Precision := Approximate

PrecisionDigits := 6

Notation := Scientific

NotationDigits := 6

Branch := Principal

Exponential := Auto

Logarithm := Auto

Trigonometry := Auto

Trigpower := Auto

Angle := Radian

VariableOrder := [x,y,z]

OutputBase := Decimal

InputBase := Decimal

InputMode := Character

CaseMode := Insensitive

DisplayFormat := Normal

TimesOperator := Dot

"EL TEOREMA DE SIMSON CON DERIVE"

Precision:=Approximate

x^2+y^2-1=0

LADO(a,b):=(y-SIN(b))*(COS(a)-COS(b))-(x-COS(b))*(SIN(a)-SIN(b))

PERP(m,a,b):=(y-SIN(m))*(SIN(a)-SIN(b))+(x-COS(m))*(COS(a)-COS(b))

TRIANGULO(a,b,c):=[LADO(a,b)=0,LADO(b,c)=0,LADO(c,a)=0]

"*************"

"Ahora determinamos el pie"

SOLVE([PERP(m,a,b)=0,LADO(a,b)=0],[x,y])

EXPAND(SOLVE([PERP(m,a,b)=0,LADO(a,b)=0],[x,y]),Rational,x,y)

PIE(m,a,b):=[-SIN(a)^2*COS(b)/(2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN(a)^2*SI~
N(b)^2/(2*COS(b)*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(a)^2*TAN(b)*SIN(m)/(2*(~
COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN(a)^2*TAN(b)^2*COS(m)/(2*(COS(a)*COS(b)+SI~
N(a)*SIN(b)-1))+SIN(a)*SIN(b)*COS(b)/(2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(~
a)*COS(b)*SIN(m)/(2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(a)*SIN(b)^3/(2*COS(b~
)*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN(a)*SIN(b)^2*SIN(m)/(2*COS(b)*(COS(a)*C~
OS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(a)*TAN(b)/(2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN~
(a)*SIN(m)/(2*COS(b)*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(a)*SIN(b)^3*COS(m)/~
(COS(b)^2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(b)^2*COS(m)/(2*(COS(a)*COS(b)+~
SIN(a)*SIN(b)-1))+COS(m)/(2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(b)^3*SIN(m)/~
(2*COS(b)*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN(b)^2/(2*COS(b)*(COS(a)*COS(b)+~
SIN(a)*SIN(b)-1))-COS(m)/(2*COS(b)^2*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-COS(a)*~
COS(m)/(2*COS(b))+SIN(a)*TAN(b)/2-SIN(a)*SIN(m)/(2*COS(b))+SIN(a)*SIN(b)*COS(~
m)/(2*COS(b)^2)-SIN(b)^2/(2*COS(b))+TAN(b)*SIN(m)/2-COS(m)/(2*COS(b)^2)+COS(m~
),SIN(a)^2*COS(a)*SIN(m)/(2*(COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+~
SIN(a)^2*COS(a)*TAN(b)*COS(m)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)~
-1))+SIN(a)*COS(a)*SIN(b)^2/(2*(COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1~
))+SIN(a)*COS(a)*SIN(b)*SIN(m)/((COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-~
1))+SIN(a)*COS(a)*SIN(b)^2*COS(m)/(COS(b)*(COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(~
a)*SIN(b)-1))+COS(a)*SIN(b)*COS(b)^2/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)~
*SIN(b)-1))+COS(a)*SIN(b)^2*SIN(m)/(2*(COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*S~
IN(b)-1))+COS(a)*SIN(b)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+C~
OS(a)*SIN(b)^3*COS(m)/(2*COS(b)*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-~
1))+SIN(a)^2*SIN(b)*COS(b)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1)~
)+SIN(a)^2*COS(b)*SIN(m)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+~
SIN(a)^2*SIN(b)*COS(m)/(2*(COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SI~
N(a)*SIN(b)^2*COS(b)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(~
a)*SIN(b)*COS(b)*SIN(m)/((COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN~
(a)*SIN(b)^2*COS(m)/((COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(b)^~
2*COS(b)*SIN(m)/(2*(COS(a)-COS(b))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(b)*CO~
S(b)/((COS(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))+SIN(b)^3*COS(m)/(2*(CO~
S(b)-COS(a))*(COS(a)*COS(b)+SIN(a)*SIN(b)-1))-SIN(a)*COS(m)/(2*COS(b))+SIN(a)~
/2+TAN(b)*COS(m)/2+SIN(b)]

"******************"

"Vamos a por la recta de Simson y la deltoide"

RECTA(u,v):=(y-u SUB 2)*(v SUB 1-u SUB 1)-(x-u SUB 1)*(v SUB 2-u SUB 2)

SIMSON(m,a,b,c):=RECTA(PIE(m,a,b),PIE(m,b,c))=0

"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"

[TRIANGULO(0,1,3),x^2+y^2-1=0,[[COS(7),SIN(7)],PERP(7,0,1)=0,PERP(7,1,3)=0,PE~
RP(7,3,0)=0,PIE(7,0,1),PIE(7,1,3),PIE(7,3,0)]]

TRIANGULO(0,1,3)

x^2+y^2-1=0

[[COS(7),SIN(7)],PERP(7,0,1)=0,PERP(7,1,3)=0,PERP(7,3,0)=0,PIE(7,0,1),PIE(7,1~
,3),PIE(7,3,0)]

[[COS(7),SIN(7)],SIMSON(7,0,1,3)]

"Y aqui aparece la deltoide"

VECTOR(SIMSON(m,0,1,3),m,0,2*pi,2*pi/30)

VECTOR(SIMSON(m,0,1,3),m,0,2*pi,2*pi/100)

MACRO_SIMSON(a,b,c):=[TRIANGULO(a,b,c),x^2+y^2-1=0,VECTOR(SIMSON(m,a,b,c),m,0~
,2*pi,2*pi/30)]

"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"

"*************************"

"Ahora vamos a por la generalizacion de Simson"

"Consideramos un punto P  de coordenadas (u¶1,u¶2)"

PERPEND(u,a,b):=(y-u SUB 2)*(b SUB 2-a SUB 2)+(x-u SUB 1)*(b SUB 1-a SUB 1)

SOLVE([RECTA(a,b)=0,PERPEND(u,a,b)=0],[x,y])

;Simp(#31)
[[x=(a SUB 2^2*b SUB 1-a SUB 2*(a SUB 1*(b SUB 2-u SUB 2)+b SUB 1*(b SUB 2+u ~
SUB 2))+a SUB 1^2*u SUB 1+a SUB 1*(b SUB 2^2-b SUB 2*u SUB 2-2*b SUB 1*u SUB ~
1)+b SUB 1*(b SUB 2*u SUB 2+b SUB 1*u SUB 1))/(a SUB 2^2-2*a SUB 2*b SUB 2+a ~
SUB 1^2-2*a SUB 1*b SUB 1+b SUB 2^2+b SUB 1^2),y=(a SUB 2^2*u SUB 2-a SUB 2*(~
a SUB 1*(b SUB 1-u SUB 1)+2*b SUB 2*u SUB 2-b SUB 1*(b SUB 1-u SUB 1))+b SUB ~
2*(a SUB 1^2-a SUB 1*(b SUB 1+u SUB 1)+b SUB 2*u SUB 2+b SUB 1*u SUB 1))/(a S~
UB 2^2-2*a SUB 2*b SUB 2+a SUB 1^2-2*a SUB 1*b SUB 1+b SUB 2^2+b SUB 1^2)]]

"Calculamos la proyeccion de P sobre los lados"

"y a continuacion el determinante que nos da el doble del area del triangulo ~
de proyecciones"

PROY(u,a,b):=[(a SUB 2^2*b SUB 1-a SUB 2*(a SUB 1*(b SUB 2-u SUB 2)+b SUB 1*(~
b SUB 2+u SUB 2))+a SUB 1^2*u SUB 1+a SUB 1*(b SUB 2^2-b SUB 2*u SUB 2-2*b SU~
B 1*u SUB 1)+b SUB 1*(b SUB 2*u SUB 2+b SUB 1*u SUB 1))/(a SUB 2^2-2*a SUB 2*~
b SUB 2+a SUB 1^2-2*a SUB 1*b SUB 1+b SUB 2^2+b SUB 1^2),(a SUB 2^2*u SUB 2-a~
 SUB 2*(a SUB 1*(b SUB 1-u SUB 1)+2*b SUB 2*u SUB 2-b SUB 1*(b SUB 1-u SUB 1)~
)+b SUB 2*(a SUB 1^2-a SUB 1*(b SUB 1+u SUB 1)+b SUB 2*u SUB 2+b SUB 1*u SUB ~
1))/(a SUB 2^2-2*a SUB 2*b SUB 2+a SUB 1^2-2*a SUB 1*b SUB 1+b SUB 2^2+b SUB ~
1^2)]

DET([APPEND(PROY(u,[0,0],[1,0]),[1]),APPEND(PROY(u,[1,0],[c SUB 1,c SUB 2]),[~
1]),APPEND(PROY(u,[c SUB 1,c SUB 2],[0,0]),[1])])

;Simp(#36)
c SUB 2^2*(c SUB 2^2*u SUB 2-c SUB 2*(u SUB 2^2+u SUB 1*(u SUB 1-1))+c SUB 1*~
u SUB 2*(c SUB 1-1))/((c SUB 2^2+c SUB 1^2)*(c SUB 2^2+c SUB 1^2-2*c SUB 1+1)~
)

"El numerador es"

;Simp(User)
-c SUB 2^3*u SUB 2^2+c SUB 2^4*u SUB 2+c SUB 1^2*c SUB 2^2*u SUB 2-c SUB 1*c ~
SUB 2^2*u SUB 2-c SUB 2^3*u SUB 1^2+c SUB 2^3*u SUB 1

"LOS COEFICIENTES DE USUB1^2 Y USUB2^2 SON IGUALES Y EL DE USUB1*USUB2 ES NUL~
O"

"*********************************************"

"Es decir: EL LUGAR DE LOS PUNTOS P TALES QUE EL AREA DEL TRIANGULO DE PROYEC~
CIONES"

"ES FIJA ES UNA CIRCUNFERENCIA"

"Esto demuestra la generalizacion del teorema de Simson (proyecciones ortogon~
ales)"

"**********************************************"

"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"

"Experimentando con la hipocicloide de Steiner."

MACRO_SIMSON(0,1,3)

MACRO_SIMSON(0,2,5)

MACRO_SIMSON(0,3,4)

MACRO_SIMSON(-1,pi,pi/4)

MACRO_SIMSON(1,1.1,1.5)

"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"

"Representando estos casos de la deltoide,"

"aparecen varias conjeturas interesantes."

"Tamaño? Centro? Orientación?...."

"Parece que las rectas de Simson van girando uniformemente como el punto P"

"Tarea: demostrarlas o refutarlas."

"**********************************************"