Se trata en general de demostrar que si se verifica A entonces se verifica B.

A veces puede no tener esta formulación explícita.

Se propone, por ejemplo: demostrar B. Lo que se presupone es que aquí A es el conjunto de conocimientos obvios, admitidos o ya establecidos de lo que se refiere a B.

Otras veces se dice: Sea I=[a,b] un intervalo de R cerrado y acotado y f una función continua de I a R. Demostrar que… Es claro que A es ese conjunto de condiciones dado más todas las proposiciones ya admitidas o establecidas anteriormente.

Comienza preguntándote si sabes qué significan todos los términos de los que se habla en A y en B. Si alguno no te resulta familiar, entérate mejor de qué va.

A continuación trata de entender las relaciones más importantes de los elementos de A y B entre sí y procura que se te hagan presentes en tu mente las principales ideas relacionados con ellos provenientes de tu estudio previo, de tus experiencias anteriores. Trata de trata de recordar, al menos vagamente, los contextos, las situaciones en las que suelen encontrarse estos elementos, los ganchos, las relaciones que estos mismos elementoa puedan tener entre sí y con otros que te pareaca que puedan serte útiles en esta ocasión..

Es aquí donde intervienen muy decisivamente tus conocimientos previos, cómo los tienes estructurados, tus experiencias anteriores con situaciones semejantes. Todo esto, por supuesto, es algo que irás adquiriendo a medida que te dedicas más y más al estudio de las matemáticas y a la experiencia de demostrar y de resolver problemas. No te extrañe, por eso, que a quien se ha dedicado mucho tiempo a las matemáticas se le ocurran cosas que a ti te parece que nunca se te ocurrirán a ti mismo. Posiblemente no es que sea más listo. Simplemente lleva más años en el oficio.

Lo anterior es algo que debes realizar siempre ante la tarea de demostrar una afirmación que te propongas o te propongan. Asegúrate que entiendes bien de qué se trata. Esto se irá convirtiendo en una rutina totalmente familiar. Una vez que te has asegurado de que entiendes bien de qué va tu tarea puedes proceder adelante de diversas maneras. He aquí algunas indicaciones que pueden resultarte útiles.

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1. Demostración marcha adelante.

Recuerda que se trata de demostrar que si se verifica A, entonces se verifica B. Examina los elementos de la situación A a fondo, con un ojo puesto en la situación B, es decir, mira los elementos que figuran en A y las cosas que de ellos puedes deducir, que serán más y más a medida que ganes en experiencia y en conocimientos, para tratar de entresacar las que tienen que ver con los elementos que han surgido de tu exploración de B.

Este examen tal vez te lleve directamente a deducir la verdad de la situación B que es lo que estabas buscando, pero lo más probable, a menos que estés ante una tarea muy sencilla, es que de A sepas cómo concluir unas cuantas cosas, C,D,E,… y que tal vez de alguna de ellas, por ejemplo D, sepas deducir V que te parece que te lleva más cerca de B,… Procediendo así posiblemente llegas finalmente a B.

Demuestra que si f y g son dos funciones reales continuas en el punto a, entonces la función f+g es también continus en a.

El proceso puede ser más o menos como sigue.

¿Sé lo que significa función real, lo que significa continua en a, lo que significa función f+g? Todo esto me suena o lo adivino.

¿Lo entiendo en el sentido más profundo indicado arriba?

Función real es una asignación para cada número p de R de otro número f(p) de R. Sé bastantes cosas de las funciones reales, cómo se pueden representar, que pueden ser constantes, crecientes, decrecientes, sé derivarmuchas de ellas, sé lo que la derivada significa,…

Continua en a. Sé de muchas funciones continuas, la función y=f(x)=x, y=g(x)=x²,… Sé que una función continua tiene una gráfica que se dibuja de un trazo sin levantar el boli del papel,… Me son familiares y sé aplicar bastantes propiedades de una función continua: que tiene que ser acotada en un intervalo [a,b], que alcanza su valor máximo y mínimo en [a,b],…

Aquí es donde se puede notar la diferencia entre profundidades de saberes y entenderes. Es claro que para quien va a trabajar en matemáticas en serio, no le basta saber muchos ejemplos, ni que sepa aplicar recetas sin saber por qué y en qué situaciones se pueden aplicar, ni tampoco descripciones un tanto vagas, por útiles que sean. Lo que hace falta es una idea que sea operativa, que ayude para decidir si una función es continua o no, que es lo que se pide aquí. Tal idea sobre la continuidad podría ser:

f es continua en a quiere decir que si p_n es una sucesión cualquiera que tiende a a entonces f(p_n) tiende a f(a)

o bien

f es continua en a quiere decir que para cada e>0 se verifica que para algún d>0 se verifica que para cada x tal que |x-a|< d se verifica que |f(x)-f(a)|<e

Y ¿qué es la función f+g? Como es natural se define como la función que a cada x de R le asigna f(x)+g(x). Es decir (f+g)(x)= f(x)+g(x).

Ya tengo bastante bien entendidos los elementos de A y de B. En mi caso A es que f y g son funciones reales continuas en a y B es que f+g es continua en a. ¿Cómo llego ahora de A a B? Examino bien A, de donde parto, con un ojo en B, a donde quiero llegar (es decir que f+g es continua).

Utilizando la segunda definición de continuidad, a donde quiero llegar es a ver que si p_n es una sucesión cualquiera que tiende a a entonces (f+g)(p_n)=f(p_n)+g(p_n) tiende a f(a)+g(a). Como A me dice que f(p_n) tiende a f(a) y que g(p_n) tiende a g(a), y como ya sé yo que si una sucesión C_n tiende a C y otra D_n tiende a D entonces la suma C_n + D_n tiende a C+D, ya tengo lo que quiero demostrado.

Demuestra marcha adelante que las soluciones de la ecuación ax^2+bx+c=0 son

[-b+-sqrt(b^2-4ac)]/2a.

(Observa que el problema es: Si x es un número tal que ax^2+bx+c=0, entonces x es uno de los dos números de arriba) +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2. Demostración marcha atrás.

Otra forma posible de demostración consiste en proceder al revés. Ponemos nuestra atención primeramente en B, es decir en la afirmación a la que queremos llegar. Y, con un ojo puesto en A, vamos tratando de buscar situaciones intermedias E, F, G,… de las que B se podría deducir. Vamos mirando ahora si alguna de estas podría estar relacionada con la situación A, se podría deducir de ella. Cuando la encontramos, nos cercioramos ahora de que el camino inverso al que hemos encontrado, ahora de A a B, es correcto.

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Demuestra que, para tres números positivos cualesquiera, a,b,c, se verifica siempre

3(ab+bc+ca)=<(a+b+c)²

Aquí A es que los tres números a,b,c, son positivos y B es la desigualdad de arriba.

Miramos B y la escribimos de otra forma

3ab+3bc+3ca=<a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

Restando 2ab+2bc+2ca de los dos miembros de esta desigualdad (lo que nos da una desigualdad equivalente), obtenemos

ab+bc+ca=< a^2+b^2+c^2

Si demostramos esta última desigualdad tendremos demostrado A, ya que todas las desigualdades que hemos escrito son equivalentes.

¿Cómo hacerlo? Mirando ahora esta desigualdad, podemos percibir que cada uno de los miembros tiene una expresión que resulta familiar en geometría. El primer miembro es el producto escalar de los vectores (a,b,c) y (b,c,a). El segundo miembro es el producto de los módulos de estos dos vectores (aquí tienen el mismo módulo que es sqrt(a^2+b^2+c^2)) (sqrt(p) significa raíz cuadrada de p).

¿Qué sabemos del producto escalar de dos vectores relacionado con el módulo? Sabemos que el producto escalar de dos vectores es exactamente el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que forman (que siempre tiene valor absoluto menor o igual que 1 e igual a 1 sólo en el caso en que los vectores tengan la misma dirección y sentido, es decir cuando las componentes de uno son las del otro por una constante positiva).

Por tanto es cierto que ab+bc+ca=< a^2+b^2+c^2, y así obtenemos A.

Además esta demostración nos dice que se da la igualdad solamente cuando a/b=b/c=c/a lo que implica en nuestro caso que a=b=c.

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La demostración anterior supone que sabemos unas cuantas propiedades del producto escalar de vectores en el espacio que probablemente son más difíciles de demostrar que la propiedad que tenemos delante. ¿Y si no las sabemos? Aquí tienes otra demostración más simple.

Tratamos de demostrar, como antes, que ab+bc+ca=<a^2+b^2+c^2, siendo a,b,c números positivos.

Podemos tratar de simplificar esta expresión. Si suponemos, por ejemplo, c=<b=<a, podemos dividir la desigualdad por a y llamar b/a=x, c/a=y. Es claro que x es positivo y menor o igual que 1 y también y.

Lo que tenemos que demostrar ahora es que con esta condición se verifica x+y+xy=<1+x^2+y^2, o, lo que es lo mismo, que

0=<x^2+y^2+1-x-y-xy=[x^2+y^2-2xy]+[1-x-y+xy]=(x-y)^2+(1-x)(1-y)

Pero esto, puesto que x e y son positivos y menores o iguales que 1, es obviamente cierto. La igualdad se da solamente en el caso x=y=1, es decir, a=b=c.

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Ejercicio.

Demuestra marcha atrás, que si a es un número fijo que verifica 0<a<pi, entonces para cualquier número t que verifica 0=<t=<pi-a, resulta que F(t)=[sent+sen(t+a)]/[cost-cos(t+a)] es un valor independiente de t.

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¿Cuándo proceder hacia adelante y cuándo proceder hacia atrás?

En ocasiones puede suceder que conozcas mejor, estés más familiarizado con, sepas manipular adecuadamente los elementos que figuran en A y otras los que figuran en B. De todos modos es claro que tienes que tener siempre la mirada atenta a las dos situaciones A y B que quieres enlazar y es obvio que cuanto mejor sea tu conocimiento inicial de ambas situaciones tus posibilidades de éxito serán mayores.

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3. La demostración por contraposición (es decir demostración "supongamos que no") procede de la siguiente manera. Queremos demostrar que si se verifica A, entonces se verifica B. Es claro que esto es equivalente a demostrar que si no se verifica B entonces no se verifica A. En ocasiones puede resultar más fácil de realizar la demostración de esta segunda proposición. Más adelante veremos cómo se pueden señalar algunas circunstancias generales en las que este procedimiento sea aconsejable.

Un ejemplo sencillo de demostración por contraposición.

Tratamos de demostrar que, de acuerdo con las reglas del ajedrez, cada peón se mueve a lo sumo 6 veces.

Consideramos un peón cualquiera.
Supongamos que se mueve 7 veces o más.

Tratamos de llegar a deducir que no hemos cumplido las reglas
del ajedrez.
     Tras el primer movimiento el peón se encuentra al menos en la
fila tercera. Tras el segundo movimiento se encuentra al menos en
la cuarta... Tras el séptimo movimiento se encuentra al menos en la
novena,...fuera del tablero.

Un ejemplo matemático de demostración por contraposición.

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Demostrar por contraposición que si f es una función real de variable real y continua en el punto x de R, entonces

paracada e>0 severificaque paraalgun d>0 severificaque
paracada y de R con |x-y|<d severificaque |f(x)-f(y)|<e

(Léase, en símbolos de cuantificadores: paracada ", paraalgun, $, severificaque ñ)

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Ponemos un ojo en lo que tomamos como definición de continuidad de en x, que es lo que queremos obtener, es decir

paracada sucesión x_n con x_n en R que tiende a x severificaque f(x_n ) tiende a f(x)

Habremos de partir de la negación de la expresión final del teorema que queremos demostrar, que es

Y ahora partimos de esta afirmación para tratar de deducir la no continuidad de f en x.

El e concreto que esa afirmación dice que existe parece invitarnos a que lo conectemos de algún modo con la definición de continuidad de f en x. Por ejemplo:

Tomamos d=1/n y la expresión de arriba nos dice que hay algún y sub n  tal que |y sub n -x|<1/n y sin embargo |f(y sub n)-f(x)|>e. Cuando n varía de 1 a infinito, resulta que tenemos la sucesión y_n  que claramente converge a x, y sin embargo, f(y_n ) no converge a f(x).

Esto nos dice que f no es continua en x y con ello hemos obtenido lo que queríamos.

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Ejercicio.

Demuestra que si c es un número impar la ecuación n^2+n-c=0 no tiene ninguna solución entera.

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Procede de la siguiente manera. Demostrar que A implica B es equivalente a demostrar que A y no-B implican cualquier absurdo. Por lo tanto, en la demostración por reducción al absurdo partimos de A y no-B y tratamos de ver que esta situación nos lleva a un disparate, es decir que de ella deducimos una falsedad obvia, sea la que sea. Si lo logramos, como es claro que es falso A y no-B. Como A forma parte de la hipótesis y lo podemos dar como cierto, es claro que no-B es falso, es decir que B es verdadero.

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Demuestra que sqrt(2) es un número irracional.

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Parecería que aquí no se da la forma A implica B. En éste, como en muchos otros casos en que se propone demostrar algo, se da por entendido que hay que demostrar lo que se propone partiendo de las cosas que se saben, se suponen demostradas o admitidas, aquí en concreto sobre sobre los números. Como si dijéramos: Demuestra que los hechos conocidos sobre los números racionales implican que sqrt(2) es irracional.

Para proceder por reducción al absurdo partimos de los hechos conocidos sobre los racionales y de que sqrt(2) es racional, es decir es de la forma p/q, siendo p y q dos números enteros, pudiendo suponer que p/q está en forma irreducible, es decir que p y q no tienen ningún factor en común.

Ahora empezamos a deducir y tratamos de llegar a un absurdo, una contradicción..

Si sqrt(2)=p/q entonces p^2=2q^2. Esta igualdad pone en claro que uno de los factores de p es 2, es decir p es par, p=2r. Substituyendo en la igualdad anterior, resulta 4r^2=2q^2, es decir 2r^2=q^2. Pero esto nos dice que también 2 es un factor de q, es decir también q es par. Pero habíamos partido de que p y q no tenían ningún factor en común. Hemos llegado a un absurdo y así queda concluída nuestra demostración.

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Ejercicio.

Demuestra que es imposible escribir números utilizando cada uno de los diez dígitos una sola vez de modo que su suma sea 100.

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Cuando B es una afirmación que se hace de todos los elementos de un conjunto es claro que no-B está diciendo que para algún elemento, p, de ese conjunto algo sucede. Empezar pensando en el elemento p y apoyarnos en lo que sabemos que sucede con él para llegar a no-A puede ser un buen punto de partida. Como hemos visto en el ejemplo relativo a la función continua en (3) (por contraposición) este ha sido precisamente el caso.

Cuando hemos abordado la demostración (por reducción al absurdo) de que sqrt(2) es irracional, también hemos procedido así. Lo que queríamos demostrar, B, que aquí es sqrt(2) es irracional, es lo mismo que decir que para cada p/q racional sucede que p/q # sqrt. Por lo tanto no-B es para algún p/q racional se tiene p/q=sqrt(2). Y así es como hemos comenzado. Aquí ha resultado más fácil demostrar algo de un racional, cuya estructura es relativamente sencilla, de lo que hubiera sido tratar de demostrar algo sobre sqrt(2) que, aunque sea un número bien concreto, tiene una estructura más complicada.

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5. Distinción de casos.

En muchas ocasiones la situación que propone una demostración es tal que se puede clasificar en un número finito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito de clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante algún truco diferente para obtener la conclusión a la que queremos llegar. Se entenderá esto mejor con algunos ejemplos.

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Demuestra que si a y b son dos números reales, entonces |a+b|=<|a|+|b|.

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Partimos de la definición de valor absoluto |r| de un número r, que es r si r>=0 y -r si r<0. Entodo caso es un número psoitivo o nulo y siempre es cierto r=<|r|.

Esto nos invita a distinguir dos casos en la tarea propuesta.

Si a+b>=0 entonces |a+b|=a+b. Como a=<|a| y b=<|b|, es claro que se tiene la desigualdad.

Si a+b<0, entonces |a+b|=-a-b. Como -a=<|a| y -b=<|b|, también en este resulta cierta la desigualdad.

Demuestra que para dos números naturales cualesquiera x,y, es imposible que se verifique 3x^2=y^2+1.

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Puesto que el primer término es múltiplo de 3 es claro que y no lo puede ser. Por lo tanto y es de una de las dos formas posibles: y=3h+1 o bien y=3h-1. Pero en cualquier caso y^2 (haciendo cuentas) es de la forma 3k+1 que nunca puede ser igual a 3x^2.

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Ejercicios.

Demuestra que para cada número natural n, el número n^2(n^2-1)(n^2-4) es múltiplo de 360.

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Demuestra que para cada número natural n, el número 3n^5+5n^3+7n es múltiplo de 15.

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