The compulsory school has the task of providing pupils with the knowledge and skills in mathematics needed for them to be able to make well-founded decisions when making different choices in everyday life, to be able to interpret and make use of the increasing flow of information and to be able to follow and participate in decision making processes in society. Teaching in mathematics aims to give pupils confidence in their own ability to learn and use mathematics and understand the value of being able to master basic mathematics. In addition it should provide the basis for studying other subjects, further education and learning.

Teaching in mathematics should develop the ability of pupils to solve problems. Many problems can be solved in direct connection with concrete situations without using the language, symbols and expressions of mathematics. Other problems need to be isolated from their context, and be provided with a mathematical interpretation and solved with the help of mathematical concepts and methods. The results can thereafter be inter-preted and evaluated in relation to the original context. Mathematics may also be used to solve problems unconnected with concrete reality.

The majority of mathematical concepts and methods used in our everyday life have been used for hundreds of years. This is a contributory factor as to why many people incorrectly regard mathematics as a fully developed subject. It is thus important that teaching provide pupils with a basic understanding of the historical development of the subject as well as its nature, significance and role in society.

Information technology and the use of powerful pocket calculators and computers have created conditions where decisions can be made much faster. Using this technology means new demands on knowledge of mathematics. The school’s task is to lay the foundation for such knowledge.

Targets to aim for

The school should aim to ensure in its teaching of mathematics that pupils

• acquire confidence in their own thinking as well as their own ability to learn mathematics and use mathematics in different situations,

• are aware of the important role of mathematics in different cultures and activities, and learn about different historical contexts, where important ideas and methods within the area of mathematics were developed and implemented,

• understand and are able to use basic mathematical concepts and methods,

• realise the value of and are able to use the language of mathematics, its symbols and forms of expression,

• understand and make use of logical reasoning, draw conclusions and be able to generalise as well as verbally and in writing explain and put the reasons for their thinking,

• understand and be able to formulate and solve problems with the help of mathematics and interpret and evaluate solutions in relation to the original problem,

• set up and use simple mathematical models as well as on a critical basis examine preconditions, limitations and usage of such models,

• are familiar with and make appropriate use of pocket calculators and the computers and the opportunities these provide.

This presupposes that pupils acquire good knowledge and skills in arithmetic, geometry, statistics and algebra as well as develop fundamental understanding of concepts such as probability and function. The aim should be that pupils develop their number and spatial sense as well as understand and are able to use

• basic numerical concepts and calculations with real numbers, approximate values, proportionality and percentages,

• different methods, measuring systems and instruments to compare, estimate and determine the size of important quantities,

• basic geometrical concepts, properties, relations and propositions,

• basic statistical concepts and methods for collecting and handling data and for describing and comparing important properties of statistical information,

• basic algebraic concepts, expressions, formulae, transformations, equations, inequalities and systems of equations as tools for solving problems and describing different phenomena,

• basic properties of important functions and corresponding graphs,

• the concept of probability in concrete random situations.

Structure and nature of the subject

Mathematics, one of our oldest sciences, studies concepts with well-defined properties. It is based on the concept of number and space and has to a great extent been inspired by natural science. All mathematics contains some degree of abstraction. Similarities between different phenomena are observed and these are described in terms of mathematical objects. A natural number is such an abstraction. Mathematical applications in everyday life, social life and scientific activity provide formulations of problems in terms of mathematical models which are studied using mathematical methods. The value of the results achieved depends on how well the model describes the problem.

In recent years the development of powerful computers has made it possible to apply more accurate mathematical models and methods in activities where this was not feasible earlier. This has also led to the development of new research areas in mathematics which in their turn have led to new applications.

Mathematics is a living human construction and a creative and exploratory activity covering activities that are creative, and involve research and intuition. Teaching in mathematics should give pupils the opportunity to practise and communicate mathematically in meaningful and relevant situations through actively and openly searching for understanding, new insights and solutions to different problems.

Mathematics is closely connected to teaching in other subjects. Pupils obtain experiences from the surrounding world, which gives them a basis for expanding their mathematical skills. Concepts and methods derived from mathematics are used to attain goals in other subjects. Teaching in mathematics should promote the all-round development of pupils and particular attention should be given to pupils needing special support and a longer period to discover and learn important concepts, methods and relationships.
 
 
 
 
 
 
 
 

Targets that pupils should have attained by the end of the fifth year in school

Pupils should

• have acquired such basic knowledge and skills in mathematics needed to be able to handle situations and solve concrete problems in the pupil’s immediate environment,

• have a basic number sense, covering natural numbers and simple numbers in fractions and decimal form,

• be able to understand and use the concepts of addition, subtraction, multiplication and division as well as be able to discover numerical patterns and determine unknown numbers in simple formulae,

• have basic skills in computing natural numbers mentally, using written calculation methods and with pocket calculators,

• have a basic spatial understanding and be able to recognise and describe basic properties of geometrical figures and patterns,

• be able to compare, estimate and measure length, area, volume, angles and mass,

• be able to use scales to interpret drawings and maps,

• be able to state time and determine time differences,

• be able to read off data and interpret this in tables and diagrams as well as be able to use elementary co-ordinates.

Targets that pupils should have attained by the end of the ninth year in school

Pupils should

• have acquired the knowledge and skills in mathematics needed to be able to handle situations and solve problems that occur regularly in the home and society and which are needed as a foundation for further education,

• have deepened and extended their number sense to cover whole numbers and rational numbers in fraction and decimal form,

• be proficient at making rough estimates and calculations with natural numbers, numbers in decimal form, as well as percentages and proportions, mentally by using written calculation methods and pocket calculators,

• be able to use methods, measuring systems and measuring instruments to compare, estimate and determine length, area, volume, angles, mass, points in time and time differences,

• be able to recognise, reproduce and describe important properties of common geometrical objects as well as interpret and use drawings and maps,

• be able to interpret, compile, analyse, and value data in tables and diagrams,

• be able to use the concept of probability in simple random situations,

• be able to set up and use simple formulae and equations for problem solving,

• be able to interpret and use graphs for functions describing real relations and events.
 
 
 
 
 
 

Appendix 2

The syllabi of mathematics for the upper secondary school (in Swedish)

Syfte

Matematik är ett nödvändigt verktyg såväl för andra ämnen inom den gymnasiala utbildningen som för ett flertal ämnesområden inom eftergymnasiala studier.

Matematikundervisningen syftar till att ge eleverna tilltro till det egna tänkandet samt till den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer. Undervisningen skall utveckla elevernas nyfikenhet, öppenhet, analytiska förmåga, kreativitet och ihärdighet vid matematisk problemlösning samt förmåga att generalisera, abstrahera och estetiskt fullända lösningar och resultat.

Undervisningen skall sträva efter att eleverna skall få uppleva tillfredsställelsen i att behärska matematiska begrepp och metoder, i att upptäcka mönster och samband och i att lösa problem samt lära sig använda och inse värdet av matematikens symboler och uttryckssätt. Väsentligt är att eleverna lär sig förstå och föra matematiska resonemang, skapa och använda matematiska modeller och kritiskt granska deras

förutsättningar, möjligheter och begränsningar samt lär sig redovisa sina tankegångar muntligt och skriftligt.

Eleverna skall få förståelse för att matematiken har sitt historiska ursprung i många äldre kulturer och få inblickar i hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas samt lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknare och datorer som matematiska verktyg.
 
 

Karaktär och struktur

Matematik är ett sätt att undersöka och strukturera teoretiska och praktiska problem. Matematik är också ett sätt att tänka med inslag av både intuition och logik. Matematik handlar om att kunna formulera hypoteser, undersöka dem och dra slutsatser samt att kunna övertyga andra om giltigheten i et resonemang. I den matematiska bevisföringen preciseras några få egenskaper som är intuitivt naturliga och utifrån dessa härleds sedan andra egenskaper och samband.

Matematik är också ett språk som genom sina symboler gör det möjligt att kort och precist uttrycka och logiskt bearbeta komplicerade idéer och påståenden.

Tillgången till nya tekniska hjälpmedel förändrar delvis matematikens innehåll och metoder. Många rutinoperationer, främst av numerisk och grafisk karaktär, kan nu utföras av miniräknare och datorer. Inriktning mot förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser blir viktigare än isolerad färdighetsträning.

I en kreativ matematisk problemlösningsprocess berikar olika metoder varandra. Inom matematikämnet utnyttjas algebraiska, numeriska och grafiska metoder -de senare både utan och med hjälp av miniräknare och datorer.

Problemlösning, användning av matematiska modeller, kommunikation och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som skall belysas i undervisningen.

Ämnet matematik i gymnasial utbildning behandlar följande kunskapsområden: aritmetik, geometri, trigonometri, sannolikhetslära, statistik, algebra, funktionslära, differential- och integralkalkyl. Vissa delar ingår redan i matematikkurserna på grundskolenivå och fördjupas sedan i de gymnasiala kurserna. Andra delar kräver sådana förkunskaper att de kan behandlas först inom senare gymnasiala kurser.

Ämnet matematik är i den gymnasiala utbildningen uppdelat i påbyggbara kurser: A, B, C, D och E. Lokalt finns många olika möjligheter till kursuppläggning och disposition av tiden på de olika programmen.
 
 

Matematik A, 110 poäng

Mål

Målet för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv och samhälle. Dessutom skall kursen ge en grund som svarar mot de krav yrkesliv och fortsatta studier ställer.

Efter genomgången kurs skall eleven

i aritmetik

• ha fördjupat och vidgat sin taluppfattning till att omfatta reella tal skrivna på olika sätt

• ha ökat sin förmåga att räkna i huvudet, göra överslag och välja lämplig enhet vid problemlösning samt ha erfarenhet av användning av datorprogram vid beräkningar

•kunna välja beräkningsmetod och lämpligt hjälpmedel vid numerisk räkning, vara van vid att kontrollera resultatets rimlighet och inse att räkning med mätetal ger resultat med begränsad noggrannhet

• förstå innebörden av och kunna använda begreppen ändringsfaktor, promille, ppm, index, prefix och potenser med heltalsexponenter.

i geometri och trigonometri

• kunna tillämpa grundläggande geometriska satser samt förklara de formler och förstå de resonemang som används vid problemlösning

• kunna beräkna omkrets och area för plana figurer och begränsningsarea och volym för några enkla kroppar samt kunna rita tillhörande figurer

• kunna utnyttja skala för beräkningar och för att tolka och konstruera ritningar och kartor

• kunna använda begreppen sinus och cosinus för att lösa enklare problem.

i statistik

• kunna tolka och kritiskt granska data från olika källor, beräkna enkla lägesmått samt själv presentera data i tabell- och diagramform för hand och med tekniska hjälpmedel

• kunna kritiskt granska vanligt förekommande typ av statistik i samhället.

i algebra

• kunna teckna, tolka och använda enkla algebraiska uttryck och formler samt kunna tillämpa detta vid praktisk problemlösning

• kunna lösa linjära ekvationer och enkla potensekvationer med för problemsituationen lämplig metod -numerisk, grafisk eller algebraisk.

i funktionslära

• kunna rita och tolka enkla grafer som beskriver vardagliga förlopp

• kunna ställa upp, använda och grafiskt åskådliggöra linjära funktioner och enkla exponentialfunktioner som modeller för verkliga förlopp inom t.ex. privatekonomi, samhällsförhållanden och naturvetenskap

• kunna utnyttja grafritande hjälpmedel.
 
 

Matematik B, 40 poäng

Förkunskapskrav: Matematik A

Mål

Målet för kursen är att ge ökade insikter i matematiska begrepp och metoder för att med matematiska modeller kunna lösa problem inom olika områden.

Efter genomgången kurs skall eleven

i geometri

• kunna förklara och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri.

i sannolikhetslära och statistik

• kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök i flera steg samt kunna uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser

• förstå skillnaden mellan olika lägesmått för statistiska material samt känna till och tolka några spridningsmått

• känna till egenskaper hos normalfördelade material och i samband därmed beräkna enkla sannolikheter

• kunna utifrån graf eller tabell diskutera sambandet mellan två variabler samt inse skillnaden mellan korrelation och orsakssamband.

i algebra

• kunna lösa andragradsekvationer samt linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder.

i funktionslära

• inse vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda elementära funktioner och härvid utnyttja såväl numeriska som algebraiska och grafiska metoder.
 
 

Matematik C, 50 poäng

Förkunskapskrav: Matematik B

Mål

Målet för kursen är att ge eleven breddade och fördjupade kunskaper för att kunna lösa problem som gäller förändring och extremvärden samt att ge eleven insikter i hur en statistisk undersökning görs och värderas.

Efter genomgången kurs skall eleven

i aritmetik

• kunna tolka och använda logaritmer och potenser med reella exponenter samt kunna tillämpa detta vid problemlösning

• kunna använda matematiska modeller som bygger på summan av geometriska talföljder.

i statistik

• kunna planera, genomföra, analysera och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna värdera stickprovsmetoder och diskutera olika typer av fel

• förstå konstruktion av indexserier samt kunna använda index såsom jämförelsetal.

i algebra och funktionslära

• känna till hur dataprogram kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang.

i differentialkalkyl

• kunna förklara och åskådliggöra begreppen ändringskvot och derivata

• kunna uppskatta derivatans värde numeriskt då funktionen är given genom graf, tabeller eller formel

• inse sambandet mellan en funktions graf och dess derivator av första och andra ordningen samt kunna använda detta i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel

• förstå varför talet e införs samt kunna härleda eller numeriskt/grafiskt motivera deriveringsregler för några elementära funktioner.
 
 

Matematik D, 40 poäng

Förkunskapskrav: Matematik C

Mål

Målet för kursen är att ge eleven de matematiska kunskaper som krävs för högre studier inom bl.a. beteendevetenskap, ekonomi och samhällsvetenskap liksom inom de naturvetenskapliga utbildningar som är mindre matematikintensiva.

Efter genomgången kurs skall eleven

i trigonometri

• förstå hur enhetscirkeln används för att visa trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer

• kunna rita grafer till trigonometriska funktioner av typen y = a sin (bx + v) + c samt använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp

• kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer

• kunna beräkna sidor och vinklar i godtyckliga trianglar.

i differential- och integralkalkyl

• kunna härleda eller numeriskt/grafiskt motivera deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner samt för sammansatta funktioner

• kunna härleda och tillämpa formlerna för derivatan av produkt och kvot

• förstå tankegången bakom några numeriska metoder för ekvationslösning och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara

• känna till begreppet differentialekvation och kunna avgöra om en föreslagen funktion är lösning till en given ekvation

• kunna bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning

• förstå innebörden av begreppet integral och inse sambandet mellan integral och derivata

• kunna ställa upp, tolka och använda integraler vid area- och volymberäkningar och vid andra

tillämpningar

• förstå tankegången bakom några metoder för numerisk integration och vid problemlösning • kunna använda grafisk/numerisk programvara för att beräkna integraler.
 
 

Matematik E, 60 poäng

Förkunskapskrav: Matematik D

Mål

Målet för kursen är att ge eleven de fördjupade kunskaper som krävs för högre studier på

matematikintensiva utbildningar. Eleven skall i ett mindre projektarbete utveckla sin förmåga att under eget ansvar arbeta med en problemställning.

Efter genomgången kurs skall eleven

i algebra

• ha kännedom om hur talområdet utvidgats till komplexa tal

• kunna räkna med komplexa tal skrivna i olika former samt kunna lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter.

i differential- och integralkalkyl

• kunna analysera, formulera och lösa problem som kräver bestämning av derivator och integraler

• kunna ställa upp differentialekvationer som modeller för verkliga situationer

• kunna ange exakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förstå tankegången bakom någon metod för numerisk lösning

Dessutom skall eleven kunna ge prov på förmåga att på egen hand analysera, genomföra och redovisa en något mer omfattande uppgift.
 
 

Appendix 3

Why a new program for teacher education in mathematics in Sweden?

•Changes in society and the world around us

•Expansion of pre-school and upper secondary education

•New system for regulation of Swedish schools including new syllabi for mathematics

•Problems with recruitment of teachers of mathematics

•Improve the teaching of mathematics at all levels!

•Lack of equivalence between universities

•Problems with content of and balance between subject knowledge and pedagogy/ didactics

Mathematics as a subject for study in teacher education – widen the meaning!

Mathematics

• as the discipline

• as used in other disciplines and scientific /research fields

•as used in everyday life, in society and in different occupations

•as a school subject

•as used in other school subjects and in themes

•as it is understood by the students

Reference

Dahland, G. & Emanuelsson, G. (1998) (Red.). LUMA 98. Dokumentation från konferens för lärarutbildare i matematik 23-25 september 1998. (s 50-60). Rapport 1998:03, Avdelningen för matematik, inst f ämnesdidaktik, Göteborgs universitet. [Proceedings from the 1998 Swedish national conference on teacher education in mathematics].