La más reciente de las tres grandes ramas clásicas, el análisis, es hija directa del cálculo, la gran invención que encontró una forma manejable en el siglo XVII, gracias sobre todo a los esfuerzos de Newton y Leibniz, y que constituyó la herramienta indispensable para la física moderna.
La filosofía subyacente en el cálculo se puede entender del modo que sigue. Deseamos estudiar cómo se desarrolla un proceso complicado que aparece en la naturaleza, en una máquina, en la sociedad o tal vez en un mundo matemático ideal. Analizamos primero lo que ocurre «localmente», es decir, en una porción pequeña, para un cambio pequeño de tal o cual variable del fenómeno. Al proceder así tal vez podamos aplicar algún principio característico del proceso que nos permita una formulación matemática del modo como se relacionan las diferentes variables del proceso. Tal formulación aparece a menudo en forma de ecuaciones diferenciales, es decir, ecuaciones en las que figura una función y sus derivadas y se desea saber cómo o cuál es la función o funciones que la satisfacen. Al hacerlo sabremos cómo se comporta el fenómeno, no ya "localmente", sino "globalmente".
Por ejemplo, tenemos un cultivo de bacterias y deseamos saber cómo evoluciona la cantidad B de bacterias al transcurrir el tiempo t, o sea, cuál es la función B(t) que indica la cantidad de bacterias en cada instante t. ¿Qué sabemos o qué podemos suponer sobre la evolución del proceso? En circunstancias razonables podemos suponer que la cantidad de bacterias que se producen en un intervalo de tiempo, desde el instante t al instante t+h, es proporcional a la duración h del intervalo y a la cantidad de bacterias que hay en el cultivo en un instante de ese intervalo. El problema consiste en que, a menos que h sea pequeño, esta cantidad puede variar mucho de instante t instante dentro del intervalo. Sin embargo, si h es pequeño podemos decir que B(t+h) es aproximadamente B(t) +khB(t), siendo k una constante de proporcionalidad del crecimiento, un número característico del tipo de bacteria. Así podemos decir que (B(t + h) - B(t))/h es aproximadamente kB(t), y cuando se hace decrecer h, resulta, B’(t) = kB(t), que es la ecuación diferencial que formula matemáticamente el desarrollo local del proceso. Es fácil ver que todas las soluciones de esta ecuación diferencial son de la forma B(t)=Ce^(kt) siendo C una constante arbitraria. Si en nuestro problema sabemos cuál es la cantidad B(0) de bacterias en el instante en que comenzamos a contar el tiempo, entonces B(0)=C, y así B(t) = B(0)e^(kt) nos da la expresión matemática global del fenómeno.
Los casos en los que de la ecuación diferencial, que expresa el desarrollo local del fenómeno, se pueda pasar a escribir una fórmula, como acabamos de hacer, que exprese el desarrollo global son escasos. En la mayor parte de los casos esto no es posible y hay que contentarse con tratar de demostrar que existe solución y de dar, mediante el estudio de la ecuación diferencial misma, un procedimiento de cálculo que permita al computador en tiempo razonable proporcionarnos una solución numérica del problema. Para efectos prácticos, esto es suficiente. Así, por ejemplo, es posible escribir el conjunto de ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de los astros del sistema solar y calcular y predecir los eclipses y demás fenómenos que tendrán lugar.
Sin embargo, hay cuestiones que necesitan otros métodos matemáticos. Por ejemplo, ¿conservará el sistema solar su estructura general indefinidamente, es decir, es un sistema estable, o bien puede ocurrir que, por ejemplo, por un estallido de alguno de sus planetas, se provoque una aglutinación de todo el sistema con el Sol? Este es un nuevo tipo de cuestiones para el que se han ideado en el siglo xx nuevos métodos matemáticos que han encontrado un sinfín de aplicaciones en diversos campos de la tecnología, tales como el estudio de servomecanismos, control de sistemas mecánicos, económicos, biológicos...
El campo de las ecuaciones diferenciales es amplísimo. Las ecuaciones diferenciales en las que se busca una o varias funciones de una sola variable se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias. Aquellas en las que se busca una o varias funciones de varias variables, apareciendo las derivadas parciales de ellas con respecto a sus diversas variables, son ecuaciones en derivadas parciales. En ambos casos pueden ser ecuaciones lineales, que corresponden a situaciones en las que la respuesta del sistema bajo estudio es proporcional al estímulo introducido en él, o bien ecuaciones no lineales, en las que no existe tal proporcionalidad. Con frecuencia las ecuaciones lineales constituyen una aproximación suficiente a la realidad, pero en determinadas ocasiones la naturaleza se comporta de modo decisivamente no lineal. El flujo de fluidos compresibles, el flujo viscoso, la magnetohidrodinámica y la física del plasma son ejemplos de no linealidad. La teoría de ecuaciones no lineales constituye uno de los campos más atractivos hoy día dentro del análisis.
Como casi todos los campos de la matemática actual, el de las ecuaciones diferenciales se enriquece y fertiliza con elementos que provienen de multitud de áreas diferentes, como la geometría, la topología y el álgebra.
La teoría de las funciones de variable compleja constituye otro de los campos importantes del análisis actual. El número complejo se introdujo para unificar y armonizar diversos resultados del álgebra y del cálculo. Así, por ejemplo, las funciones trigonométricas y la función exponencial se unifican cuando se introducen como funciones de variable compleja. La teoría de funciones de variable compleja se centra en el estudio de las funciones analíticas, es decir, de las funciones que son representables mediante una serie de potencias. Constituyen así la generalización más cercana de un polinomio y por ello su estructura es particularmente rica en propiedades y armoniosa en su conjunto. La aplicabilidad de esta rama en campos tan diversos como la teoría de números, dinámica de fluidos, ingeniería eléctrica y física de alta energía constituye una incesante fuente de asombro. La teoría de funciones de varias variables complejas es probablemente uno de los campos de desarrollo más prometedores en la actualidad.
El análisis armónico comenzó con el estudio matemático de la cuerda vibrante. D. Bernoulli, en el siglo XVIII, lo abordó tratando de representar su movimiento como superposición de movimientos armónicos fundamentales, es decir, de movimientos representables por funciones trigonométricas. Más adelante Fourier, en el siglo XIX, estudió la ecuación diferencial que rige la conducción del calor mediante el mismo método y así el análisis fundado en este principio vino a llamarse también análisis de Fourier. Este modo de representación de funciones, así como los métodos que su desarrollo ha motivado constituyen una de las herramientas más poderosas, en la práctica y en la teoría, para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Por otra parte, las dificultades que, desde el punto de vista conceptual, han señalado particularmente la teoría y sus refinamientos posteriores han conducido a la clarificación y desarrollo de una gran porción del análisis moderno. El concepto de función, el de integral de Riemann, el de integral de Lebesgue, la teoría de conjuntos de Cantor y más modernamente la teoría actual de distribuciones o funciones generalizadas, han sido motivadas en buena parte por el desarrollo natural del análisis armónico.
El análisis funcional es una de las áreas más recientes del análisis matemático. Su desarrollo corresponde al siglo actual, especialmente a partir de los años treinta. El problema inicial, propuesto por Fredholm en 1903, consistió en tratar de hallar una función u(t) definida en el intervalo [a, b] y con valores reales tal que para todo valor de x se tenga
f(x)=integral(k(x,t)u(t),t,a,b)
donde f es una función dada y k otra función conocida de dos variables. Fredholm redujo el problema a la resolución de un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Así como el espacio vectorial de dimensión finita es el entorno adecuado para dar una visión geométrico del significado de un sistema de un número finito de ecuaciones lineales, el espacio vectorial de dimensión infinita es el ámbito adecuado para este otro problema. Las funciones son ahora los puntos de este espacio (obsérvese que los puntos (asub1, asub2, asub3) del espacio tridimensional son en realidad funciones reales definidas en el conjunto que tiene por elementos 1, 2, 3). Se puede introducir una distancia y se puede hablar de ángulos, obteniéndose así una réplica muy ajustada del espacio de nuestra intuición geométrica. Tal es el espacio de Hilbert en el que el análisis funcional se mueve. Los principales objetos de estudio son los operadores, que constituyen la contrapartida de las matrices cuadradas, o rectangulares, correspondientes al espacio de dimensión finita como representación de un sistema de ecuaciones lineales. Los problemas para los que el análisis funcional fue creado provienen de ecuaciones tales como la de Fredholm, mencionada arriba, denominada ecuación integral, ya que la incógnita figura bajo el signo integral, ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, etc… Muy poco después de la creación del espacio de Hilbert se observó que éste constituía el marco apropiado de la llamada mecánica cuántica. Schrödinger y Heisenberg propusieron dos descripciones al parecer matemáticamente distintas de ciertos hechos observados experimentalmente. Poco después se observó que, interpretadas a la luz del espacio de Hilbert, las dos teorías no eran sino representaciones equivalentes de un mismo operador.
La teoría de la probabilidad debe concebirse actualmente como una rama de la matemática clásica emparentado con el análisis más que con ninguna otra. Nacida en el siglo XVII como una colección de frívolas consideraciones sobre los juegos de azar, y durante mucho tiempo considerada como una disciplina carente de rigor, se ha desarrollado un poco al margen de las otras disciplinas matemáticas. Hoy día, sin embargo, la interacción de la teoría de la probabilidad con los campos aparentemente más distantes, incluída la geometría y la teoría de números, es sorprendente. Uno de los lazos de conexión más importantes es la teoría de procesos estocásticos, de los que el ejemplo más importante es el movimiento browniano. Éste es la réplica matemática del movimiento de una partícula de un líquido en suspensión que choca aleatoriamente con las otras partículas. Los métodos probabilísticos parecen invadir actualmente casi todos los campos matemáticos, e incluso han sido utilizados como método de demostración en lógica.
Las aplicaciones directas de la teoría de la probabilidad son innumerables. Multitud de problemas tecnológicos han estimulado desarrollos basados en ella, tales como la teoría de la información, de la decisión, teoría de caminos aleatorios, ecuaciones diferenciales estocásticas, etc. Con el dominio de la incertidumbre que la teoría de la probabilidad nos proporciona, es ventajoso en ocasiones, cuando un problema determinístico es demasiado complicado, prescindir de ciertas piezas de información, tratarlo como si fuese un problema estocástico, aleatorio, y utilizar la solución así obtenida a través de métodos probabilísticos. Todas las ciencias naturales y sociales, por otra parte, hacen uso cada vez mayor de la estadística, hija de la teoría matemática de la probabilidad.
La geometría ha sido a lo largo de la historia de la matemática la matriz en la que se han gestado los más profundos desarrollos de esta ciencia. La idea de sistema matemático aparece bien perfilada en la fundamentación geométrico de los Elementos de Euclides. La idea profunda de Descartes de enlazar los desarrollos algebraicos y geométricos posibilitó el desenvolvimiento del cálculo infinitesimal. Las geometrías no euclídeas del siglo XIX condujeron a una verdadera revolución en la fundamentación de las matemáticas. Se puede afirmar que casi el total de las matemáticas de ayer y de hoy se encuentran invadidas por el sentido geométrico. Así la topología, las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la teoría de variable compleja... Y no podía ser de otro modo, dado el carácter, eminentemente visual y espacial de una gran porción de nuestra intelección matemática y dada nuestra tendencia manifiesta a aclarar nuestras ideas más abstractas de forma intuitiva y gráfica. Este sentido geométrico se encuentra cultivado hoy día de modos concretos muy diferentes. Describimos a continuación algunas de las ramas específicas de la geometría actual.
La geometría algebraica se preocupa de la interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones algebraicas. Una ecuación algebraica x^2/9+y^2/4=1 se puede considerar como representación de una elipse. Cuando se tiene un sistema de ecuaciones algebraicas con varias variables, el estudio de todas sus soluciones se complica extraordinariamente y es preciso ampliar el campo del álgebra clásica y de la geometría analítica clásica, acudiendo a ecuaciones en las que los coeficientes son elementos de cuerpos o anillos más generales y a representaciones en espacios de mayor dimensión. La geometría algebraica es uno de esos campos de la matemática donde se manifiesta claramente la unidad profunda de esta ciencia. Muchos de los problemas en teoría de números, por ejemplo el llamado ultimo teorema de Fermat, se puede expresar y tratar de dilucidar como un problema en geometría algebraica: sea n entero mayor que 2; se considera la superficie algebraica x^n+y^n=z^n del espacio tridimensional. ¿Existen sobre ésta superficie puntos (a, b, c) con coordenadas enteras distintos de los puntos (0, 0, 0), (0, 1, l), (1, 0, 1)?
La geoitietría diferencial representa el maridaje del cálculo y la geometría, así como la geometría algebraica constituía el de la geometría con el álgebra. Cuando en el siglo XIX se percibió la utilidad de introducir espacios de dimensión superior a 3, el sentido intuitivo se perdió y, sin embargo, era clara la necesidad de manejar conceptos análogos a los de área, volumen... Esto originó la urgencia de despojar tales nociones de su contenido intuitivo y de abstraer de ellas el significado abstracto que permitiese trasladarlas a otros espacios. La liberación así obtenida dio lugar a instrumentos poderosos, como el cálculo tensorial, que en un principio se consideraron superfluos y estériles. Pero cuando Einstein necesitó expresar sus ideas sobre la relatividad generalizada, en el cálculo tensorial de Ricci encontró preparada la herramienta adecuada a sus necesidades.
El sabor geométrico es evidente en el estudio de la topología conjuntista, originada en gran parte por la necesidad de sistematizar la aparición de conjuntos extraños a fines del siglo XIX y comienzos del XX en ciertas zonas fronterizas del análisis, geometría analítica y teoría de conjuntos. El fenómeno es recurrente en la historia de la matemática. Los «monstruos» de un día resultan ser los pobladores naturales de unos cuantos años después. La curvas carentes de tangente en todo punto, la curva de Peano cuya gráfica pasa por todos los puntos de un cuadrado, y otros entes semejantes fueron para Poincaré engendros antinaturales de los que habría que apartarse con horror. Una vez sometidos a una ordenación racional, lo que antes fue caos se convirtió en cosmos lleno de esplendente belleza y de gran utilidad. La topología conjuntista lo logró gracias a una nueva liberación realizada en nuestra intuición espacial, despojándola esta vez de toda consideración cuantitativa, tratando de dominar racionalmente de modo intrínseco la noción de cercanía y estableciendo para ello unos axiomas propios que lo posibilitaran.
La topología algebraica actual es el descendiente directo de lo que se llamó en principio analysis situs y más tarde topología combinatoria. Trata de estudiar propiedades de figuras geométricas que no varían por deformaciones continuas. El sabor de los problemas de los que se ocupa puede apreciarse con claridad en el problema de los puentes de Königsberg que ocasionó el nacimiento de la disciplina con un famoso artículo de Euler, y en el antiguo problema de las tres granjas y los tres pozos. Uno de los resultados más profundos de la teoría y con más aplicaciones en el análisis es el teorema del punto fijo de Brouwer, que afirma que cada transformación continua de una esfera sólida en sí misma deja invariante al menos un punto. La topología algebraica trata de describir las características y propiedades de las figuras mediante la distinción de las diferentes combinaciones en que se pueden presentar los elementos fundamentales (símplices) a que tales figuras se reducen. Los símplices son los triángulos para figuras de dimensión 2, tetraedros para figuras de dimensión 3... Los problemas del antiguo analysis situs han sido hoy día reducidos en gran parte a problemas algebraicos y por ello el nombre de este campo ha pasado a ser topología algebraica.
La topología diferencial estudia las figuras geométricas describiéndolas al modo como un atlas describe la superficie terrestre mediante la colección de todos los mapas que aparecen en cada una de sus páginas. Cada mapa es, en la topología diferencial, una representación local diferenciable, al modo de la geometría analítica de una parte de la superficie. Los mapas correspondientes a regiones continuas deben solaparse, y en el solapamiento deben coincidir o darse una regla para saber cómo se pasa de la representación de un mapa a la del otro. Recientemente se ha demostrado (Milnor, 1952) que existen figuras relativamente sencillas (por ejemplo, la esfera de dimensión 7), cuya descripción por los métodos de la topología algebraica es única, que admiten, sin embargo, varias representaciones esencialmente diferentes desde el punto de vista de la topología diferencial. Esto señala claramente la autonomía e independencia de la topología diferencial con respecto a la algebraica. En la topología diferencial se manifiesta de nuevo patentemente la unidad de la matemática, pues a ella aportan elementos importantes la geometría diferencial, la teoría de ecuaciones diferenciales y la geometría algebraica.
Existen otras formas de geometría, tales como la geometría de cuerpos convexos, la teoría de grafos, etcétera, que han recibido en los últimos tiempos un impulso especial debido al gran número de aplicaciones que de ellas se derivan.