Introducción.
El lenguaje cotidiano tiene una gran riqueza, precisamente por muchas de las razones que lo hacen inapropiado para la matemática. Gracias a su ambigüedad poseemos la capacidad de usarlo analógicamente, de transmitir sentimientos y matices inexpresables con exactitud, incluso de formular aproximaciones a situaciones irrepetibles para nosotros mismos (la misma palabra no significa para nosotros lo mismo en circunstancias distintas), podemos usarlo con humor, con ironía, con sarcasmo, con rabia,...

Gracias a lo que al hablar sobreentendemos sin decirlo, gracias a las convenciones tácitas o explícitas de nuestra comunicación por palabras, podemos ser breves y esperar ser entendidos, al menos hasta el punto adecuado para nuestras necesidades de intercambio ordinario. Nuestro lenguaje, incluso prescindiendo de los miles de matices posibles en nuestra expresión hablada, está poblado de sentidos diferentes, temporales, de deseos, de sutilezas de expresión inteligibles tal vez sólo para un círculo muy reducido de personas afines al que habla... En la comunicación matemática, en cambio, lo que interesa son las situaciones claras, unívocas, que para todos y en todas las circunstancias signifiquen lo mismo, y las conexiones lógicas precisas. El tiempo no cuenta, los matices indicando deseo, deber, intencionalidad,... están ausentes.

El lenguaje matemático no formalizado, el que se utiliza normalmente en las clases y en los libros de texto, viene a constituir una depuración (y al mismo tiempo un empobrecimiento) del lenguaje ordinario. Comparte con él muchos de los vocablos y las expresiones cotidianas. Sin embargo, también es cierto que, debido a la intención del lenguaje matemático de hacer más exacta, coherente y lógicamente consistente la comunicación, en él se da a las mismas expresiones del lenguaje ordinario un sentido técnico que, en ciertos casos, no corresponde a la forma en que cotidianamente nos comunicamos con ellos. Para quien empieza a adentrarse en la jerga de la matemática profesional, es conveniente estar atento a estos cambios de sentido que pueden convertir sus primeros pasos en un camino lleno de trampas.

Vamos a examinar a continuación algunos de los resultados de esos intentos de depuración del lenguaje cotidiano en el lenguaje matemático no plenamente formalizado, ese en que los matemáticos se comunican la mayor parte de las veces. Como tendremos ocasión de ver, también el lenguaje matemático contiene ciertos ilogismos, ciertas inconsistencias, trasladadas del uso cotidiano y, por otra parte, ha introducido ciertas formas de expresión que chocan con la manera en que el hombre de la calle expresaría la misma situación.

A quien comienza a adentrarse en el trabajo matemático le puede interesar saber para su tranquilidad que los silogismos lógicos complicados de la lógica tradicional y de la lógica formal no son de gran uso para el trabajo cotidiano de la matemática. Para ser un buen matemático no es necesario en absoluto tener en las puntas de los dedos el BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO; CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO; DIRAMIS, DATISI, BOCARDO, FRESISON,... La lógica útil en el trabajo matemático ordinario es mucho más sencilla.

La actividad más típica del razonamiento matemático se puede describir de la forma siguiente: si la situación A tiene lugar, entonces la situación B tiene lugar. Se trata de la implicación lógica. Como veremos, para ejercitar esta actividad con eficacia, el matemático habrá de poner en claro las situaciones A y B a través de las definiciones de los objetos que intervienen en ellas y del examen detenido de sus relaciones mutuas y habrá de tratar, mediante las reglas válidas del razonamiento lógico, de poner de manifiesto que en caso de darse la situación A se da necesariamente la B también. Es claro que en términos generales este ejercicio no difiere de cualquier razonamiento argumentativo con el que queremos convencer a otra persona en nuestra actividad cotidiana de la realidad de una situación.

Las situaciones A y B se describen mediante unas cuantas expresiones o proposiciones, que podemos considerar los ladrillos básicos del discurso que se enlazan a través de ciertos elementos modificadores, los conectores lógicos, que fundamentalmente son: /no/, /y/, /o/, /o bien... o bien/, /si... entonces/, /si y sólo si/. Por otra parte, en las proposiciones fundamentales aparecen con mucha frecuencia en matemáticas, y también en el lenguaje ordinario, modos constantes de referirse a ciertos o a todos los elementos de una colectividad, de un conjunto bien determinado. Estos modos son los llamados cuantificadores lógicos: /para cada.../, /para algún.../ (en lenguaje cotidiano más cercano: /todos los.../, /alguno de los.../).

Vamos a examinar primero estos elementos aglutinantes para tratar de detectar alguna posible diferencia que en su utilización matemática se puede encontrar respecto del uso cotidiano, a fin deprevenir posibles malentendidos. Más adelante examinaremos detenidamente la forma de uso en el lenguaje ordinario y en matemáticas de los cuantificadores lógicos.