/NO/
En la negación de una expresión sencilla no suele haber problema ninguno. Su uso es el mismo en el lenguaje ordinario y en el matemático. Aseverar /no A/ significa lo mismo que afirmar que /no es cierto que A/ o bien que /A no tiene lugar/, con un mismo sentido en ambos lenguajes, ordinario y matemático: /no A/ será cierto, tendrá lugar, cuando /A/ sea falso, no se verifique, y /no A/ será verdadero, no tendrá lugar, cuando /A/ se verifique.

En el lenguaje matemático, la negación de una negación equivale siempre a una afirmación. En nuestro lenguaje natural, en castellano, no siempre es así, sino que a veces, utilizamos la acumulación de negaciones para dar mayor énfasis a nuestra expresión. /No iré nunca/ es para nosotros más o menos lo mismo que /nunca iré/. En lenguaje más formal /no es verdad que no está en casa/ equivale a /está en casa/ y, en general /no-(no-A)/ es lo mismo que /A/.

En lo que sigue veremos cómo el conector /no/ modifica las otras conexiones que vamos a estudiar de un modo uniforme, sencillo y reducible al automatismo.

Como veremos más adelante, cuando se trata de negar una cadena de expresiones relacionadas por cuantificadores lógicos, lo que hay que realizar muy a menudo en el transcurso de las demostraciones matemáticas, es cuando la situación se complica un tanto, pero asímismo se pueden proponer reglas fijas que permiten la rutinización de esta operación de negación.

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Ejercicio.

Considera la expresión siguiente

/De ninguna manera iré nunca jamás ni contigo ni con tu padre a Berlín/

Construye otra equivalente con negaciones más simples eliminando el énfasis retórico.

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Ejercicio

Considera

/En ninguna oficina de este maldito país, ni en Agosto, ni en nínguna otra época, nadie está nunca ni dos horas seguidas en su sitio/

Quita la exageración retórica construyendo una frase equivalente con el mínimo número de negaciones.

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Ejercicio

Observa cómo la negación múltiple está tan enraizda que el prescindir de ella causa un efecto expresivo interesante.

/Se fue a ninguna parte/

/Este proceso conduce rápidamente a nada/

/El viaje a ninguna parte/

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/Y/
Tanto en el lenguaje normal como en el lenguaje matemático, si A es una proposición y B otra, entonces /A y B/ tendrá lugar, será verdadera, si es que A es verdadera y B también lo es, y en todo otro caso será falsa. No se presenta gran problema en el uso de /y/ en matemáticas.

El efecto del /no/ sobre /A y B/ es bien claro. /No es verdad que el sábado llovió y que el lunes llovió/ es lo mismo que decir /es verdad que el sábado no llovió o el lunes no llovió/ con la significación técnica concreta (no excluyente) de /o/ que veremos enseguida. En general /no-(A y B)/ es lo mismo que /(no-A) o (no-B)/ teniendo aquí /o/ el significado que a continuación presentaremos.

Conviene observar que en el lenguaje ordinario /A y B/ suele presentar connotaciones diversas, tal vez temporales, causales, etc..., de las que el lenguaje matemático las ha despojado. Como decía nuestro gran profesor Germán Ancochea, no es lo mismo en el lenguaje natural decir de alguine /se casó y tuvo un hijo/ que /tuvo un hijo y se casó/, si bien para el matemático /A y B/ es equivalente a /B y A/.

Por otra parte se ha hecho notar (D. Lacombe), que /y/ se utiliza con sentidos diferentes en contextos tales como /Pedro y Juan son rubios/, que equivale a /Pedro es rubio y Juan es rubio/, y /Pedro y Juan son hermanos/, que ciertamente no equivale a /Pedro es hermano y Juan es hermano/.

Como se ve, esta circunstancia se da frecuentemente cuando el predicad de "son" es un adjetivo de relación entre los sujetos. Asímismo en matemáticas: /los triángulos ABC y A'B'C' son equiláteros/ y /los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes/.

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Ejercicio

Aclara el sentido de las siguientes frases con una más explícita.

a) /No mandé que Juan y Pedro lo hicieran. Lo que ordené fue que Juan o Pedro lo hicieran./

b) /Ordené que lo hicieran Pedro y Juan. No dije que lo hicieran Pedro o Juan./

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Ejercicio.

Explica la posible distinción del lenguaje natural entre las dos frases siguientes:

/Iré y lo haré/ /Lo haré e iré/

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Ejercicio

Expresa en una frase simple y clara la negación de la siguiente frase:

/Ni tú ni tu hermano sois irlandeses/

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Ejercicio

Construye una frase sencilla y clara equivalente a la siguiente:

/No es verdad que tú eres brasileño y que tu padre es catalán/

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Ejercicio

Construye una frase sencilla equivalente a

/No es verdad que tú eres brasileño ni que tu padre es catalán/

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Ejercicio

Construye una frase sencilla equivalente a:

/No es verdad que tú no eres irlandés ni que tu hermano es inglés/

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/O/,/O BIEN...O BIEN/
El vocablo /o/ tiene dos significados en el uso cotidiano. En el escaparate de la librería de la universidad aparece escrito

/Nuestros clientes en posesión de carnet de estudiante o empleado de la universidad tendrán derecho al 15% de descuento/.

Está claro que no se pretende excluir del descuento a aquellos que estén en posesión de los dos carnets. Se trata del significado no excluyente de /o/. Según él /A o B/ tendrá lugar, será verdadera, cuando tenga lugar, sea verdadera, al menos una de las dos proposiciones. Y /A o B/ será falsa cuando A sea falsa y B sea falsa.

Pero este no es el único significado de /o/ en nuestro uso normal. Una niña se empeña en que su padre la lleve el domingo por la mañana al parque de atracciones y por la tarde al cine de su barrio. El padre le dice /No. Saldremos por la tarde e iremos al cine o al parque de atracciones/. Este es el sentido excluyente de /o/: /A o B/ significa en este caso que tiene lugar exactamente una de las dos proposiciones. Según este sentido /A o B/ será verdad en los casos siguientes: (1) A verdadero y B falso; (2) A falso y B verdadero. Será /A o B/ falso en los casos siguientes: (3) A verdadero y B verdadero; (4) A falso y B falso. En el lenguaje ordinario, cuando queremos poner bien claramente de manifiesto que se trata del sentido excluyente, usamos /o bien... o bien/ o incluso nos hacemos más explícitos: /No insistas. Haremos una sola cosa. Vamos al cine o vamos al parque de atracciones/.

En el lenguaje matemático, por convención, /o/ tiene siempre un significado no excluyente. Esto implica a veces una patente diferencia con el uso del lenguaje ordinario que llama la atención a quien esta convención no se le ha hecho bien explícita y familiar. En el lenguaje matemático es una expresión verdadera /3 es menor o igual que 5/ y también lo es /5 es menor o igual que 5/ aunque todos sabemos bien que lo verdadero es que 3 es menor que 5 y que 5 es igual que 5.

Se podría expresar el sentido de esta convención diciendo que el matemático en su uso del /o/ se considera obligado a decir la verdad, pero no se considera obligado a decir nada más que la verdad. Lo cual no es la forma habitual de proceder en nuestra vida ordinaria. Si a mi pregunta sobre cuándo se marcha, mi amigo me responde /el sábado o el domingo/ y después me entero de que ese mismo día tenía en su bolsillo su billete para el sábado, por muy habituados que los dos estemos al lenguaje matemático, pensaré que pretendía ocultarme algo.

También, de acuerdo con esta convención, en matemáticas la expresión /5 es mayor que 7 o Madrid tiene más de 3 millones de habitantes/ es, tal vez sorprendentemente para el ciudadano normal, una expresión con perfecto sentido, más aún, verdadera.

Como consecuencia de lo dicho hasta ahora, en el lenguaje matemático, si se desea utilizar el significado excluyente, es preciso hacerlo bien explícito como se ha indicado antes con frases tales como: /o bien A o bien B/, /tiene lugar una exactamente de entre las situaciones A y B/.

El efecto del /no/ sobre /A o B/ es en cierto modo dual del efecto del no sobre /A y B/. Decir /no es verdad que vinieras tú o tu hermano/ (recuerda el sentido no excluyente de /o/) es lo mismo que decir /es verdad que tú no viniste y que tu hermano no vino/. En general /no-(A o B)/ es lo mismo que /(no-A) y (no-B)/.

Este modo dual de comportarse el /o/ con el sentido no excluyente que hemos introducido con el /y/ es una de las razones para utilizar en lógica formal y en matemáticas el /o/ con este sentido precisamente. La negación del /o bien... o bien/ no presenta esta simetría. Decir /no es verdad que o bien iremos al cine o bien al parque/ es lo mismo que decir /es verdad que o bien iremos al cine y al parque o bien no iremos al cine ni al parque/. Es decir, /no-(o bien A o bien B)/ equivale a /o bien (A y B) o bien (no-A y no-B)/, lo cual no presenta analogía ninguna con la negación de /A y B/.
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Ejercicio

Pepe dice: /ordené que vinieran Pedro o Juan/.

Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?
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Ejercicio

Julio dice:/Ordené que vinieran o bien Pedro o bien Juan/

Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?
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Ejercicio

Construye una frase explicativa equivalente a:

/No es verdad que vinieran Pedro o Juan/
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Ejercicio

Construye una frase explicativa equivalente a:

/No es verdad que vinieran o bien Pedro o bien Juan/

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/SI...ENTONCES/
El /si/ de nuestra comunicación normal constituye uno de esos vocablos polivalentes que necesariamente, al pasar a través del intento de los matemáticos de conseguir cierta uniformidad de uso, ha de llegar a resultados a veces chocantes con los usos cotidianos.

/Si A entonces B/ viene a significar normalmente que el constatar que la situacion indicada por A tiene lugar, es verdadera, ya nos basta para poder estar seguros de que la situación B tiene también lugar. Esto nos lleva a concluir que el que B no tenga lugar, que B sea falso, lleva consigo que A haya de ser falso, es decir /si no B entonces no A/, es más, las dos afirmaciones son verdaderas y falsas al mismo tiempo, son equivalentes.

En nuestra vida ordinaria una expresión de este tipo,/si A, B/, lleva aparejadas connotaciones muy diversas, tal vez de causalidad, temporalidad, a veces sobreentendiendo tácitamente relaciones nada fáciles de desentrañar. Utilizamos /si/ en muchos casos que no corresponden a la descripción anterior.

/Si tienes sed, hay agua fresca en el frigorífico/, no nos lleva a pensar que si no hay agua fresca en el frigorífico entonces es que no tienes sed.

/Si te interesa, nací en Madrid/ no nos lleva a pensar que si no nací en Madrid no te interesa.

/Si tú eres diputado, yo soy obispo/ es un modo de significar la convicción tan fuerte que tengo de que no eres diputado, y seacerca más al significado adoptado en el lenguaje matemático para el /si A entonces B/, como veremos más abajo, puesto que, en buena lógica formal, la expresión anterior sólo es falsa cuando tú eres diputado (ya que yo ya sé que no soy obispo).

En otras ocasiones sucede que interpretamos mal nuestro /si... entonces/ del lenguaje ordinario porque nos inclinamos a sobreentender lo que no está dicho. Dijo /si llueve me quedo en casa/. Resulta que está en casa. ¿Qué deduces? Tal vez tu tendencia, como la de muchos otros, es decir: que llueve. Mal hecho. No dijo nada sobre lo que haría si no llovía. ¿Y si resulta que no está en casa? ¿Qué deduces? Ahora sí que se puede deducir que no llueve.

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Ejercicio

Dijo /Voy al Banco. Si está abierto traigo 10.000 pesetas/. Viene con las 10.000. ¿Qué deduces?. Viene sin las 10.000. ¿Qué deduces?

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En el lenguaje matemático /si A entonces B/ o lo que es lo mismo /A implica B/ se interpreta en un sentido bien definido. Será verdad siempre que: (1) A se verifica y B también; (2) A no se verifica y B sí se verifica; (3) A no se verifica y B tampoco. Será falsa cuando A se verifica y B no se verifica.

Es interesante observar que /si A entonces B/ es equivalente a una expresión que solamente utilice los conectores anteriormente introducidos. Decir /si llueve, entonces me quedo en casa/ es lo mismo que decir /no sucederá que llueva y yo no esté en casa/. En general /si A entonces B/ es equivalente a /no-(A y no-B)/. Esto facilita el examen del efecto de la negación sobre /si A entonces B/. /No es verdad que si A entonces B/, es decir /no-(si A entonces B)/ es lo mismo que /no-(no-(A y no-B))/, y esto (negación de negación es afirmación) es lo mismo que /A y no-B/. Esto coincide con el sentido del lenguaje cotidiano: la falsedad de que A implica B coincide con que se verifica A y no se verifica B.

Como hemos podido ver, para la verdad de /A implica B/ desde el punto de vista estrictamente lógico, no se tiene en cuenta para nada la influencia del significado de A sobre el de B, lo que, naturalmente, no suele ocurrir en el lenguaje ordinario, ni tampoco en el matemático normalmente.

/Si 2 es mayor que 3, entonces el Pisuerga pasa por Valladolid/ tiene sentido para un lógico y además es una proposición verdadera. E incluso es verdadera también, según nuestro convenio, /si 2 es mayor que 3, entonces el Pisuerga no pasa por Valladolid/.

Afortunadamente para los matemáticos, nuestro cometido no nos lleva a ocuparnos de afirmaciones tan extrañas para el sentido común. La razón profunda para introducir en lógica, por convención, este significado de la implicación (implicación material), un tanto alejado del uso normal, es la necesidad de dar un sentido uniforme a nuestro discurso, mediante la exclusiva atención a la coherencia lógica interna, a través de una asignación precisa del valor de verdad o falsedad de nuestras afirmaciones (aquí /si A entonces B/) según el valor de verdad o falsedad de las proposiciones de las que dependen (aquí A y B).

Con esta táctica nos alejamos de las innumerables complicaciones que el lenguaje natural lleva consigo, al precio ciertamente de alejarnos también de su inmensa riqueza significativa. El lenguaje matemático es, en lo que se refiere a capacidad de expresión, un pariente bien pobre del lenguaje natural, pero sirve bastante adecuadamente para cumplir su cometido.

En matemáticas se suele utilizar a menudo /si/ para introducir una definición. /Un número natural se llamará par si resulta al multiplicar otro número natural por 2/. Es bueno tener presente que el /si/ de las definiciones tiene significado distinto del anterior. No se trata aquí de una implicación sino de una equivalencia. El /si/ de las definiciones es más bien la asignación de un nombre,/se llama D cuando B/, y quiere decir que donde vea B puedo poner D y viceversa.

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Ejercicio

/Si el Granada no gana el partido el domingo, Pepe será muy infeliz./

Resulta que el domingo gana el Granada y encuentras a Pepe, por la noche, totalmente infeliz. ¿Era la verdad de la proposición entre barras compatible con esta situación?

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Ejercicio
Señala cuáles de las expresiones siguientes son verdaderas y cuáles falsas:

(a) /Si 2>7, entonces 1>3/
(b) /Si 2<7, entonces 1<3/
(c) /Si x=3, entonces 1<2
(d) /Si x=3, entonces 1>2

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Ejercicio
Quieres demostrar que /A implica B/ es falso. ¿Como procederías?

(a) Demostrando que B es falso.
(b) Demostrando que A es falso.
(c) Demostrando que B es falso y que A es verdadero.
(d) Demostrando que B es verdadero y que A es falso.
(e) Demostrando que B es falso y que A es falso.
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Ejercicio

Tu tarea es demostrar que A implica B y sabes que B es falso. ¿Qué tratarás de demostrar y por qué?

(a) Que A es verdadero.

(b) Que A es falso.

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/SI Y SOLO SI/
La expresión /si y sólo si/ es relativamente reciente en el lenguaje matemático al uso. En el lenguaje más tradicional se expresaba /A es condición necesaria y suficiente para B/.

Expresiones del tipo /A si y sólo si B/ donde A y B son proposiciones, sólamente se suelen encontrar en nuestro idioma en el lenguaje matemático. No son usuales en el lenguaje natural el castellano. /A si y sólo si B/ significa que se verifican a la vez las dos implicaciones /si A entonces B/ y /si B entonces A/ en el sentido de la sección anterior. Por lo tanto, según se comprueba fácilmente /A si y solo si B/ tendrá lugar, será verdadera, cuando: (1) A es verdadera y B es verdadera; (2) A es falsa y B es falsa. Será falsa cuando: (3) A es verdadera y B es falsa; (4) A es falsa y B es verdadera.

La expresión /A si y sólo si B/, por su mismo alejamiento de nuestra lengua natural, hace pensar en su sentido técnico de doble implicación, y así empleada resulta suficientemente clara. Menos clara resulta si se pretende desdoblar en sus dos componentes de la siguiente forma: /A si B/ y /A sólo si B/. La expresión /A si B/ es en otras palabras /si B entonces A/, es decir /B implica A/, en cuyo significado ya hemos convenido antes. La expresión /A sólo si B/ es cuando menos oscura y sospechamos vehementemente que sería capaz de confundir al usuario normal del lenguaje cotidiano y tal vez a no pocos matemáticos, a menos que, reconociéndola como parte del contexto /si y sólo si/ la identifiquen con la expresión /A implica B/. La presencia del  "sólo" en la expresión hace tal vez pensar en otra cosa diferente.

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Ejercicio

Podrías hacer el siguiente experimento contigo mismo y con otros, matemáticos o no. Piensa en la siguiente expresión

/voy sólo si vas tú/

y pregúntate con cuáles de las siguientes expresiones se identifica más (¿dice lo mismo que alguna de ellas?), a cuál de ellas parece más cercana, con cuáles resulta su realización compatible o claramente incompatible (¿dice exactamente lo contrario que alguna de ellas?):

(1) /si vas tú, voy yo/
(2) /si yo voy, es que tú vas/
(3) /tu vas y yo no/
(4) /no vas y no voy/
(5) /voy y tú no vas/
(6) /o vamos los dos o no va ninguno/

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Ejercicio

/Voy al cine sólo si está lloviendo/

Examínate a tí mismo y ensaya con otros con qué expresión de las siguientes parece identificarse plenamente y con qué es plenamente incompatible, de qué es la negación y a qué es equivalente:

(1) /si está lloviendo voy al cine/
(2) /sólo voy al cine cuando está lloviendo/
(3) /está lloviendo luego voy al cine/
(4) /si voy al cine está lloviendo/
(5) /no voy al cine y llueve/
(6) /voy al cine luego está lloviendo/
(7) /voy al cine y no llueve/
(8) /no voy al cine y no llueve/
(9) /voy al cine y llueve/

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Estas observaciones parecen indicar que, al menos en castellano /sólo si/ no se debería emplear de forma aislada y por ello mismo tal vez nos deberíamos pensar bien si al /si y sólo si/ que aparece con tanta profusión en nuestra literatura matemática no le deberíamos dar otra forma. Tal vez la única virtud del sii (traducción un tanto curiosa del iff anglosajón) consiste en que con ello se pasa por alto el /A si y sólo si B/ y coloca la atención directamente en la implicación doble /A implica B y B implica A/.

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