El conocimiento del campo específico en que un problema se encuadra puede ser fundamental para su resolución, como hemos visto en el capítulo anterior, pero tal conocimiento, para ser verdaderamente útil, no debe presentarse como un mero listado mental de hechos yuxtapuestos sino con una estructura dinámica que aglutine, jerarquice y ordene los elementos implicados, colocando cada uno de ellos en su justo lugar.

La diferencia entre el conocimiento presente en la mente del novicio y en la del experto cuando se enfrentan con un mismo problema consiste, no sólo en la riqueza de hechos en un caso frente a la relativa pobreza en el otro, sino sobre todo en la trabazón interna y en la interrelación de tales conocimientos en la mente del experto frente a la mera aglomeración de datos en la del novicio.

Si surge un problema relativo a bisectrices en un triángulo como el propuesto en el capítulo anterior «Otro triángulo dificil», en la mente del novicio pueden surgir de modo natural los siguientes hechos:

En la mente del experto bisectrices en un triángulo puede hacer surgir una constelación de conocimientos mucho más rica y aprovechable para problemas intrincados.

1) Las rectas que dividen los ángulos A, B, C en dos partes iguales.
2) Se cortan en un punto I.
3) El punto I equidista de los tres lados y así es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.
4) La bisectriz AWa corta a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, en el punto M que es el punto medio del arco BC. También la mediatriz de BC pasa por M.
5) Se verifica WaB/WaC=c/b.
6) Los ángulos en I que forman las bisectrices se relacionan de modo sencillo con los ángulos A, B, C del triángulo.
7) Si se trazan las bisectrices exteriores, como se indica en la figura, la bisectriz interior de A se corta con las exteriores de B y C en un punto U, que es centro de la circunferencia exinscrita tangente al lado a, exteriormente, y a los lados b y c interiormente. Análogamente con las otras bisectrices.
8) Cada bisectriz exterior y la interior de un mismo ángulo son perpendiculares.
9) En el triángulo UVW, la bisectriz AW es altura correspondiente al vértice U. Análogamente para las otras bisectrices.
10) Por lo tanto, en UVW el triángulo ABC es triángulo órtico de UVW. Así ABC es triángulo de perímetro mínimo de entre todos los que se pueden inscribir en UVW con un vértice en cada uno de los lados.
11) Si los lados de UVW fueran espejos, un rayo de luz enviado desde A en
dirección AB seguiría la trayectoria AB, BC, CA.
 

Como hemos podido ver en el capítulo anterior, los hechos 3, 4, 6 conducen al experto fácilmente a la solución de un problema como el que hemos visto en «Un triángulo difícil», y el hecho 5 le guía de modo natural hacia la solución del problema «Otro triángulo difícil».

La estructuración del conocimiento en la mente del experto en la resolución de problemas en un campo específico ha sido estudiada a fondo en diversos contextos. De Groot en 1966 y Chase y Simon en 1973 exploraron las diferencias entre el funcionamiento heurístico de jugadores de ajedrez expertos y menos expertos. Otros estudios más recientes se han dedicado a observar las diferencias en problemas de electrónica (Egan y Schwartz en 1979) y de arquitectura (Akin, 1980). Un resumen muy ilustrativo puede encontrarse en el interesante estudio de M.T.H. Chi y R. Glaser titulado Capacidad de resolución de problemas (especialmente pp. 309-318), que se encuentra como capítulo X de la obra de R. J. Sternberg (compilador) Las capacidades humanas (Barcelona, Labor, 1986).

Por lo que yo conozco sobre la dinámica de la resolución de problemas en diversos campos de la matemática, pienso que los mecanismos en este campo tienen muchas características comunes.

De Groot estudió comparativamente los modos de actuación de excampeones mundiales de ajedrez a quienes llamaremos campeones y de jugadores de club bastante buenos a quienes llamaremos los no tan expertos. Las principales conclusiones a las que sus estudios le condujeron son las siguientes.

Ante una misma situación del tablero, en el intento por encontrar el mejor movimiento, tanto los campeones como los no tan expertos tendían a considerar el mismo número de movimientos posibles.

También anticipaban mentalmente aproximadamente el mismo número de jugadas en su evaluación de los movimientos.

Lo que diferenciaba a los campeones era que reconocían el mejor movimiento de modo natural y le dedicaban su consideración principal.

Lo que a los campeones guía de esta forma es la presencia en su mente de un gran almacén de las posiciones típicas del ajedrez en las que están integradas las experiencias de eficacia de tal o cual movimiento.

Esta última observación se pone de manifiesto en el experimento siguiente, realizado por De Groot y por Chase y Simon.

- Se coloca al campeón y al no tan experto ante la tarea de memorizar y reproducir un tablero después de contemplarlo por cinco segundos.

- Si la posición de las piezas no tiene nada que ver con posiciones que surjan en una partida de ajedrez, es decir son posiciones aleatorias, la actuación del campeón es tan baja como la del no tan experto.

- Cuando la posición de las fichas es una posición posible en el juego, entonces la actuación del campeón es notablemente superior a la del no tan experto.

- Cuando los campeones reproducen el tablero proceden por grandes agrupamientos de tres a seis piezas. También los no tan expertos reproducen el tablero por agrupamientos, pero más pequeños. Además estos agrupamientos están relacionados con posiciones típicas del ajedrez.

Todo esto parece indicar que la superioridad del campeón sobre el no tan experto no consiste en la capacidad superior del primero para anticipar cinco o seis jugadas mientras el no tan experto anticipa sólo dos o tres, como comúnmente se cree. Ni tampoco el campeón lo es por poseer una mera memoria visual extraordinaria que le permite retener en su mente de modo fácil un tablero y sus muchas posibles transformaciones, sino más bien porque su mente es capaz de conservar evaluar y reproducir las estructuras del juego implicadas en una posición determinada.

El conocimiento bien estructurado ayuda extraordinariamente en diversos aspectos:

- Facilita su asimilación, memorización e integración en nuestro mecanismo mental. Nuestra memoria es bastante frágil, pero nuestra fuerte capacidad de relacionar datos puede venir en su ayuda cuando el conocimiento que se pretende integrar tiene ganchos con los que puede incorporarse a otras estructuras mentales ya existentes.

- El acceso a un conocimiento con estructura rica es mucho más fácil que la recuperación de una información aislada. Cuando intentamos acceder a un conocimiento que se nos evade momentáneamente nos apoyamos en las conexiones que éste pueda tener dentro de nuestra mente. Si tal conocimiento entró aisladamente más difícil será su recuperación.

- La utilización de un conocimiento será tanto más versátil y fructífera cuanto mejor integrado esté en nuestra red global de operaciones mentales de todo tipo.

La consecución de una buena estructuración del conocimiento y su adecuada utilización en la resolución de problemas es un objetivo muy importante en nuestro intento de pensar mejor. Para planificar nuestro aprendizaje más adecuadamente y para utilizar nuestro saber de forma más eficaz puede ayudar la idea de los esquemas operativos que se propone en el capítulo siguiente.