/2))/(2*M(a,b,c,d,r,s,t))

YPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t):=-(2*XPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t)*(a*(r-t)+c*(s-~
r))+a^2*(t-r)+b^2*(t-r)+(c^2+d^2+(r-t)*(t-s))*(r-s))/(2*(b*(r-t)+d*(s-r)))

ZPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t):=(2*XPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t)*(a*d-b*c)-a^2*d~
-b^2*d+b*(c^2+d^2+r^2-t^2)+d*(r+s)*(s-r))/(2*(b*(r-t)+d*(s-r)))

"Aqui abajo estan la abscisa correspondiente al segundo centro"

XSEGUNDOCENTRO(a,b,c,d,r,s,t):=(-N(a,b,c,d,r,s,t)-(N(a,b,c,d,r,s,t)^2-4*M(a,b~
,c,d,r,s,t)*P(a,b,c,d,r,s,t))^(1/2))/(2*M(a,b,c,d,r,s,t))

"Y ahora vamos a construir las circunferencias del problema y las de Apolonio~
 que buscamos"

"**************************************************************"

x^2+y^2-r^2=0

(x-a)^2+(y-b)^2-s^2=0

(x-c)^2+(y-d)^2-t^2=0

(x-XPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t))^2+(y-YPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t))^2-ZPRIMER~
CENTRO(a,b,c,d,r,s,t)^2=0

"**************************************************************"

"Lo ponemos todo junto"

MACROAPOLONIO(a,b,c,d,r,s,t):=[x^2+y^2-r^2=0,(x-a)^2+(y-b)^2-s^2=0,(x-c)^2+(y~
-d)^2-t^2=0,(x-XPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t))^2+(y-YPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t~
))^2-ZPRIMERCENTRO(a,b,c,d,r,s,t)^2=0]

"**************************************************************"

"Un par de ejemplos"

MACROAPOLONIO(5,5,-3,4,1,2,1)

;Approx(#53)
[x^2+y^2-1=0,x^2-10*x+y^2-10*y+46=0,x^2+6*x+y^2-8*y+24=0,0.05*(20*x^2-24*x+20~
*y^2-143*y+125)=0]

MACROAPOLONIO(7,5,-4,4,1,2,1.5)

;Approx(#55)
[x^2+y^2-1=0,x^2-14*x+y^2-10*y+70=0,0.25*(4*x^2+32*x+4*y^2-32*y+119)=0,250000~
00000000/16302303048501*10^(-16)*(6.5209212194004*10^15*x^2-1.61565433034544*~
10^16*x+6.5209212194004*10^15*y^2-6.013312253890212*10^16*y+5.574476842750300~
9*10^16)=0]

"**************************************************************"

"Aveces no hay solucion, por ejemplo"

MACROAPOLONIO(2,2,3,4,5,1,1)

;Approx(#59)
[x^2+y^2-25=0,x^2-4*x+y^2-4*y+7=0,x^2-6*x+y^2-8*y+24=0,50000000000/1625686715~
3*10^(-12)*(3.2513734306*10^11*x^2-1.59146173182*10^12*x+3.2513734306*10^11*y~
^2-1.9679365501*10^12*y+4.021435628207*10^12)-500000000/79116323*10^(-9)*#i*(~
3.1602662*10^8*x-1.5801331*10^8*y-3.95033291*10^8)=0]

"Resultan circunferencias imaginarias."

"**************************************************************"