Una resolución observada

En torno al teorema de Wallace-Simson

M. de Guzmán (Junio 1998)
Por la sorpresa comenzó el hombre a filosofar
(Aristóteles)
Mi sorpresa: en un texto de T.Recio (Editorial Síntesis)

Un triángulo ABC y un número k. El lugar de los puntos P del plano de ABC tales que sus proyecciones U,V,W, sobre los lados a,b,c respectivamente, determinan un triángulo UVW de área k es una circunferencia concéntrica con la circunscrita a ABC.

 ¿Por qué sorpresa?

Su origen

Yo conocía el teorema de Wallace-Simson:

Si se pide alineación de UVW el lugar es el círculo circunscrito. Demostración Pero esto resultaba una curiosa e interesante novedad. ¿Cómo podría ser la demostración?

Consideraciones heurísticas. Sobre este punto se puede mirar mi artículo The origin and evolution of mathematical theories. Implications for mathematical education.

    1. La importancia de la motivación...
    2. En las fronteras de lo conocido...
    3. Lo importante es seguir preguntando siempre (Einstein)
    4. La pregunta es el anzuelo para pescar en el mar de las ideas
    5. Aprender a interrogarse y a interrogar...
    6. La forma de los problemas que proponemos...



La herramienta que valió tal vez no valga en este caso...(???)

¿Habrá otra forma de mirarlo?

Busca diversas herramientas para una misma tarea

¿En qué consiste la generalización de este teorema?

De la alineación al área k...

Pero la alineación es área 0...

Un buen consejo para encontrar relaciones nuevas:

"Detrás de una situación cualitativa trata de encontrar las relaciones cuantitativas que la expliquen" (A.P. Calderón) Aquí

¿Cómo se puede expresar el área cuantitativamente?

¡Un determinante!

¿Trabajo duro? ¿Para qué están los programas de cálculo simbólico?

Mediante DERIVE, por ejemplo, dadas las coordenadas de los tres vértices A,B,C, y las de P resultan sin trabajo las coordenadas de U,V,W Muchas de las tareas que antes resultaban difíciles, largas, trabajosas, áridas y aburridas, como dibujar, visualizar, experimentar, calcular resultan ahora sencillas y rápidas mediante el ordenador

Si las coordenadas de P son (x,y), las coordenadas de U,V,W, nos las calcula muy sencillamente el programa DERIVE

Sean

U=(u1(x,y),u2(x,y))

V=(v1(x,y),v2(x,y))

W=(w1(x,y),w2(x,y))

 Inmediatamente, de los cálculos resulta que la ecuación del lugar buscado es ¡...es una circunferencia!

Para diferentes k se obtienen circunferencias con el mismo centro

Como para k=0 el lugar contiene obviamente los tres vértices A,B,C, es claro que todas son concéntricas con la circunscrita

QED

DERIVE nos ayuda a combatir la inercia ante cálculos complicados y ante el experimento trabajoso

Cuando tienes una herramienta buena explora hasta donde llega su potencia ¿Hasta dónde llega aquí?

Cuando miramos u1(x,y), u2(x,y),... observamos que son funciones lineales.

Pero esto no tiene nada que ver con el hecho de que nuestra proyección de P sobre a,b,c, sea ortogonal.

Aunque sea oblicua y arbitraria también resultan lineales.

¡Así resulta que la ecuación del lugar de los puntos P en el caso de proyecciones en tres direcciones arbitrarias...

...es de la forma

Ax^2+By^2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=2k

¡la de una familia de cónicas con el mismo centro y los mismos ejes homotéticas con respecto al centro común!

(cuando existe tal centro, en otro caso son todas parábolas traslaciones de una misma endirección de su eje)

Tratando de completar el problema

Sería bonito si, dado ABC y las tres direcciones de proyección, pudiéramos determinar el centro, ejes y asíntotas, con regla y compás

¿Podemos?

Acude al caso más sencillo

Aquí k=0

¿Podremos determinar el centro... en este caso?

Ya sabemos que para k=0 la cónica pasa por los tres vértices A,B,C...

¿Podremos dar con más puntos útiles?

¡Resulta que obtenemos el hexágono de vértices A,S,C,R,B,T, inscrito en la cónica!

Este hexágono tiene siempre los lados opuestos paralelos

¿Cómo obtener centro, asíntotas y ejes en estas condiciones?

Las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos son diámetros conjugados a los diámetros en la dirección de estos lados opuestos.

Así resulta fácilmente el centro y, teniendo tres pares de diámetros conjugados, es un ejercicio sencillo construir las asíntotas y los ejes.

Muchas preguntas interesantes alrededor del mismo tema y fáciles de experimentar con DERIVE

¿Cuándo resultan circunferencias?

¿Cuándo resultan hipérbolas equiláteras, por ejemplo?

¿Cuál es la envolvente de las rectas de Simson?

¿Cuál es el lugar de los centros de gravedad de los triángulos UVW para un k fijo?
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