(Conferencia en el Octavo Congreso Internacional de Educación Matemática ICME-8 (Sevilla 1996), publicada en las Actas del Congreso, Sociedad Andaluza de Educación Matemática "THALES", Sevilla, 1998)

EL PAPEL DEL MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Miguel de Guzmán
Universidad Complutense de Madrid

LA TAREA DE LA COMUNIDAD MATEMÁTICA

La tarea fundamental y general de la comunidad matemática consiste en contribuir de modo efectivo al desarrollo integral de la cultura humana.

Esto es precisamente lo que ha hecho desde el principio de su existencia. La matemática es, en el fondo, una exploración de las diversas estructuras complejas del universo. Analizar estas estructuras no ha sido en general un mero ejercicio especulativo o académico, sino un ejercicio práctico en el que se ha buscado muy pretendidamente la utilidad y el progreso de la cultura humana.

La matemática exploró inicialmente la multiplicidad presente en las cosas a su alrededor y para dominarla creó el número y la aritmética. El examen de las estructuras del espacio y de la forma condujeron al matemático hacia la geometría. El estudio de las transformaciones y cambios en el tiempo del mundo a su alrededor le condujeron al análisis matemático. El intento de enfrentarse y dominar hasta cierto punto la incertidumbre le condujo a la creación de la probabilidad y la estadística como herramientas para hacerlo eficazmente. El examen de las propias estructuras mentales del pensamiento, matemático o no, le llevaron hacia la construcción de la lógica, ...

Pero hay algo aún más profundo en el desarrollo de la matemática. La búsqueda de la belleza intelectual, esa belleza, como diría Platón "únicamente asequible por los ojos del alma", ha sido y siempre será uno de los estímulos más importantes en el quehacer incansable de la comunidad matemática. En la comunidad pitagórica este aspecto profundo de nuestra ciencia encaminó al matemático hacia los aspectos más hondos del ser y hacia la contemplación reverencial de la divinidad, que se presiente más o menos veladamente a través de la armonía intelectual del universo.

Pero la matemática se ha ejercitado también por razón de sus aspectos lúdicos, por sus conexiones con el arte. Se ha examinado como modelo y como campo de trabajo por filósofos y por psicólogos, etc. etc.

En resumen, las contribuciones de la matemática a la cultura humana han sido extraordinarias y extraordinariamente variadas y lo seguirán siendo aún más en el futuro. Como decía en 1923 Alfred N. Whitehead, uno de los grandes matemáticos y filósofos de nuestro siglo, con una visión certera y profética:

Si la civilización continúa avanzando, en los próximos 2000 años la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática.

La gran tarea de la matemática es, sin duda, seguir contribuyendo de múltiples formas, tan enriquecedoras como las que he mencionado, al progreso de la cultura humana.
 
 

LAS SUBTAREAS CONCRETAS

Entre las formas específicas de llevar adelante este objetivo global yo destacaría, para lo que aquí nos va a interesar, tres:

-resolver los problemas del campo y los que el desarrollo de la sociedad propone

-conservar y transmitir el legado matemático

-transferir a la sociedad los resultados de sus éxitos

Es claro que uno de los cometidos más importantes consiste en tratar de ir resolviendo aquellos problemas que de forma natural surgen en los diferentes campos de la matemática. Unos brotan de las preguntas propias del desarrollo interno de las matemáticas, otros aparecen propuestos por el progreso de otras ciencias que buscan constantemente su apoyo en la matemática. Otros surgen de la necesidad del desarrollo de nuevos instrumentos, de nuevas técnicas para diversos propósitos.

Junto a esta importante misión se presenta también la de ir estructurando los resultados y las teorías que van surgiendo, a fin de entenderlas mejor, de hacerlas más sencillas para poder profundizar más en ellas y para hacerlas así más asequibles a las generaciones posteriores.
 

La segunda subtarea importante consiste en conservar y transmitir el legado matemático acumulado durante los muchos siglos de crecimiento. La riqueza cultural que para la humanidad representa el acerbo de conocimientos y experiencias matemáticas a lo largo de varios milenios constituye un bien extraordinario para el hombre. Transmitirla de la mejor manera posible a las generaciones posteriores para hacerlas capaces de utilizarla y de ampliarla es un trabajo extraordinariamente complejo por razones diversas y fáciles de entender. He aquí algunas:

los contenidos matemáticos son estructuras elaboradas a través de un amplio esfuerzo colectivo que, en muchos casos, ha tenido lugar durante muchos siglos de esfuerzos de mentes muy privilegiadas. Es natural que la labor de transmisión presente problemas bien complicados

la transmisión de tales contenidos ha de hacerse poniendo la atención en las personas concretas a quienes van dirigidos, con características afectivas, cognitivas, ambientales, etc. muy diferentes que es necesario tener en cuenta

tales personas están inmersas en una cultura y en una sociedad bien específicas, con sus formas de existencia y de comunicación propias y marcadamente diferentes unas de otras.
 

La tercera subtarea mencionada consiste en transmitir a la sociedad, de forma adecuada, los logros que la comunidad matemática obtiene. Esto constituye también una seria obligación de la comunidad matemática en su conjunto. Se trata de ser útil a la sociedad, pero también es necesario ayudar a la sociedad a percibir el papel real que la matemática ha ejercido y sigue ejerciendo en el desarrollo general de la cultura humana a fin de que la sociedad, con esta persuasión, siga apoyando de modo efectivo la labor que la matemática realiza.

Es ésta una tarea extraordinariamente importante y delicada para la que no se puede delegar en personas ajenas a la comunidad matemática. Si la comunidad matemática, en su conjunto, descuida su presencia en la sociedad, ésta también acabará por considerar sin importancia el quehacer de los matemáticos y actuará de acuerdo con esta percepción. Es necesario que nos esforcemos por hacer bien conocida la presencia de la matemática en nuestra cultura, entre otras razones porque se trata de una realidad que para nosotros es patente.
 
 

LAS SUBCOMUNIDADES

Y correspondiendo a las diferentes tareas señaladas que la comunidad matemática en su conjunto ha de realizar, se pueden observar en ella varias subcomunidades suficientemente diferenciadas:

-personas dedicadas a la investigación de los problemas internos de la matemática o de los problemas provenientes de las aplicaciones

Este es el grupo que, un tanto impropiamente, se suele llamar de "matemáticos". Su interés principal consiste en resolver los problemas que van surgiendo en su campo y en estar atento, en comunicación con otros profesionales y científicos, a las posibles implicaciones y aplicaciones que su trabajo pueda tener

-personas dedicadas a la transmisión del saber y del quehacer matemático a las generaciones posteriores
El grupo de los maestros y profesores, cuya labor de introducción adecuada de los más jóvenes en el quehacer matemático y en el placer y utilidad que éste quehacer puede proporcionar es absolutamente esencial para el desarrollo y bienestar de la comunidad matemática

-personas dedicadas a la investigación en los problemas propios de tal transmisión
La existencia de un grupo que estudie intensamente los problemas de la transmisión del saber hacer matemático a otras generaciones, es decir el grupo de los investigadores en educación matemática, es un fenómeno reciente que está sólidamente motivado, a mi parecer, por las fuertes dificultades que esta transmisión ofrece, como antes he mencionado, por la necesidad creciente de una formación matemática más extensa y profunda para un segmento cada vez más amplio de personas y por las penosas experiencias que recientemente han experimentado generaciones de jóvenes con ocasión de la puesta en práctica masiva de procesos de aprendizaje que han demostrado al poco tiempo resultar ineficaces, cuando no seriamente perjudiciales

-usuarios de la matemática
Las personas que tratan de sacar el mejor partido posible de los resultados y las teorías de la matemática en su trabajo técnico, profesional, científico, que proponen cuestiones y problemas a la consideración de los investigadores matemáticos y que apoya de muchos modos la vida de la comunidad matemática
 
 

-educadores matemáticos de la sociedad (divulgadores)
Aquellas personas dentro de la comunidad matemática que, con especial sensibilidad, tratan de realizar la importante tarea de acercar a la sociedad los resultados de todo el esfuerzo de la comunidad matemática, a fin de hacer claro el papel de la matemática en la cultura humana en general y en la sociedad en la que vive

...

La lista no es exhaustiva ni tampoco hay que pensar en que estos sean grupos disjuntos. Al contrario, lo deseable sería que las intersecciones de tales grupos fueran bien nutridas y que la comunicación y el posible paso por un grupo u otro de una persona en concreto fuera un hecho fácil y ordinario.

Lo ideal sería que cada uno de los miembros de la comunidad matemática tuviera la magnífica experiencia de formar parte simultáneamente o por algún período, de varias de estas subcomunidades. Y de hecho, como veremos más adelante, a lo largo de los siglos ha habido personas que han realizado con éxito esto que a algunos les puede parecer una utopía.

ALGUNAS PREGUNTAS EN RELACIÓN CON EL TEMA CENTRAL

El tema de mi intervención aquí es el papel del matemático en la educación matemática. Con relación a él se pueden indicar varias preguntas interesantes que trataré de responder:

-¿hay razones para que el matemático se preocupe por la educación?
Es decir, ¿puede el matemático encontrar motivaciones específicas que tengan que ver con su propia tarea para preocuparse y dedicarse él mismo a examinar a fondo la situación actual de la educación matemática en su entorno más próximo, en su país, en el mundo en general?

-¿puede aportar el matemático algo específico en los problemas alrededor de la educación matemática?
Es decir, ¿echaremos de menos algo verdaderamente importante si el matemático no nos dice su palabra en torno a los problemas en educación matemática, algo que otros no pueden aportar?

-¿en qué tareas podría participar más activamente?
Por su propia forma de ver, estar y hacer en la comunidad matemática, ¿tiene el matemático algún lugar relevante y especial a la hora de contribuir a aclarar los problemas y las tomas de decisión en torno a la educación matemática?

-¿por qué hay tan pocos que participen?
¿Qué circunstancias se dan en la actual estructura de la comunidad matemática para que sean relativamente escasos los matemáticos que colaboran activamente en el examen a fondo y en la solución de los problemas relacionados con la educación matemática?

-¿dónde están los buenos ejemplos?
¿Se pueden señalar matemáticos influyentes y reconocidos que se hayan ocupado activamente de los problemas relacionados con la educación matemática?

-¿existen problemas en las relaciones matemático-educador-investigador en educación matemática?
Es decir ¿se dan entre las diferentes subcomunidades matemáticas el grado de aceptación y respeto mutuo y el grado de colaboración que serían deseables?

-¿se pueden señalar algunas tareas que en la actualidad se estimen como más urgentes e importantes?
Posiblemente en prácticamente todos los campos de la educación matemática sería muy bueno escuchar con atención en todo momento lo que los matemáticos tengan que decir, pero en cada situación concreta habrá probablemente temas de urgencia en los que su intervención sea particularmente necesitada y bienvenida, ¿se pueden señalar algunos hoy día?

Trataré a continuación de decir esbozar tentativamente algunas respuestas en torno a estas preguntas.
 
 

UNA RAZÓN PODEROSA PARA LA IMPLICACIÓN DEL MATEMÁTICO:
LA PROPIA ENSEÑANZA, LA PROPIA COMUNICACIÓN

La creación matemática tiene muchos puntos en común con la creación artística. La satisfacción del artista no puede reducirse a crear belleza y a contentarse con percibir la belleza que él ha creado. Necesita compartir su creación de la forma más perfecta posible.

Enseñar matemáticas tiene también este aspecto de comunicación y difusión de las creaciones matemáticas, ya procedan de uno mismo ya sean obra de otros. Parece natural que, en principio, el matemático creativo debería ser la persona mejor capacitada para percibir y transmitir la belleza de las creaciones matemáticas. Tratar de hacerse capaz de comunicar de manera adecuada la forma matemática que uno ha percibido implica interesarse a fondo por los modos más efectivos de educación matemática.

Enseñar matemáticas es también compartir esa visión personal a la que uno ha llegado tal vez tras muchos años de dedicación entusiasmada a un campo particular, hacer partícipes a otros de esos momentos de contemplación profunda, seguramente de algún modo única, con los que cada uno de los matemáticos se encuentra en su propio trabajo. Quien se hace capaz de realizar esta comunicación con éxito experimenta sin duda una enorme satisfacción. Y esto implica también interesarse por los modos más efectivos de transmisión de los conocimientos matemáticos, es decir por la educación matemática.

Posiblemente estas fuerzas han sido las que han impulsado en el fondo a los grandes comunicadores de la matemática, como Euler, por ejemplo, "el maestro de todos nosotros". Leer sus obras es como hacer una excursión por parajes admirables acompañados por un experto guía que nos conduce por senderos fáciles y nos hace descubrir al tiempo bellezas insospechadas a nuestro alrededor.

Pero, por otra parte, enseñar es realizar una labor de inculturación, de inmersión en la comunidad matemática de los más jóvenes de cada generación, a fin de que puedan aprender, en el taller mismo del matemático, el oficio propio del quehacer matemático. Al fin y al cabo, la matemática es mucho más un saber hacer que un mero saber. Y esto no se aprende con recetas escritas sino con el contacto con el maestro. Para ello el matemático que se ocupa de resolver los problemas propios de un campo matemático es sin duda la persona más adecuada.

También hay otro punto de vista, el del propio provecho personal, por el que el matemático podría tratar de interesarse por los problemas de la educación matemática. Todos solemos salir enriquecidos de nuestro propio ejercicio de enseñar. ¿Quién de nosotros no ha tenido ocasión de ser profundamente estimulado hacia una visión nueva, distinta, más honda, por las preguntas y observaciones de las propias personas a las que pensábamos estar enseñando? Ellas tienen muchas veces una mirada nueva sobre el mismo panorama que para nosotros ya parecía haber perdido los colores y el brillo inicial.

Littlewood, uno de los grandes analistas de nuestro siglo, cuenta cómo Marcel Riesz descubrió uno de sus famosos resultados en análisis armónico. Estaba Riesz simplemente jugando con la integral de una función analítica a fin de proponer un examen a sus alumnos cuando de ella saltó ante su asombrada mirada algo que le llamó poderosamente la atención. Este algo se llama ahora el teorema de Riesz y es una herramienta básica en análisis armónico.

De Polya es la observación de que el cálculo infinitesimal es tan profundo que nunca lo aprendemos verdaderamente, todo lo más, dice, sucede que llegamos a acostumbrarnos a él. Y Paul Halmos cuenta cómo por su mala memoria se ve obligado a aprender de nuevo cada año el curso que le toca explicar. Y con ello descubre cada vez que lo hace profundidades que antes se le habían pasado por alto.

Hay por lo tanto también razones puramente egoístas para que el matemático valore y se interese profundamente por los procesos de su propia enseñanza.

LAS APORTACIONES ESPECIFICAS DEL MATEMÁTICO
A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Entremos ahora a examinar algunas de las posibles aportaciones específicas del matemático en torno a los problemas del aprendizaje.

-el ejemplo personal de inmersión en el quehacer propio de la matemática

El matemático debería tener razones para ser la persona más entusiasmada por su ciencia. A través de su propio trabajo creativo en el campo de su elección parece que debería estar en contacto más cercano con las raíz de esas satisfacciones que todos experimentamos en la mera contemplación de nuestra ciencia. La dedicación a la matemática no suele producir millonarios, pero sí personas intensamente enamoradas con aquello que por profesión hacen de tal modo que lo seguirían haciendo nadie les pagara por ello. La sociedad parece saberlo y aprovecharse de ello. Mi viejo profesor Ricardo Rodríguez San Juan al comentar la penuria de su sueldo en nuestra universidad me decía: "Guzmán, se están aprovechando de nuestra afición". Esta dedicación sin fisuras al quehacer de la ciencia y a su belleza es algo que nuestros estudiantes aprenden y estiman como por ósmosis. No hacen falta largos y convincentes discursos. Es el contacto con una de estas personas lo que transmite el contagio suficiente para que llegue el momento en que nuestros jóvenes digan: "Yo también iré por ahí. Esta es mi vocación."

La presencia visible de tales personas en el entorno educativo de la comunidad matemática representa una de nuestras riquezas más extraordinarias. Esta presencia constituye la más segura garantía de pervivencia y permanencia sana de nuestra ciencia en la cultura humana. Como cualquier otro arte, la matemática no puede morir. Dondequiera que haya hombres habrá también personas dedicadas a la matemática.

Afortunadamente nunca, en la larga historia de la matemática, nos han faltado los ejemplos de dedicación a la matemática, ya sean personas jóvenes y maltratadas por las circunstancias, como Abel o como Galois, ya sean personas que han tenido una vida larga y llena de éxitos matemáticos, como Euler o como Gauss.

-una guía sobre los contenidos y los procesos matemáticos más adecuados en la educación matemática

Cuando llega la hora de pensar en cambios de rumbo, de métodos, de contenidos en la educación matemática, sería muy irresponsable acudir tan sólo al especialista en métodos didácticos, al experto en la psicología de los procesos de aprendizaje matemático. Nos es absolutamente necesaria la ayuda de aquellas personas de nuestra comunidad matemática que tienen verdaderos motivos para percibir con mayor claridad cuáles puedan ser los elementos realmente obsoletos de nuestra enseñanza, por más tradición que los avale, cuáles son las ideas inertes que están lastrando nuestro trabajo y causando probablemente el tedio, la sensación de inutilidad, la frustración de muchos de nuestros alumnos y profesores. Es posible que haya equivocaciones individuales, opiniones sesgadas por visiones unilaterales, pero las opiniones elaboradas por los matemáticos deben constituir una guía imprescindible en las decisiones que se hayan de tomar.

-una visión global de la matemática integrada en la cultura humana

La matemática no es un meramente un conjunto de técnicas o de herramientas, por muy útiles que puedan resultar en nuestra civilización para alcanzar diversos fines. La matemática, antes lo he dicho, es una parte muy importante de la cultura humana. El matemático no debería ser el fontanero que arregla algunas porciones de un edificio que no entiende globalmente. El matemático debería ser el arquitecto que es capaz de contemplar y entender globalmente el edificio, su finalidad, su utilidad, su belleza, su sentido, su función, la expresión adecuada con aquello a lo que sirve, sus relaciones con el entorno, con la cultura de quien lo va a usar, con lo más íntimo de su personalidad ... Y para esta tarea necesitamos del matemático de visión amplia y profunda.

El matemático, hablo del matemático colectivo, debería tratar de percibir claramente, no sólo las relaciones de la matemática y de su campo con la mecánica, la biología, la economía, la ecología, etc., sino también con otros aspectos mucho más profundos de la persona humana como la filosofía, la ética.

También aquí ha habido guías matemáticos muy ilustres, comenzando con Pitágoras, a quien, como dice Whitehead, debemos probablemente lo que constituye la visión más certera que ha dado origen a la ciencia en el mundo occidental, la convicción de la inteligibilidad del universo y precisamente a través de la racionabilidad matemática.
 
 

LA NECESIDAD DE COLABORACIÓN CON LOS OTROS MIEMBROS DE LA COMUNIDAD MATEMÁTICA

Parece claro, por lo que hasta aquí he dicho, que la presencia del matemático en la exploración de los problemas es imprescindible. Pero no es menos claro que tal presencia ha de darse con un espíritu de colaboración, sin tratar de imponer, consciente de que su opinión ha de ser valorada conjuntamente con otras personas que también tienen luces muy valiosas que aportar. He aquí algunos aspectos que tratan de hacer patente la necesidad de ese espíritu de colaboración

-para orientar conjuntamente el proceso educativo hacia la persona concreta
En el matemático técnico se puede presentar una tendencia que, de no ser suficientemente equilibrada, resultará francamente perjudicial. Se trata de la inclinación a hacer girar toda la educación matemática exclusivamente en torno al contenido matemático, sin consideración de otros aspectos más personales y circunstanciales. El contenido es, ciertamente, un ingrediente fundamental que hay que considerar, pero claramente no el único.

En cualquier tipo de educación el centro es la persona, con su idiosincrasia y sus circunstancias propias. Es cierto que, en cualquier época y circunstancia habrá contenidos más adecuados que otros para el aprendizaje matemático de tal o cual nivel, y esto constituye un problema extraordinariamente importante que hay que resolver para obtener una educación matemática adecuada. Pero es necesario no perder de vista que la visión adecuada para resolverlo no es exclusivamente la del que está inmerso en los problemas de los diferentes campos de la matemática del momento. También tiene mucho que decir quien conoce más de cerca al estudiante, que debe ser el centro del proceso de aprendizaje.

Puede haber contenidos y formas de proceder en el pensamiento matemático que parecen adecuarse más al desarrollo de la matemática del momento, pero junto a ello hay que considerar otros muchos aspectos que desaconsejen la inmediata introducción de las formas de proceder que al matemático del momento le parecen insoslayables y las únicas aceptables.

-para ser capaz de percibir los efectos de las innovaciones propuestas

Lo que fue bueno ayer, tal vez no lo sea ya hoy. Lo que le parece adecuado que se introduzca y cambie rápidamente en la enseñanza, tal vez sea una buena utopía hacia la que hay que dirigir nuestros esfuerzos, pero con cierta parsimonia y con el convencimiento de que son las personas las que deben cambiar su visión primero. La educación matemática es, por la propia naturaleza tan compleja de su estructura, un proceso dotado de una fuerte dosis de sana inercia. Esa inercia nos puede parecer, y es que a veces así es, una verdadera rémora que impide la transformación y el crecimiento adecuados. Pero la educación no puede tener la misma flexibilidad que es propia, o debería ser propia de las tareas de la investigación científica. La educación, por su propia naturaleza, involucra a la vez a varias generaciones distintas de personas, y por ello es natural que los cambios globales se realicen muy paulatinamente. No valen las sugerencias escritas, los cambios legales, los planes de estudio más o menos inteligentes. Lo que vale fundamentalmente es la disposición de las personas, profesores, que han de estar en contacto con los estudiantes que son los que han de aprender y aceptar a su modo lo que del profesor puedan aprovechar.Y tal proceso evolutivo es necesariamente lento.

-para tratar de evitar los peligros de las visiones unilaterales No fue hace mucho tiempo cuando un fuerte grupo de profesores de gran prestigio, en una buena parte pertenecientes al ámbito de la universidad, abogaron por cambios bastante drásticos sobre todo en lo que se refiere a los contenidos de la enseñanza primaria y secundaria. Hoy día , a distancia, nos parece como si una fuerza mágica hubiera arrastrado tras ellos a todo un ejército de maestros y profesores de diferentes niveles. En nuestro país, como en otros muchos, tales fuerzas lograron el apoyo de las autoridades educativas. Como por ensalmo surgieron fuerzas transformadoras que dinamizaron a cientos de miles de profesores en todo el mundo. Se llamó "matemática moderna". Muchos profesores, incluso muchísimos padres y madres de familia hicieron esfuerzos ingentes hacia la adaptación de lo que para ellos era tan arcano como para sus estudiantes y sus hijos... Y el paso del tiempo puso de manifiesto que una gran parte de todo el movimiento habría de conducir a resultados más bien indeseables.

Tal vez fueron muchas las circunstancias que hicieron posible en aquel tiempo no tan lejano que tuviera éxito un movimiento con tan graves consecuencias para la educación matemática de muchas personas, pero se puede pensar que no hubo un contraste previo, experimental, de los resultados a los que se encaminaba y que la atención al peso y al brillo de algunos de los matemáticos que abogaban por estos cambios fue capaz de deslumbrar a muchos.

La consecuencia de observaciones y experiencias como ésta no debe de ser el desaliento para los matemáticos que quieren intervenir en los problemas que la educación matemática tiene entre manos, que son muchos y bien serios, sino la conciencia de que es muy necesario para el matemático escuchar con sumo respeto las observaciones de quienes tienen que poner en práctica los programas y las ideas que a él se le puedan ocurrir como extraordinariamente convenientes.
 
 

ALGUNOS BUENOS EJEMPLOS
DIVERSIDAD DE FORMAS DE ACTUACIÓN

Por fortuna ha habido en la larga historia de nuestra ciencia muchas personas, matemáticos y matemáticas eminentes cuya actividad puede iluminar poderosamente nuestra forma de proceder. Y al observar sus modos de actuar podemos constatar la gran diversidad de maneras que puede darse, de acuerdo con las posibilidades del tiempo y según los gustos y la idiosincrasia de cada persona. Mencionaré, en una visión probablemente muy sesgada, tan sólo unas pocas de estas personas.

No sabemos casi nada que se pueda considerar cierto acerca de Pitágoras como persona, pero, a juzgar por la estela que dejó, es absolutamente patente que Pitágoras tuvo que tener una capacidad de entusiasmo, de persuasión y de comunicación de su visión acerca de la matemática como no se ha dado probablemente en toda la historia de la ciencia.

De Hypathia también conocemos poco. Vivió en Alejandría a principios del siglo V. Fue una de las primeras mujeres matemáticas famosas y, por lo que sabemos, debió de ser extraordinariamente buena comunicadora y de una gran influencia entre sus alumnos. Tal como pensaron los oponentes de sus concepciones filosóficas, ejercía un enorme influjo sobre muchas personas. Esto les impulsó nada menos que a acabar con su vida violentamente.

Descartes escribió una obra de juventud, las llamadas Reglas para la dirección del ingenio, unas notas fundamentalmente para su propio uso, que quedaron inacabadas, ni siquiera tituladas y no publicadas en vida de su autor. Las Reglas son como un preludio, un torso de El discurso del método. En el Discurso del Método se entreveran diversos hilos de interés. En las Reglas se manifiesta un interés más puro por el gran problema de cómo pensar mejor y en ellas Descartes se manifiesta como un excelente precursor de George Polya al escudriñar a fondo las cuestiones relativas al pensamiento eficaz, sobre todo en las indagaciones matemáticas. Descartes, como el mismo Polya, se asoma también a la posibilidad de transferir tales formas de pensamiento a otros muchos aspectos de la investigación de la mente humana, tanto en el terreno científico como en el filosófico. Las visiones de Descartes enriquecieron sin duda la matemática, pero no menos la filosofía y otros aspectos de la ciencia. Sin duda Descartes puede proponerse como un gran ejemplo por imitar para nosotros en su enorme apertura y en la visión global de la matemática como un elemento muy fundamental de la cultura humana y en su preocupación por guiar el talento del modo más correcto hacia la solución de los problemas, matemáticos o no.

Leed a Euler. El es el maestro de todos nosotros.
Euler es el gran maestro de todos los matemáticos posteriores a través de su obra. Y no solamente por el contenido, sino también por razón de la forma y modos de transmitir. La obra de Euler es en general, una muestra en ejemplos de lo que un buen enseñante de matemáticas debe hacer, tratando de colocarse inicialmente en la ignorancia del tema y de los métodos que va a emplear para comenzar en condiciones de igualdad con aquél a quien trata de conducir por el camino, haciéndole ver las dificultades con las que también él mismo se ha encontrado, llevándole a veces por senderos equivocados que él mismo ha recorrido antes, a fin de que aprenda también de las equivocaciones, extrayendo de las conclusiones a las que llega visiones muy generales que han de resultar válidas en otros muchos casos, etc.

Weierstrass es un gran ejemplo para los profesores de enseñanza secundaria. Por mucho tiempo fue Weierstrass profesor de Gymnasium y muy probablemente fue en él donde aprendió a transmitir eficazmente hasta el punto de crear una potentísima escuela matemática.

Felix Klein, uno de los gigantes matemáticos a caballo entre el siglo 19 y el 20, se interesó especialmente por la formación de profesores de enseñanza secundaria en su país y por la reforma de los estudios de matemática. Pero su influencia a través de la obra Matemática elemental desde un punto de vista superior se extendió rápidamente a muchos otros países. En España fue rápidamente traducida y publicada en la colección Biblioteca Matemática que promovió Julio Rey Pastor, uno de los matemáticos españoles que se han interesado por la educación matemática elemental. Yo mismo tuve la fortuna de estudiar los textos que él, en colaboración con Pedro Puig Adam, escribió para la enseñanza secundaria.

Henri Lebesgue es fundamentalmente conocido por su teoría de la medida, pero también se ocupó activamente de los problemas de la educación matemática, siendo él mismo un extraordinario didacta.

Hilbert, otra de las figuras más importantes entre los siglos 19 y 20, puso gran interés en escribir un libro muy interesante, donde expone una forma de hacer y contemplar la matemática que, desafortunadamente, fue hasta cierto punto barrida por el formalismo que sobrevino a los pocos años. En el prólogo de su Geometría intuitiva, obra que fue publicada en 1932, defiende a ultranza los orígenes intuitivos de la matemática, en particular de la geometría y la utilidad, no sólo para el investigador, sino también para quien desea percibir los resultados de la investigación en geometría. Y afirma explícitamente: Este libro ha sido escrito para proporcionar un mayor goce de las matemáticas haciendo más fácil al lector penetrar hasta la esencia misma de las matemáticas sin tener que soportar una carga excesiva de laboriosos estudios.

Poincaré es el gran ejemplo de matemático convencido de que las formas propias del pensamiento matemático presentan influencias profundas para el conjunto de la cultura humana. Poincaré no sólo enriqueció muchas ramas de la ciencia matemática, la mecánica, la astronomía, la física, ... sino que los mismos psicólogos en uno de los Congresos más importantes de principios de siglo, le pidieron que les iluminara sobre la naturaleza de la invención matemática.

El estudio de Poincaré fue la fuente de donde brotó toda una corriente de investigaciones sobre la forma de trabajo en matemáticas, sobre la naturaleza de la creatividad matemática, etc. Hadamard, otro gran matemático de la primera mitad de nuestro siglo, se ocupó de continuar y profundizar la labor de Poincaré con su magnífico trabajo Psicología de la invención en el campo matemático, que apareció en castellano apenas dos años después traducido por Luis Santaló. Hadamard, por otra parte, es autor de un magnífico texto de introducción a la geometría elemental, que demuestra su gran interés por la enseñanza de la matemática.

Otro de los grandes ejemplos de nuestros días es George Polya, cuya obra matemática en análisis matemático y en otras ramas es de gran profundidad. Su influencia sobre las corrientes actuales en educación matemática ha sido fundamental. Su pequeño libro How to solve it, en la vena de Descartes, Leibniz, Euler, Poincaré, Hadamard y de los grandes matemáticos que se han preocupado por escudriñar las formas misteriosas en que la mente humana actúa en el acto creativo, dio lugar a un torrente de publicaciones posteriores, entre otras la obra admirable de Polya mismo Descubrimiento matemático.

Sería interminable la lista de los buenos ejemplos de interés activo e influyente por los problemas de la educación matemática entre los matemáticos más eminentes. Pero quisiera citar uno que para todo el mundo de habla hispana es excepcionalmente importante. Luis Santaló ha sido y sigue siendo para nosotros el personaje que ha sabido aunar de una forma más influyente su altura matemática con el interés efectivo por la educación matemática. Todos los matemáticos conocen sus obras en torno a la geometría integral. Pero todo el mundo matemático de habla hispana conoce además a fondo sus muchas obras dedicadas a la enseñanza matemática. Y no sólo para discutir e iluminar sus problemas, sino incluso para aportar de forma muy directa textos elementales de nivel primario, secundario y terciario, en colaboración directa, por sí mismo o en colaboración con otros colegas cuyo quehacer directo se ubica en tales niveles.

Si en nuestro mundo iberoamericano pudiéramos contar con media docena de Santalós es absolutamente cierto que el panorama de nuestra educación matemática cambiaría de forma inmediata. Que él sea para nosotros un guía de dedicación, de apertura, de accesibilidad, de capacidad de comunicación y de entendimiento con todos.
 
 

POSIBLES TAREAS CONCRETAS AHORA

En la actualidad, en algunos países al menos, parecen respirarse aires de cambio en lo que se refiere a la implicación de los matemáticos en los problemas de la educación matemática. En Estados Unidos, por ejemplo, parece que se van oyendo voces cada vez más intensas pidiendo cambios en la cultura de la comunidad matemática. Varios organismos como el Conference Board of the Mathematical Sciences y potentes organizaciones como la American Mathematical Society y la Mathematical Association of America están coordinando sus esfuerzos, y junto con el foro MER (Mathematicians and Education Reform) han publicado ya en los últimos 5 años media docena de volúmenes impulsando una reforma con esta orientación. El título del volumen 5 de la colección es bien significativo, Changing the Culture: Mathematics Education in the Research Community.

Es claro que se está originando una corriente que estimulará con el tiempo a matemáticos de todo el mundo para contribuir en la misma dirección. Y son muchos los temas de urgente consideración en los que los matemáticos podrían, ya lo van haciendo algunos, colaborar muy eficazmente. A mí se me ocurre enumerar algunos de ellos:

-participar en la elaboración de nuevos diseños de aprendizaje matemático a nivel primario, secundario y terciario

Teniendo en cuenta la necesidad cada vez mayor del ciudadano de nuestros días de una adecuada formación matemática y de la extensión de esta educación a niveles cada vez más amplios y más altos, es necesario tratar seriamente de explorar y poner en práctica modos de aprendizaje más efectivos que aquellos con los que hasta ahora hemos contado, y esta labor no se refiere exclusivamente a los niveles primarios y secundarios, sino probablemente es tanto o más urgente que se realice a niveles universitarios, en los que la atención a los problemas educativos ha sido probablemente menos intensa.

-elaborar modelos efectivos de incorporación de las herramientas

actualmente a nuestra disposición
El fenómeno es interesante y evidente en muchas regiones. La inercia mayor a la utilización de las nuevas herramientas, el ordenador y otros instrumentos, en el aprendizaje matemático se presenta, no a nivel secundario, sino a nivel universitario. Sería muy importante explorar muy a fondo los beneficios y los inconvenientes que se pueden ocasionar con tales herramientas, los cambios en los contenidos aconsejables, los cambios en los énfasis, en las formas de aprendizaje de nuestros estudiantes a todos los niveles. Es claro que es muy necesario que los matemáticos intervengan muy activamente a fin de encaminar correctamente un movimiento que, si bien parece beneficioso en muchos aspectos, no está exento de peligros y de posibles exageraciones y dañosas desviaciones.

-colaborar activamente en la necesaria tarea de hacer la matemática más claramente visible en la sociedad actual

Como antes he dicho, esta es una obligación acuciante de la comunidad matemática entera, pero es claro que de donde pueden salir las personas capaces de realizar la tarea de hacer visible la matemática en nuestra cultura es especialmente del grupo de personas que trabajan en investigación matemática y de entre aquellos que más en contacto están con ellos.

Por otra parte, sería excelente para la comunidad matemática entera y para la sociedad misma en la que está inmersa, que hubiera alguien hoy día, en cada campo de la matemática capaz de realizar una labor como la de Felix Klein, pero a la inversa, explicándonos a todos lo que es LA MATEMÁTICA SUPERIOR DESDE UN PUNTO DE VISTA ELEMENTAL.

Afortunadamente se van produciendo obras que vienen a responder a esta idea que han llegado a convertirse en grandes éxitos de ventas a nivel mundial. Gracias a unos cuantos matemáticos creativos, buenos comunicadores, con grandes dotes expositivas, algunos temas profundos, intrincados, centrales a la matemática de hoy, como por ejemplo los sistemas dinámicos, parecen estar muy presentes en nuestro mundo actual, a veces, y así debe ser, gracias al atractivo y la potencia expresiva, el gancho, de nombres como el caos, que logran transmitir algo del misterio profundo que el pensamiento matemático implica.

Y para terminar, quisiera expresar el intenso deseo de todos los que nos ocupamos de los problemas de la educación matemática de que sean muchos más los matemáticos que se dedican a la investigación que quieran enriquecer con su experiencia y sus ideas esta tarea tan esencial para la sana evolución de la comunidad matemática entera.