La elección del campo de la matemática para mostrar esta concreción no es arbitraria. La matemática es fundamentalmente una ciencia del método, una ciencia que primariamente se interesa por el aspecto estructural de los objetos a los que se acerca, considerándolos como portadores de ciertas estructuras racionalizables y ordenables mediante la mente de un modo muy peculiar que conduce, una vez asumidos ciertos principios, al asenso incontrovertible.
La matemática es, por su misma estructura, intensamente atenta al método de pensamiento, y se presta, como ningún otro campo, para poner de manifiesto la eficacia, hacia sus propios fines, de las estrategias de pensamiento que se han ido elaborando a lo largo de sus 26 siglos de existencia como ciencia adulta. Con seguridad se pueden entresacar en otras ciencias y en otras actividades esquemas mentales modélicos que son específicos para el proceder eficaz en el campo correspondiente, pero posiblemente es en el terreno matemático donde el ejemplo será más claro y, en todo caso, es el único que yo conozco suficientemente.
Por otra parte, la matemática, por diversos motivos, va resultando un saber tan central en la cultura del presente, y con toda probabilidad aún más en la del futuro, que sus esquemas de pensamiento van adquiriendo en ella un papel fundamental. Para cualquiera es cada vez más conveniente conocerlos a fondo a fin de entender con suficiente profundidad cuál es su alcance y cuáles sus limitaciones esenciales. Se puede objetar a la tarea de familiarización con las estrategias del pensamiento matemático que su resultado consistirá en hacernos más capaces de enfrentarnos con éxito a problemas matemáticos y que dejamos con ello a un lado el objetivo general de pensar mejor que nos habíamos propuesto. Como tendremos ocasión de comprobar, la familiarización con ciertas estrategias del pensamiento matemático hasta incorporarlas plenamente en nuestro dinamismo mental comporta una reestructuración del pensamiento altamente valiosa para su actividad general. Existen, naturalmente, modos de pensar muy específicamente matemáticos. Pero muchas de las estrategias matemáticas que nos ocuparán admiten una transferencia bien valiosa para mejorar nuestro pensar alrededor de cualquier tema, como resultará claro en lo que sigue.
Como veremos, las estrategias del pensamiento matemático se pueden hacer patentes bien claramente en situaciones que no tienen en absoluto la apariencia esotérica de las matemáticas. En su mayor parte, nuestra presentación y ejercicio de tales estrategias estará fundamentalmente basada en actividades aparentemente lúdicas, juegos y puzzles para los que no se requerirá ningún bagaje matemático específico.
Un modelo para la ocupación con problemas
A continuación se presenta un modelo posible al que se puede tratar de ajustar la ocupación con problemas de naturaleza matemática. En él se señalan algunos procesos básicos típicos del pensamiento matemático. Pero hay que hacer notar que los presentaremos ejemplificados, en su mayor parte, en contextos libres de contenidos específicamente matemáticos, en muchas ocasiones en situaciones lúdicas que pueden afrontarse sin preparación alguna.
Podrá extrañar a algunos esta cercanía entre el pensamiento matemático y el lúdico, pero es un hecho profundo que una gran parte de la matemática más seria ha sido desarrollada bajo una motivación inicial lúdica y que los puzzles y juegos mentales comparten con la matemática muchos procesos de pensamiento eficaces en uno y otro campo. Es más, muchas veces resulta extraordinariamente dificil decidir dónde termina el juego y dónde comienza la actividad científica «seria». Para muchos de los matemáticos, la matemática nunca cesa del todo de ser un gran juego.
El modelo concreto que se presenta a continuación está basado en las ideas de Polya y, en gran medida, coincide en sus rasgos generales con muchos otros que se han propuesto más recientemente, como los de Mason, Burton y Stacey, Schoenfeld... Puesto que la finalidad aquí consiste en adquirir unos cuantos hábitos mentales que aparecen constantemente utilizados en el pensamiento de sabor matemático, y ello a través del enfrentamiento y ejercicio con problemas concretos, rodearemos las normas con ejemplos específicamente elegidos para practicar cada una de ellas, si bien cada uno de estos ejercicios es suficientemente rico como para estimular la práctica y la familiarización con varias de las estrategias que han sido presentadas anteriormente o que serán tratadas después.
Por esto la utilización correcta de los capítulos que siguen debería consistir en lo siguiente:
Lectura atenta y pausada de la descripción de cada una de las fases y estrategias del modelo que se presenta.
Examen detenido de los ejemplos que las ilustran.
Enfrentamiento personal directo con los problemas que se proponen como ejercicio para adquirir las rutinas correspondientes, con especial atención al aspecto que se desea subrayar con ellos, realizando los protocolos correspondientes y sometiéndolos a análisis y evaluación, sobre todo en lo que se refiere a la fase o estrategia que se considera. Tales protocolos deben conservarse para someterlos posteriormente a un análisis más profundo en lo que se refiere a otros aspectos que serán estudiados más adelante.
Acumulación de la información sobre las características de mi propio proceso de pensamiento, a fin de conseguir un retrato, lo más fiel posible, de mi fisonomía heurística.
Llevar adelante este proceso con fidelidad requerirá una buena dosis de esfuerzo y tiempo, pero sin duda está muy lejos de ser un trabajo árido y estéril, sino entretenido y provechoso. Los progresos y beneficios no tardan en hacerse patentes.
Recopilando lo expuesto, para lograr PENSAR MEJOR es bueno:
Tener una idea clara, un modelo, al que pensamos que nuestra forma de proceder se debe ajustar.
Hacer mucha práctica de pensar, tratando de ajustarla a este modelo inicial.
Tener una forma de examinar nuestro proceso y nuestra práctica, pues sucede con frecuencia nuestra atención en la ocupación con un problema se centra en el resultado que obtenemos alrededor del problema, pero no en el proceso.
En esquema, este es el modelo que
iremos desarrollando a continuación, a lo largo de esta tercera
parte, pormenorizadamente:
1. FAMILIARÍZATE CON EL PROBLEMAPara el examen de nuestro proceso de pensamiento ya hemos visto en la segunda parte cómo la realización del protocolo correspondiente puede servir de gran ayuda. A fin de tener una visión unitaria de la marcha del proceso se puede proponer, siguiendo la idea de Schoenfeld, la realización de un esquema gráfico que sintetice el movimiento del pensamiento, señalando en un cuadro, como se indica a continuación a propósito de los protocolos que se han presentado en el capitulo 9, la dedicación a las diferentes fases del modelo arriba indicado. Es claro que esto no sustituye a un protocolo bien realizado, que proporciona una información mucho más rica sobre la actividad mental que ha tenido lugar.
* Trata de entender a fondo la situació
* Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo
* Juega con la situación, enmárcala, trata de determinara el aire del problema, piérdele el miedo.2. BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
* Empieza por lo fácil
* Experimenta
* Hazte un esquema, una figura, un diagrama
* Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada
* Busca un problema semejante
* Inducción
* Supongamos el problema resuelto
* Supongamos que no3. LLEVA ADELANTE TU ESTRATEGIA
* Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase anterior
* Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra vía
* ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución4. REVISA EL PROCESO Y SACA CONSECUENCIAS DE ÉL
* Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien ¿por qué no llegaste?
* Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona
* Mira hasta dónde llega el método
* Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro