Un esquema es una constelación de conocimientos que se van agrupando a través de repetidas experiencias por razón de sus relaciones y su efectividad conjunta para aclarar diversas situaciones-problema con un aire común. El esquema contiene mucha más información que la mera yuxtaposición de las partes, puesto que probablemente va aglutinada en él la memoria difusa de muchas experiencias previas.

Al parecer este esquema es activo, capaz de atraer nuevos elementos y de engranarse con otros esquemas para formar conjuntos más amplios y ricos. La familiarización previa, la representación inicial de un problema que tiene hugar en el experto pone en movimiento diversos esquemas operativos entre los que de forma connatural el experto es capaz de discernir el más adecuado para la resolución del problema. En el novicio la representación inicial despierta tal vez esquemas escasos y pobres y con facilidad puede ser conducido a tratar de desarrollar esquemas que son inadecuados para lo que se pretende.

La experiencia repetida del novicio, ilustrada mediante la guía y ejemplo de un experto y reforzada con la reflexión comparativa de sus propios procesos mentales, le conducen al señorío de los mismos esquemas eficaces del experto.

El gran reto de la instrucción y del aprendizaje consiste en proporcionar al principiante un camino fácil y claro hacia esta meta.

Para lograrlo, en cada campo específico es necesario:

- Identificar con claridad los paradigmas, los esquemas operativos modelos de procedimiento en el campo en cuestión.

- Presentar estos paradigmas en acción, mostrando su eficacia en diversas circunstancias interesantes.

- Propiciar la implantación natural de dichos paradigmas en el dinamismo mental del sujeto mediante la oportunidad de practicar su manejo autónomo por él mismo.

Hay que tener en cuenta que esta última fase es la verdaderamente importante. Como dice Polya (Mathematical Discovery, vol. II, p. 104): «Lo que el profesor dice en clase no carece de importancia, pero lo que los alumnos piensan es mil veces más importante. Las ideas deben nacer en la mente de los alumnos y el profesor debe actuar tan sólo como una comadrona».

Las observaciones anteriores vienen a coincidir plenamente con las acertadas consideraciones de Whitehead sobre la necesidad de expulsar de nuestra educación el lastre de las ideas inertes, aquéllas que carecen de la capacidad de reaccionar con otras para constituir sistemas activos, aquéllas que permanecen ahí sin ser combinadas con otras (véase capítulo 5).

Lo que debe suceder en la mente del que comienza respecto de los esquemas operativos es algo semejante a la reestructuración que se da con algunos experimentos visuales de la Gestalt. Son nuevos surcos en la mente que se manifiestan tan útiles que se adoptan sin esfuerzo ninguno. He aquí algunos ejemplos, ingenuos y simplistas, pero que pueden servir para ilustrar lo que probablemente sucede en otros contextos más ricos y profundos.

Ante el monitor de un cierto ordenador yo me representaba para mí mismo la pantalla como si fuera la parte visible de un rollo en el que se encontrara toda la información disponible. Para manipularla, de acuerdo con esta concepción, si deseaba ver lo que viene después de lo que ahora contiene la pantalla que tengo delante debería subir el rollo, es decir apretar la tecla con la flecha hacia arriba. Conseguía el efecto contrario. El fabricante de aquel ordenador tenía otra idea. La pantalla del monitor era para él una ventana que se mueve para dejar ver las diversas porciones de la información fija y así la tecla con la flecha hacia arriba quiere decir que se asoma uno a la información anterior. El cambio de representación mental hizo que en lo sucesivo no me equivocara.

Es posible que la siguiente experiencia sea muy particular. Mil impresión es que no. Si intento manipular un grifo o un tornillo con mi mano izquierda o bien con la derecha pero en una situación inusual, tengo que ensayar cuál es el giro correcto. Con frecuencia me equivoco. Tal vez sea indicio de dislexia, pero mi impresión más bien es de que se trata de una imagen mental inapropiada. Estoy acostumbrado a pensar en lo que la mano tiene que hacer para atornillar o desatornillar. El esquema correcto consiste en pensar en lo que el tornillo tiene que hacer. Mi experiencia es que de esta forma no me equivoco ni dudo.

Un ejemplo interesante de esquema mental eficaz se presenta en la obra de Berlekamp, Conway y Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays (Londres, Academic Press, 1982, vol. 11, p.741). Los autores introducen curiosos contorsionismos mentales a fin de proponer recetas para resolver ciertos puzzles que tienen que ver con alambres, anillas, cordeles y piezas de madera. Para muchos de ellos la dificultad consiste en que los movimientos que aparecen como naturales para realizar la tarea que se pide tropiezan con obstrucciones. La reestructuración mental necesaria consiste en operaciones tales como «pasar el nudo por el agujero antes de hacer correr la cuenta por el cordel»... Una vez que se consigue mirar el puzzle de este modo nuevo resulta fácil y natural su resolución.

En la exposición matemática existen introducciones de conceptos y presentación de resultados y teoremas que conducen a esquemas francamente inoperantes y otros que constituyen esquemas operativos eficaces.

En una adecuada exposición de una rama cualquiera de la matemática, en la que lo principal es transmitir un saber hacer más bien que una mera erudición superficial, la primera preocupación debería ser precisamente proporcionar una perfecta asimilación de los principales esquemas mentales eficaces del campo en cuestión.

No es tarea fácil, pero, como he indicado antes, la observación de la actuación de los expertos, de los inexpertos, la introspección comparativa sobre el propio modo de actuar,... constituyen el camino para ello.