"GEOMET6.MTH Un ensayo con DERIVE de M. de G."

"La transformacion isogonal o isoclina."

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"La transformacion isogonal es una joya de la geometria del"

"triangulo. Fijado un triangulo ABC, el transformado isogonal de un punto P"

"respecto de ABC se obtiene de la forma siguiente. Se une P con A"

"y se traza la recta simetrica de PA con respecto a la"

"bisectriz interior de A. Se une P con B y se traza la recta"

"simetrica de PB respecto de la bisectriz interior de B."

"Se une P con C y.... Las tres rectas obtenidas concurren en"

"un punto P' que es el transformado de P."

"Ahora resulta muy interesante ver como actua la transformacion"

"isogonal. El circulo circunscrito se va a la recta del"

"infinito. Una recta que no pasa por ninguno"

"de los vertices se convierte en una conica que pasa por los"

"tres vertices. Las rectas que pasan por el centro del circulo circunscrito"

"se transforman en hiperbolas equilateras que pasan por el"

"ortocentro.... Hay muchas maravillas que puedes decubrir por ti mismo"

"****************************************************"

"El siguiente programa permite experimentar los milagros de la transformacion~
"

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"Preparamos la expresion de la transformacion isoclina."

PENDIENTE(a,b):=(b SUB 2-a SUB 2)/(b SUB 1-a SUB 1)

PENDIENTEISOCLINA2(v,a,b,c):=(PENDIENTE(a,b)-(PENDIENTE(v,b)-PENDIENTE(c,b))/~
(1+PENDIENTE(v,b)*PENDIENTE(c,b)))/(1+PENDIENTE(a,b)*((PENDIENTE(v,b)-PENDIEN~
TE(c,b))/(1+PENDIENTE(v,b)*PENDIENTE(c,b))))

"Lo anterior nos da la pendiente de la isoclina de vB"

PENDIENTEISOCLINA1(v,a,b,c):=PENDIENTEISOCLINA2(v,c,a,b)

PENDIENTEISOCLINA3(v,a,b,c):=PENDIENTEISOCLINA2(v,b,c,a)

RECTAPUNTOPENDIENTEACOEFRECTA(v,m):=[m,-1,v SUB 2-m*v SUB 1]

INTERSECCIONRECTAS(m,n,p,q,r,s):=[[m,n],[q,r]]^(-1)*[-p,-s]

COEFRECTAISOCLINA1(v,a,b,c):=RECTAPUNTOPENDIENTEACOEFRECTA(a,PENDIENTEISOCLIN~
A1(v,a,b,c))

COEFRECTAISOCLINA2(v,a,b,c):=COEFRECTAISOCLINA1(v,b,c,a)

COEFRECTAISOCLINA3(v,a,b,c):=COEFRECTAISOCLINA1(v,c,a,b)

TRANSFISOCLINA(v,a,b,c):=INTERSECCIONRECTAS((COEFRECTAISOCLINA1(v,a,b,c)) SUB~
 1,(COEFRECTAISOCLINA1(v,a,b,c)) SUB 2,(COEFRECTAISOCLINA1(v,a,b,c)) SUB 3,(C~
OEFRECTAISOCLINA2(v,a,b,c)) SUB 1,(COEFRECTAISOCLINA2(v,a,b,c)) SUB 2,(COEFRE~
CTAISOCLINA2(v,a,b,c)) SUB 3)

"La expresion anterior nos da la transfromada isoclina de un punto."

"Con ella podemos preparar un macro para experimentar la transformada"

"isoclina de cualquier curva."

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"Primero nos construimos el circulo circunscrito, que es"

"importante en esta transformacion (el transformado de la recta del infinito)~
."

;Sub(User)
CIRCULO(centro,radio):=centro SUB 2^2-2*y*centro SUB 2+centro SUB 1^2-2*x*cen~
tro SUB 1+x^2+y^2-radio^2=0

COEFMEDIATRIZ(a,b):=[b SUB 1-a SUB 1,b SUB 2-a SUB 2,(a SUB 1^2+a SUB 2^2-b S~
UB 1^2-b SUB 2^2)/2]

CIRCUNCENTRO(a,b,c):=INTERSECCIONRECTAS((COEFMEDIATRIZ(a,b)) SUB 1,(COEFMEDIA~
TRIZ(a,b)) SUB 2,(COEFMEDIATRIZ(a,b)) SUB 3,(COEFMEDIATRIZ(b,c)) SUB 1,(COEFM~
EDIATRIZ(b,c)) SUB 2,(COEFMEDIATRIZ(b,c)) SUB 3)

CIRCULOCIRCUNSCRITO(a,b,c):=CIRCULO(CIRCUNCENTRO(a,b,c),ABS(CIRCUNCENTRO(a,b,~
c)-a))

"El ortocentro es tambien interesante (imagen del circuncentro)"

COEFALTURA1(a,b,c):=[c SUB 1-b SUB 1,c SUB 2-b SUB 2,a SUB 2*b SUB 2-a SUB 2*~
c SUB 2+a SUB 1*b SUB 1-a SUB 1*c SUB 1]

COEFALTURA2(a,b,c):=COEFALTURA1(b,c,a)

COEFALTURA3(a,b,c):=COEFALTURA1(c,a,b)

ORTOCENTRO(a,b,c):=INTERSECCIONRECTAS((COEFALTURA1(a,b,c)) SUB 1,(COEFALTURA1~
(a,b,c)) SUB 2,(COEFALTURA1(a,b,c)) SUB 3,(COEFALTURA2(a,b,c)) SUB 1,(COEFALT~
URA2(a,b,c)) SUB 2,(COEFALTURA2(a,b,c)) SUB 3)

"**************************************************"

"Ahora construimos el macro"

F(x,y):=

MACROTRANSFISO(a,b,c):=[[a,b,c,a],CIRCULOCIRCUNSCRITO(a,b,c),F(x,y),F((TRANSF~
ISOCLINA([x,y],a,b,c)) SUB 1,(TRANSFISOCLINA([x,y],a,b,c)) SUB 2)]

"***************************************************"

"Como proceder"

"Introduciremos la curva poniendo, por ejemplo, F(x,y):=x+y+15=0"

"y a continuacion escribimos MACROTRANSFISO(a,b,c) siendo a,b,c los vertices"

"Aproximamos y representamos. Sale el triangulo, el circulo circunscrito, la ~
curva y su transformada."

"*****************************************************"

"Ejemplo."

F(x,y):=x+y+15=0

MACROTRANSFISO([7,0],[0,2],[-3,-4])

"********************************************************"

"Se puede observar que la transformada de una recta es una conica que"

"pasa por los tres vertices."

"******************"

"Con el ejercicio siguiente se observa que la transformada"

"isogonal de una circunf que pasa por dos vertices es otra que tambien pasa p~
or los mismos vertices"

CIRCULO([3.5,1],ABS([7,0]-[3.5,1]))

;Expd(#68)
x^2-7*x+y^2-2*y=0

F(x,y):=x^2-7*x+y^2-2*y=0

MACROTRANSFISO([7,0],[0,2],[-3,-4])

"**************************************************"