LA MATEMÁTICA DE LAS APLICACIONES

En el fondo de la actividad matemática subyacen motivaciones muy variadas que, lejos de ser antagónicas, se complementan profundamente. La matemática nació con el intento de explorar las armonías y recurrencias del universo físico en las culturas mesopotámicas y se hizo adulta en el mundo griego constituyéndose en ciencia, en enseñanza (mazesis) por antonomasia, en método de pensamiento. Ha sido cultivada como disciplina formativa del pensamiento, como matriz de estructuras mentales bellas y armoniosas, como modelo y dechado de conocimiento... Pero, especialmente desde los tiempos de Galileo, su desarrollo ha estado íntimamente ligado con aquellos fenómenos del mundo físico en los que el hombre ha estado interesado, guiando al mismo tiempo este interés al proporcionarle herramientas que de algún modo posibilitan el acceso del conocimiento humano a tales fenómenos. El progreso del pensamiento colectivo del hombre manifiesta así una profunda unidad. La que hemos llamado matemática fundamental está fuertemente condicionada en su desarrollo, lo hemos podido observar, por los problemas internos propios de cada campo, pero no deja de experimentar en los puntos de cambio de rumbo de su trayectoria la robusta influencia que ha ejercido sobre ella la posibilidad, siempre presente, de su utilización para la exploración de nuevos fenómenos. ¿Dónde se detecta especialmente en la matemática contemporánea esta interacción profunda con la intención exploratoria del entorno del hombre? No se puede pretender aquí realizar una enumeración exhaustiva de los numerosísimos puntos de todas las ciencias actuales en que se proponen a la matemática problemas propios y muy profundos que están estimulando la elaboración de herramientas matemáticas originales para su tratamiento. Citaré, a modo de ejemplo, tan sólo algunos campos en que esta interacción es más fuerte y patente y en los que probablemente quedará determinado un nuevo rumbo para la matemática del futuro.

La física matemática ha sido y sigue siendo el campo de las aplicaciones en que esta interacción alcanza su mayor amplitud y profundidad. Tanto es así, que durante mucho tiempo matemática aplicada ha sido sinónimo de física matemática. Tal vez una de las características más importantes de nuestros días en este terreno consista en que los avances del análisis matemático actual han comenzado a hacer posible una aproximación no lineal a fenómenos que no son lineales y que en tiempos pasados, o no pudieron ser tratados en absoluto, o fueron tratados en una primera aproximación burda como si fuesen lineales, por carecerse de herramientas suficientemente poderosas para enfrentarse con el fenómeno en toda su complejidad.

Uno de los impactos más llamativos, en las ciencias contemporáneas y en nuestra cultura en general, de los desarrollos matemáticos de nuestros días ha corrido a cargo de la estadística. El desarrollo de la teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios han conseguido crear una matemática que en cierto modo logra dominar y manejar con acierto la incertidumbre misma. Lo que originariamente aparece como caos regido por el azar y opaco a la intelección, la estadística lo ordena y lo somete finalmente a leyes aleatorias que arrojan sobre los fenómenos una luz tan intensa como la que las leyes determinísticas de la física matemática irradian sobre los objetos a los que se aplican. Un enorme número de ciencias y técnicas se han beneficiado de esta iluminación y dominio de la incertidumbre que la estadística proporciona. Entre ellas la biología, la medicina, las técnicas y ciencias económicas, la investigación sobre la producción industrial y sobre mercados, la psicología, la sociología, la antropología, la lingüística...

En las complejas realidades que muchas de las ciencias y técnicas modernas pretenden considerar desde el punto de vista matemático existen unos cuantos elementos comunes que van agrupándose de modo natural para formar un todo coherente que aún no ha encontrado una plena sistematización. Se suele conocer con el nombre genérico de optmización, y engloba un conjunto abigarrado de técnicas y problemas modernos, tales como la teoría de sistemas, programación lineal, teoría de grafos, problemas de distribución, programación dinámica, control óptimo... El desarrollo de todos estos temas, como veremos, ha sido profundamente influenciado por el advenimiento del computador y el desarrollo de las ciencias de la computación, como se comprende fácilmente por la descripción que sigue.

Lo que los diferentes científicos entienden por teoría de sistemas suele ser muy diverso. Una estructura complicada con múltiples elementos cuyo papel y dinamismo dentro de ella ha sido bien definido y, si es posible, cuantificado, constituye un sistema. Los problemas del sistema pueden ser, naturalmente, enormemente variados, desde el conocimiento ulterior de su estructura a partir de una tosca aproximación cuantitativa inicial que permita analizar más a fondo su funcionamiento, como puede suceder con un sistema lingüístico, hasta la determinación exacta del mejor funcionamiento posible del sistema, como puede apetecer el científico que estudia un sistema biológico, económico o mecánico. Existen algunas teorías matemáticas parciales bien elaboradas que han tenido profunda influencia sobre el desarrollo de diversas ciencias modernas, como la economía, ingeniería, etc. Una de ellas es la teoría de juegos de von Neumann y Morgenstern (1944), que ellos aplicaron con cierto éxito a la conducta económica. En ella se comienza por analizar matemáticamente juegos de estrategia, es decir, juegos en los que no sólo interviene el azar, sino también decisiones controladas por los participantes. No se trata, pues, del clásico análisis de un juego casi de mera suerte, como la ruleta o los dados, sino de juegos semejantes en su estructura al mus o al poker, en los que intervienen además decisiones mucho más personales basadas en ciertas informaciones como la historia y psicología de los demás contrincantes, etc. Fácilmente se comprende que tales juegos constituyen una simplificación de situaciones reales de tipo económico, social, político, estratégico, y de ahí el interés que este análisis puede tener.

Con la programación lineal se estudia el problema consistente en encontrar el máximo de una función lineal de muchas variables sujetas a ciertas restricciones especificadas mediante desigualdades asimismo lineales. En 1947 Dantzig obtuvo un método mediante el cual problemas bien complejos de este tipo se pueden programar y resolver con el computador moderno. Una gran cantidad de aplicaciones industriales y comerciales pusieron de manifiesto bien pronto el interés de la teoría y enseguida fue generalizada con la elaboración de herramientas adecuadas para tratar también problemas no lineales.

La teoría de grafos es otra herramienta de valor universal en muchas de las ciencias y técnicas actuales. Un grafo es sencillamente un conjunto de puntos y unos cuantos arcos que los unen. Los problemas abstractos que la teoría considera nacieron como juegos de niños. ¿Se puede trazar el grafo recorriendo todos sus vértices una sola vez? ¿Se puede trazar el grafo sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer un mismo arco dos veces? ¿Cuál es el camino más corto de un punto a otro a través de los arcos del grafo? Suenan fáciles estas cuestiones, pero hay en ellas una simplicidad engañosa, pues muchas de ellas están aún sin resolver. Por ejemplo, el «problema del viajante» consiste en lo siguiente: un viajante de comercio de una firma de Barcelona tiene por tarea ofrecer sus productos en 25 ciudades distintas de España. Los desplazamientos de una ciudad a cada una de las otras le ocasionan ciertos gastos que le son bien conocidos. Se trata de obtener el itinerario adecuado que haga mínimo su gasto total en desplazamientos, saliendo de Barcelona y volviendo allí mismo. Cuando las ciudades son pocas, se puede pensar en un cómputo exhaustivo de todos los posibles itinerarios, y, aprovechando la potencia actual de las calculadoras, se puede pensar en hacerlo para un número respetable de ciudades. Pero cuando este número se eleva, por ejemplo a 50, aun los ordenadores actuales más potentes son insuficientes. Hasta ahora no se conoce ningún algoritmo para el cálculo efectivo del itinerario óptimo del viajante que haga posible la resolución del problema con las calculadoras actuales en tiempo razonable cuando el número de ciudades es grande.

La programación dinámica se propone encontrar la mejor manera de realizar una tarea compleja que depende de una sucesión temporal de decisiones. El principio de optimalidad sobre el que se basan algunas de sus consideraciones consiste en la sencilla observación de que un camino que ha de llevarnos de A a D y del que sabemos que ha de pasar por B y C sucesivamente será óptimo cuando lo sean, desde el mismo punto de vista, el camino de A a B, el de B a C y el de C a D. Es decir, el camino óptimo lo ha de ser también localmente. Esta sencilla observación proporciona ya criterios cuantitativos extremadamente útiles. La elaboración y adecuada cuantificación del calendario de la producción, renovación de equipo, almacenamiento, etc., de una fábrica es uno de esos ejemplos prácticos que pueden tratarse mediante la programación dinámica.

La teoría de control óptimo tiene objetivos paralelos a los de la programación dinámica, pero se encuentra en un estadio más evolucionado de cuantificación. Un sistema físico, biológico, económico, suele presentar a menudo una evolución regida por un conjunto de ecuaciones diferenciales en las que intervienen ciertos parámetros que, hasta cierto punto, están a nuestra disposición, los controles del proceso. Se desea llevar el sistema desde una situación inicial a una situación terminal. Lo podemos hacer en general de muchas formas diferentes manejando de modo diverso nuestros controles. Unas de entre estas formas de funcionamiento nos ocasionan un «gasto» mayor que otras. Se trata de averiguar cómo se deben manipular los controles para que el «gasto» producido sea mínimo. La teoría de control constituye en cierto modo el descendiente directo del cálculo de variaciones que ideó (a propósito de la curva de descenso más rápido, la braquistócrona) en el siglo XVIII Jakob Bernoulli y que tuvo cierto auge a principios de este siglo. Los métodos han sido enormemente enriquecidos gracias al gran desarrollo actual de disciplinas tales como las ecuaciones diferenciales y el análisis funcional.

Por la naturaleza misma de muchos de los problemas que hemos descrito, de gran interés para la matemática actual, es obvio que el impacto del desarrollo del computador y de la moderna ciencia de la computación sobre la matemática fundamental y sus aplicaciones tiene que ser muy profundo. Desde que en 1950 comenzaron a comercializarse los primeros computadores de gran velocidad los progresos han sido continuos en todos los aspectos deseables, velocidad, memoria, versatilidad, manejabilidad, miniaturización... La revolución que se está originando en nuestra forma de vida por el desarrollo de los computadores apenas ha comenzado. Sólo en lo que se refiere a rapidez, los modernos computadores han multiplicado por un factor mayor que 10 000 000 la velocidad de cálculo del hombre. Es claro que pasarán muchos años antes de que aprendamos a sacar pleno partido incluso de las habilidades de nuestros actuales computadores. Su influjo, sin embargo, comienza a sentirse fuertemente en muchas áreas de nuestro entorno más inmediato, proceso de datos en nuestros bancos, planificación de nuestras empresas, robotización de nuestras fábricas, ordenación de la información contenida en nuestras bibliotecas, educación programada... En el desarrollo científico el influjo de los ordenadores es inmenso, y la mayor parte de las ciencias están aún muy lejos de saber aprovechar lo que el ordenador actual puede hacer por ellas.

En las aplicaciones de la matemática el influjo del computador ha sido inmenso, sobre todo a través de su capacidad de resolución numérica de problemas extraordinariamente complicados cuya solución hubiera resultado irrealizable. hace unos pocos años. Durante un viaje espacial, por ejemplo, es necesario resolver de modo automático en tiempo real, con gran precisión, sistemas de docenas de ecuaciones diferenciales no lineales. Pero posiblemente, como el futuro demostrará, esta facilidad de cálculo es el aspecto más superficial de la capacidad del computador. La versatilidad y complejidad del computador puede constituirle en una pieza clave para la realización analógica de experimentos (los Gedankenexperimente pasan así a ser verdaderos experimentos de computador) en prácticamente todas las ciencias, desde las matemáticas hasta las sociales, con un coste y esfuerzo mínimos.

En la matemática fundamental el influjo del computador comienza a hacerse manifiesto. En teoría de números se ha utilizado, desde hace tiempo, para reforzar o desechar la plausibilidad de ciertas conjeturas, como la de Riemann. Pero su impacto más notable en los últimos años ha tenido lugar en la demostración del teorema de los cuatro colores. Una demostración que no puede hacerse vivencia en el mecanismo raciocinante del hombre, por razón de la lentitud de éste, ha sido construida mediante el concurso del computador. Con ello se ha obtenido lo que muchos piensan que es una categoría diferente de teorema. ¿Cuántos problemas matemáticos hoy aún abiertos, nos podemos preguntar, esperan tal vez una solución semejante, con la asistencia esencial del computador?

Se presiente que el influjo de la computarización general de una porción de nuestra cultura originará probablemente una inclinación de la matemática futura hacia el desarrollo de lo que a veces se llama matemática finita, o discreta, que pone el énfasis en el descubrimiento de algoritmos efectivos para resolver problemas de todo tipo. La infiltración del computador en terrenos tales como el análisis matemático y otros campos tradicionales más abstractos es aún incipiente, pero se llegará a hacer sentir en un futuro más o menos cercano.

La ciencia de la computación, como estudio de los computadores y sus funciones, explora los tres problemas básicos siguientes: a) diseño y análisis del soporte material (hardware) de los computadores, es decir, de sus componentes mecánicas y electrónicas; b) diseño y análisis del soporte lógico (software),o sea el posible entreveramiento de las funciones que el soporte material es capaz de efectuar a fin de que el sistema resulte efectivo para los objetivos que se persiguen. Se trata, por tanto, del estudio de los lenguajes, programas de control interno... ; c) metodología de resolución de problemas con los computadores, esto es, estudio de técnicas comunes para resolver familias amplias de problemas.

La ciencia de la computación constituye como se ve, al menos parcialmente, una ciencia matemática. Como tal subraya los aspectos algorítmicos, constructivos, y sus problemas están en íntima conexión con los de la lógica matemática y los del análisis numérico. Pero es claro que la ciencia de la computación presenta aspectos que han de ser tratados en cooperación estrecha con la ingeniería electrónica, la lingüística, el análisis del conocimiento, etc.

EL PAPEL DE LA MATEMÁTICA EN NUESTRA CULTURA

La matemática ha cumplido, a lo largo de la historía del pensamiento, una función muy peculiar. Desde los tiempos de Pitágoras la matemática ha constituido el armazón, en su forma más pura, del pensamiento fundamental de nuestra cultura occidental: la inteligibilidad del universo mediante la razón, y precisamente mediante la razón cuantificadora. Para la cultura occidental el universo no es caos, es cosmos, orden. La naturaleza es regular, es decir, sigue unas reglas, unas pautas. Nuestro pensamiento puede captar estas normas de actuación de la naturaleza. La matemática es la herramienta a su disposición para hacerse con ellas.

Este espíritu es el que unifica las diversas formas de la matemática a lo largo del tiempo y a lo ancho de su vasta amplitud y diversificación actual. El matemático es probablemente el científico que se siente más cercano a sus predecesores remotos apartados de él por siglos de distancia y a sus colegas contemporáneos que trabajan en campos en los que incluso el lenguaje puede resultarle ajeno. Les une a todos el afán por encontrar las leyes formales objetivas que gobiernan la naturaleza en su sentido más amplio y el convencimiento de que estas leyes pueden ser encontradas mediante la cooperación entre la intuición creativa y la comprobación objetiva de las consecuencias racionales que de ella se derivan.

Y es este espíritu, este sentimiento de fusión de creatividad, libertad, espontaneidad y orden que subyace a la actividad matemática, la contribución más importante que la matemática puede ofrecer a nuestra sociedad actual. Contribución que va mucho más allá de la mera utilidad práctica de las diferentes creaciones concretas de la matemática. Aquí estriba, por otra parte, el valor educativo más profundo de la matemática, el que los filósofos más profundos, Pitágoras, Platón, Descartes, Leibniz.... han sabido ver en ella. En nuestra transmisión de la herencia matemática es éste el aspecto que deberíamos tratar de hacer más explícito. He aquí cómo lo ha expresado uno de los filósofos más clarividentes de nuestro propio siglo, Alfred North Whitehead: «La noción de modelo (pattern) es tan antigua como la civilización. Todo arte está fundamentado en el estudio del modelo. La cohesión de los sistemas sociales depende del mantenimiento de modelos de conducta, y los progresos de la civilización dependen de la modificación acertada de ellos. Por eso la impregnación de modelos en el curso de la naturaleza y la estabilidad de tales modelos, así como la modificación de ellos es la condición necesaria para la realización del Bien. La matemática es la técnica más poderosa para la comprensión del modelo y para el análisis de la relación entre modelos... Considerando la inmensidad de su campo de acción, la matemática, incluso la matemática moderna, es una ciencia en su infancia. Si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática».

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