1. Presencia del ordenador en la enseñanza.

La enseñanza de la matemática a nivel superior está empezando a recibir los primeros impactos substanciales con la aparición de programas con todas las rutinas esenciales de las matemáticas que nuestros estudiantes de los primeros cursos universitarios han de dominar y manejar con soltura. La diseminación masiva de tales programas es cuestión de unos pocos años. Aparecerán nuevos programas más potentes, más interactivos, más flexibles, pero los que ya existen deberían estimularnos a reflexionar sobre los impactos positivos y negativos que en niveles profundos y en otros más superficiales de nuestra enseñanza la invasión masiva de estos medios puede ocasionar a fin de propiciar los aspectos favorables y tratar de soslayar en lo posible los perjudiciales. Y más vale que lo hagamos cuanto antes a fin de no caer en errores en educación matemática semejantes a los que se produjeron con la introducción, hace treinta años, de la "Matemática Moderna". Entonces se pensó haber encontrado una llave de oro para resolver muchos de los graves problemas educativos de la matemática fundamentalmente a nivel elemental y secundario. Hemos necesitado bastantes años para enderezar la situación, y en algunos aspectos los daños están aún por reparar. Hoy día, si la introducción del ordenador en el aprendizaje de la matemática no se planifica adecuadamente, podemos incurrir en la responsabilidad colectiva de dejarnos arrastrar por un espejismo, posiblemente en buena parte fomentado por la industria alrededor del ordenador, que nos lleve a todos, incluso a los países más carentes de los recursos educativos, a gastar grandes sumas de dinero en la introducción indiscriminada de costoso instrumental con el que no se sabe bien qué hacer y que, por el uso que se le da, más valdría, desde el punto de vista educativo, que nunca se hubiera introducido en las escuelas y centros de enseñanza. En este sentido es interesante atender la aguda crítica de Neal Koblitz (1991) en su reciente artículo a propósito de las condiciones de la educación matemática en los países del tercer mundo.

En este Encuentro otros muchos hablarán de las facilidades innegables que el ordenador ofrece para propiciar un aprendizaje de la matemática más eficiente y más adecuado al tipo de utilización de la matemática que de nuestros estudiantes se ha de esperar, así como de las diferentes formas prácticas como esta magnífica herramienta de trabajo puede ser utilizada. A mí se me ha encargado presentar una reflexión sobre los posibles impactos no deseables que la introducción del ambiente informático en la educación matemática puede causar. Creo que, por la escasez de experiencias amplias, sostenidas y bien analizadas, lo más que puedo aspirar a ofrecer es una serie de especulaciones propias y ajenas sobre este tema un tanto obscuro y abstracto. Y por supuesto ninguna recomendación muy tajante.

En los últimos años se han oído bastantes voces autorizadas expresarse acerca de este asunto. Atiyah (1986) ha abordado el tema en un amplio estudio que la Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI) dedicó al impacto del ordenador sobre la matemática y su enseñanza. En él se pueden leer también otros muchos artículos excelentes dedicados a ello. Davis y Hersh (1988) en un detenido ensayo han intentado construir un primer esbozo de filosofía de la informática, tratando con especial empeño el tema de la interacción entre informática y cultura. Halmos (1991) ha intentado responder en un breve artículo a la cuestión inquietante sobre los perjuicios que el ordenador puede causar en la enseñanza. En 1984 apareció asimismo un polémico ensayo de Truesdell (1984) en que analiza también los impactos del ordenador en un fogoso ensayo titulado The Computer: Ruin of Science and Threat to Mankind. Otros autores reseñados en las referencias al final del presente artículo han tratado puntos particulares de interés para nuestro tema.

En las líneas que siguen trataré de exponer, en la Sección 2, algunas ideas sobre los posibles impactos profundos que el estilo informático va ejerciendo sobre la cultura en general y sobre la ciencia en particular, haciendo hincapié, de acuerdo con mi cometido en este Encuentro, sobre los riesgos que de tales impactos se derivan. Puesto que uno de los objetivos fundamentales de nuestra educación matemática debería consistir en ayudar a nuestros estudiantes a constituirse en personas que sepan integrar adecuadamente en su cultura verdaderamente humana tanto los aspectos científicos y tecnológicos como otros más profundos y personales, me parece muy importante considerar cómo inciden el estilo y la actitud que estimulan la subculturas matemática e informática sobre otros aspectos más generales de la cultura y de la ciencia. La Sección 3 tratará de algunos de los posibles impactos más específicos del ordenador sobre la matemática y sobre la práctica de su aprendizaje.

2. Riesgos de la matematización e informatización de la cultura y de la ciencia.

La noción de estructura es tan antigua como la civilización... la infusión de estructuras en el curso de la naturaleza y la estabilidad de tales estructuras, así como la modificación de ellas es la condición necesaria para la realización del Bien.

La matemática es la técnica más poderosa para la comprensión de la estructura y para el análisis de la relación entre estructuras...

Considerando la inmensidad de su campo de acción, la matemática, incluso la matemática moderna, es una ciencia en su infancia.

Si la civilización continúa avanzando, en los próximos 2000 años, la novedad predomínante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática.

La penetración de la matemática en nuestra cultura, ahora intensificada y subrayada con el estilo peculiar de la informatización de una buena parte de ella, es una realidad hoy día que se impone a cualquier observador atento. En toda actividad científica se ha convertido en condición indispensable la utilización de la matemática como medio de expresión y a veces como ropaje prestigioso. Tácita o implícitamente se considera, de acuerdo con Kant, que en cada una de las disciplinas de la naturaleza solamente se puede encontrar tanto de auténtica ciencia cuanto se encuentra en ella de matemática (Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaften, Vorwort). Hay en el aire una especie de acto de fe en que si algún fenómeno escapa hoy a nuestras herramientas conceptuales matemáticas, se pueden crear ciertamente otras que superarán este desafío. Nuestra medicina y nuestra biología hacen cada vez más uso, para tratar sus problemas, de instrumentos matemáticos tales como la teoría de control, el estudio matemático del crecimiento de poblaciones, la mecánica de fluídos, etc. La sociología, la psicología, la economía utilizan extensamente herramientas matemáticas. Incluso la lingüística y aun el arte actual se aprovechan considerablemente de la matemática, no solamente a través de la nueva tecnología, sino incluso en sus mismas concepciones artísticas.

La razón profunda de esta aceleración del ritmo de matematización en nuestros días es sin duda la fe pitagórica presente en las palabras de Whitehead. Allá donde haya un modelo inteligible, ahí puede acudir la matemática para iluminarlo. Pero sin duda la aceleración del ritmo de matematización en la actualidad se debe a la influencia del ordenador, con las enormes posibilidades que ha puesto en nuestras manos, totalmente insospechadas hace tan sólo cincuenta años. Con él podemos explorar mundos que esperamos matematizar conceptualmente, incluso aunque de momento no sepamos aún cómo. La aparición del ordenador está teniendo un efecto semejante, si bien mucho más universal y profundo, al que causó el telescopio o el microscopio. Confirmación de conocimientos ya barruntados o adquiridos, pero al mismo tiempo la posibilidad de observación de multitud de fenómenos dispersos, todavía sin explicación coherente dentro de la ciencia del momento.

Pero en el proceso de matematización e informatización, tal como va teniendo lugar, se pueden percibir rasgos profundamente inquietantes que, de no ser neutralizados a tiempo, pueden ciertamente conducir a una situación que, desde nuestra perspectiva actual, deberíamos juzgar como un lamentable empobrecimiento y deterioro de la actividad humana. La matematización de la cultura acompañada de una adecuada humanización de la matemática puede servir como meta brillante del futuro. Pero la matematización e informatización en sí misma no es un ideal tras el que haya que correr sin una buena dosis de discernimiento. En la amplia avenida de la matematización e informatización podemos encontrar numerosas trampas en las que podemos quedar atrapados si no caminamos con suficiente atención. En un artículo de 1988, escrito al margen de la lectura de El Sueño de Descartes de Davis y Hersh, traté de expresar algunas de ellas, que inciden tanto en aspectos de la cultura humana general como en la misma visión científica y matemática actual:

Pensar ingenuamente que todo puede ser matematizado sin residuos.Si la misma matemática, como enseña el teorema de Gödel, deja necesariamente resquicios por matematizar, incluso en temas tan importantes como los que se refieren a su propia consistencia, es decir a la posibilidad de que en ella surjan cotradicciones, ¿qué no habrá de quedar por hacer en el intento de matematizar la física o la biología? Bueno es que aceptemos desde un principio la existencia de lo inmatematizable. De este modo no caeremos fácilmente en la ceguera hacia otros aspectos tan ricos del universo como la vida y los valores del espíritu humano.

Dejar que nuestra vida se ahogue en cifras y en formalismos matemáticos. El ambiente del ordenador está constituido por recetas, lenguajes precisos, formalismos, donde lo que interesa es lo operativo y lo que menos importa es el sentido de las operaciones. El gran peligro no es, como algunas películas de ciencia-ficción pretenden, que el ordenador pase a ser cuasihumano, sino que el hombre, por adaptarse a su máquina, pase a ser un robot. Ejemplares de este fenómeno no escasean incluso en nuestra cultura actual.

Inducír al matemático a jugar a aprendiz de brujo.Se piensa que para cada situación real la matemática tiene un modelo adecuado, sin tener en cuenta que la matemátización comporta necesariamente una cierta amputación de la realidad, y que los elementos, de los que en este proceso se hace caso omiso, pueden resultar en muchas ocasiones y para muchas personas enormemente importantes y su omisión catastrófica. Hay muchos aspectos de la vida del hombre demasiado importantes como para acudir con ingenuidad al matemático y pedirle que sea él quien nos los maneje.

Considerar la matemática, y no el hombre, como la medida de todas las cosas. Muchas ciencias toman demasiado en serio las palabras de Kant antes citadas. Y lo que aún es peor, algunos humanistas y filósofos de nuestro siglo han tomado la matemática como oráculo definitivo. Así se expresa un importante matemático de nuestro tiempo, Gian-Carlo Rota, bien sensible ante tales incoherencias a propósito de la filosofía analítica: ¿Cuánto durará aún la presente manía por la precisión en filosofía? ¿Es que a un concepto le hace falta ser preciso para estar lleno de sentido y ser efectivo? ¿O es que los filósofos quieren hacerse el harakiri ante el altar de 7as matemáticas? También vale la pena meditar sobre las palabras de Wittgenstein, en su Tractatus logico-philosophicus:
6.52.- Percibimos que, incluso aunque todas las posibles preguntas científicas sean constestadas, los problemas referentes a nuestra vida no han sido tocados en absoluto. Es cierto que precisamente entonces no queda ninguna pregunta; y exactamente esto es la respuesta.
6.521.- La solución del problema de la vida se caracteriza por la desaparición de este problema. (¿No es este el motivo por el que personas para quienes el sentido de la vida resultó claro tras largas dudas no pudieron decir en qué consistía este sentido?).
6.522.- Existe ciertamente lo inexpresable. Esto se muestra, es lo místico.

Confundir manipulación con sabiduría.Nuestros ordenadores nos hacen capaces actualmente de manipular con éxito fragmentos importantes de la realidad sin que comprendamos bien por qué. Podemos estar satisfechos de nuestro éxito. Al fin y al cabo también manejamos nuestro cerebro sin que entendamos casi nada de su funcionamiento. Pero no conviene perder de vista que el éxito manipulativo está aún lejos de la comprensión a la que podemos y debemos aspirar. No perdamos el sentido y la atracción de] misterio.

Caer en el mito de] genio universal que puede pontificar infaliblemente sobre cualquier asunto. Con respecto a ciertas figuras distinguidas de la ciencia moderna parece haberse producido en muchas personas, tanto de la calle como de la ciencia, el siguiente discurso de pensamiento: "Si la matemática es la base y el cemento de la cultura, aquel que logre situarse en el corazón de ella y desde allí contemplar nuestro mundo, está en una situación privilegiada para juzgar adecuadamente sobre su destino. Oigámosle y sigámosle''. Este parece haber sido el significado de la veneración cuasirreligiosa de muchos en nuestro propio siglo hacia ciertos personajes de la ciencia. Muy a su pesar, Einstein fue convertido en una especie de sumo pontífice de la verdad no sólo científica, sino religiosa y moral. Sería bueno recordar que muy a menudo el matemático, y el científico en general, fuera de su propia esfera de competencia suele ser tan superficial y sesgado como el que más.

A la vista de problemas tales como los aquí esbozados es claro que el proceso de matematización creciente que estamos viviendo actualmente, acelerado por la presencia de la informática, necesita ir acompañado de una honda reflexión sobre su sentido y sus implicaciones profundas para el hombre y la sociedad. Si nuestros educadores no son conscientes de las posibles trampas subyacentes al
estilo matemático y al modo de pensar que la cultura informática propicia, pueden conducir fácilmente a sus estudiantes a adoptar actitudes francamente perjudiciales.

Hasta aquí hemos considerado los riesgos que penden sobre la cultura por causa de su matematización e informatización cada vez más profunda. Pero la mismas ciencias aplicadas y las diversas tecnologías en general corren también peligros sutiles por razón de un acercamiento servil al mundo matemático, cuando tratan de plegarse a las exigencias propias de éste.

En un artículo muy breve y punzantemente titulado La perniciosa influencia de la matemática sobre la ciencia, J.T. Schwartz proporciona tres claves para analizar las perjudiciales consecuencias que puede ocasionarle al científico en general si cede al prurito de matematización-informatización a ultranza prevalente en el aire. La matemática, y más aún la informática responde, en una descripción psicológica del tipo de intelección que proporciona, a tres palabras clave: single-mindedness (conun sólo objetivo), literal-mindedness (apegada a la letra), simple-mindedness (de mente simple). Estas características señalan fuertes diferencias de aproximación a los problemas de los científicos y tecnólogos con respecto a la de los matemáticos.

Incluso las ciencias más precisas funcionan normalmente con aproximaciones más o menos mal entendidas hacia las que el mismo científico tiene que mantener un apropiado escepticismo. Este autoescepticismo extraordinariamente saludable es ajeno a la actitud del matemático.

Por otra parte la matemática, e igualmente la informática, ha de trabajar con situaciones bien definidas. El hábito del matemático de ejercitar su sentido de literalidad puede tener consecuencias bien desafortunadas. El matemático convierte las hipótesis teoréticas del científico, que para él en principio no son más que puntos de partida para su intención de análisis, en axiomas y luego toma estos axiomas en sentido literal estricto. Ello comporta el peligro de que intente persuadir también al científico a tomar literalmente tales axiomas. Y de este modo queda en la penumbra la cuestión central en la investigación científica, que es fuertemente perturbadora en el contexto matemático: ¿qué va a pasar con todo esto si los axiomas se relajan?. Se puede pensar en el episodio de la función delta de Dirac, tan útil a los físicos por largo tiempo y ocasión de burla para los matemáticos hasta que encontraron las razones profundas del éxito de los físicos.

El físico tiene sus razones para temer el argumento preciso, ya que un argumento que solamente es convincente si es preciso pierde toda su fuerza cuando las hipótesis sobre las que se basa cambian ligeramente, mientras que un argumento que es convincente aunque impreciso bien puede permanecer estable bajo pequeñas perturbaciones de los axiomas subyacentes.

Por otra parte, la simplicidad e ingenuidad del ordenador, como la de la matemática misma, le hacen propicio para fabricar conclusiones a partir de cualquier idea por absurda que sea, para vestir con igual entusiasmo ideas científicas brillantes y otras totalmente absurdas con impresionantes uniformes de fórmulas y teoremas. Desgraciadamente, una idea absurda resulta mucho más persuasiva en uniforme que desnuda. El resultado, tal vez más común en las ciencias sociales, es mala teoría con pasaporte matemático.

La atracción intelectual de un argumento matemático, así como el esfuerzo considerable para seguirlo, hace de la matemática una poderosa herramienta de prestidigitación intelectual, un engaño en que algunos se entrampan y otros se dejan embaucar.
 

En su artículo dedicado a analizar los impactos del ordenador como ruina de la ciencia y amenaza para la humanidad, Truesdell examina los diferentes aspectos de la cultura general y científica en que el ordenador ya está causando daños posiblemente irreparables. Tan sólo indicaré los sugestivos títulos de sus secciones más significativas:
3. Cálculos sin los standards de rigor clásicos son peligrosos. Un ordenador es incapaz de proponerse sus propios standards.
4. Los ordenadores han dañado ya a la ciencia.
5. La matemática es la ciencia de los infinitos, la computación es esencialmente finita.
6. Los ordenadores comportan poder y abusos de poder. Los exponentes de la computación buscan destruir la matemática.
7. La computación promueve el fraude sobre los hechos. Ha dañado la ciencia experimental y aplicada en el pasado.Por su énfasis en las aplicaciones de lo ya conocido puede retrasar el descubrimiento básico y así reducir el campo de las aplicaciones en el futuro.
8. Las teorías clásicas usaron modelos inductivos y deductivos. La computación promueve modelos flotantes.
9. La computación fomenta el fraude lógico Los ordenadores programados para confirmar teorías falsas pueden destruir la humanidad.
10. Resumen: Los ordenadores están aquí para quedarse. Ponen en peligro el pensamiento, el idioma, la ciencia y lasupervivencia humana. Como cualquier otra herramienta peligrosa deberían ser puestos bajo control estricto.

Bajo el aspecto tajante de muchas de las afirmaciones de Truesdell hay ciertamente muchos puntos que encierran una fuerte dosis de sabiduria. Haríamos bien en considerar a fondo las profundas implicaciones que tal vez pueden tener decisiones que a veces tomamos con una gran superficialidad en torno al mundo del ordenador.

3. Los impactos del ordenador sobre la matemática y sobre su aprendizaje.

En su artículo antes citado Atiyah dedica una buena parte a estudiar los peligros que desde el punto de vista de la matemática se presentan por razón de la presencia del ordenador. En primer lugar se enfrenta con los peligros de orden intelectual. El primero de ellos es:¿Continuará la matemática siendo una de las formas supremas de empresa humana o será reemplazada gradualmente por el ordenador? ¿Quién se encargará de la matemática y cuáles serán sus criterios?

El problema de los cuatro colores y su solución mediante la cooperación muy substancial del ordenador le sirve para ilustrar el tipo de preguntas que desde que surgió la solución en 1976 se han ido aireando en los foros matemáticos (ver, por ejemplo, también Bonsall, 1982). ¿Es éste el camino del futuro? ¿Serán resueltos más y más problemas mediante la fuerza bruta? Si esto es realmente lo que el futuro nos depara, ¿deberíamos preocuparnos ante el ocaso de la actividad intelectual humana que ello representa, o bien es éste un punto de vista arcaico que debe ceder ante las fuerzas del "progreso"?

La ciencia tiene por finalidad "entender" ¿Podemos decir que "entendemos" la demostración del teorema de los cuatro colores? Lo dudo.

La Matemática es realmente un Arte, el arte de evitar cálculos por fuerza bruta mediante el desarrollo de conceptos y técnicas que nos permitan viajar más ligeramente. Proporcionad a un matemático una máquina infinitamente poderosa para hacer cálculos y le habréis privado de su impulso interior. Se puede al menos argüir, aunque resulte un poco traído de lejos, que si los ordenadores hubiesen estado disponibles en, digamos, el siglo 15, la matemática ahora sería un pálido reflejo de sí misma.

Al tratar sobre los peligros de naturaleza económica que el ordenador va a causar sobre la matemática, Atiyah se refiere a la probable línea de desarrollo de la matemática discreta en perjuicio de la matemática del continuo. En general se acentuará el énfasis sobre la matemática discreta como opuesta al Cálculo, que se preocupa de los fenómenos continuos. Sin duda en parte esta presión será saludable, y estimulará y engendrará nuevas ramas bien interesantes de la matemática, pero la escala y el ritmo de la revolución informática son tales que existe un peligro real de que la gran tradición clásica de la matemática resulte asfixiada.

Finalmente Atiyah se enfrenta con los problemas relacionados con el sistema educativo. La presión económica, el desarrollo gigantesco de la industria informática, está generando en los centros educativos una fuerte demanda que
exige cambios rápidos y drásticos que la inercia del propio sistema educativo a todos los niveles no puede fácilmente satisfacer sin un traslado peligroso de los recursos dedicados hasta ahora a las enseñanzas más tradicionales, especialmente de las matemáticas.

Por otra parte es claro que la matemática actualmente experimenta una seria competencia en la atracción de los estudiantes de talento. Esto significa que las grandes mentes creativas de la matemática del pasado tales como Newton, Gauss o Riemann pudieran gravitar en el futuro hacia la informática más bien que hacia la matemática. Para un campo tan totalmente dependiente del talento como es la matemática esto sería el mayor desastre. Hemos de esperar que la matemática, por su poder y belleza continuará atrayendo grandes inteligencias en el futuro y que no todas sean seducidas por el ordenador.

Por lo que se refiere a los alumnos de nivel elemental Atiyah piensa que existe el serio peligro de que se piense que la aritmética no es ya una destreza de adquisición necesaria. A su parecer esto significa que habrá de hacerse más énfasis en entender los procesos involucrados y menos en el ejercicio de los cálculos rutinarios. Interpretado correctamente esto puede considerarse como una ventaja educativa con la que la rutina se evita y se gana en percepción. Sin embargo, la vida no es tan simple y cualquier sobreuso de máquinas puede conducir a la atrofia de las facultades humanas correspondientes, del mismo modo que el coche ha minado la capacidad de las personas para usar sus piernas. ¡Tal vez el tipo de reacción que ha hecho tan popular el jogging en años recientes convertirá a su debido tiempo el ejercicio de la aritmética mental en una forma de terapia mental!

Finalmente, desde el punto de vista práctico, se han señalado algunos inconvenientes que del uso del ordenador se pueden derivar en el aprendizaje de la matemática. El resumen del artículo de Halmos (1991) es bastante significativo.

¿Es la enseñanza mediante el ordenador realmente perjudicial? Yo solía estar seguro de que lo era, pero cuando me propuse escribir esta nota pregunté la opinión de unos pocos amigos, y algunas de las respuestas que recibí sacudieron mis opiniones. Lo que sigue es el resultado: (1) cómo usar el ordenador para ensenar conceptos abstractos; (2) cómo los cálculos numéricos pueden ayudar en la enseñanza; y (3) cómo un ordenador puede controlar el pensamiento conjetural. Tras estos aspectos positivos, continúo con uno negativo: (4) la enseñanza cde conceptos abstractos en el momento
incorrecto puede ser peligrosa. La conclusión, mi conclusión, es que (5) así como la misma existencia de programas puede mejorar la calidad de nuestra enseñanza, al mismo tiempo ellos crean una fuerte posibilidad de reemplazar buena enseñanza por mala y, por tanto, han de usarse con sabiduría o no usarse en absoluto.

Una de las razones del peligro del uso de programas propuestas por Halmos consiste en que el ordenador proporciona la respuesta demasiado pronto, es decir sin insisitir en la necesidad de pensar primero. Despojar a un estudiante del placer de encontrar por sí mismo la solución y del gozo de hallar por sí mismo la victoria ante la dificultad es un mal proceso de aprendizaje.

Para muchos de nosotros formados en el ambiente de trabajo con lápiz y papel por muchos años, el ordenador es un extraordinario complemento de nuestra actividad. Lo que el programa me proporciona es algo que yo mismo sin su ayuda sería capaz de realizar, pues he aprendido cómo se hace. Que el ordenador me proporcione la respuesta con rapidez y seguridad es magnífico, pues me ahorra una gran cantidad de trabajo. Pero al mismo tiempo que conozco la respuesta, por toda mi historia de aprendizaje, he adquirido los astutos procesos de pensamiento con que los matemáticos de varios siglos han
atacado el problema y ante problemas semejantes, para los que el ordenador no tiene las respuestas incorporadas, podría ensayar el uso de estrategias de pensamiento parecidas. La riqueza de] pensamiento matemático, a mi parecer, no se fundamenta en las soluciones cristalizadas, sino en los procesos de pensamiento que a esas soluciones han conducido. El fruto práctico más importante de familiarizarse con tales procesos consiste en hacerse capaz de construir estrategias de resolución en casos más o menos cercanos, mucho más que el disponer de las soluciones ya construidas. Es muy posible que la incorporación de tales procesos de pensamiento en la mente del estudiante pueda ser entorpecida mediante un uso inadecuado del ordenador.
El ordenador parece hecho a la medida para satisfacer la mentalidad de satisfacción instantánea y sin esfuerzo prevalente en nuestra sociedad. Se aprietan botones y cosas maravillosas suceden como por magia, pero tal vez en muchas ocasiones el resultado del ejercicio de apretar botones es por necesidad bien superficial y bien distinto del esfuerzo por asimilar las formas de pensar ante retos difíciles y originales mediante el seguimiento del curso de pensamiento que los grandes matemáticos han realizado para dominarlos.

Desde el punto de vista más concreto nos podríamos preguntar: ¿Qué enseñar en los primeros cursos universitarios si pudiéramos pensar que cada alumno tiene a su disposición en su casa o donde sea un ordenador con el que pueda usar alguno de los potentes programas hoy disponibles como el DERIVE, MATHEMATICA u otros? Parece que no se deberían enseñar tal vez cosas muy diferentes, sino que simplemente se podría prescindir de muchísimo esfuerzo rutinario dedicado a tener bien presentes y activas ciertas técnicas que el ordenador va a poder hacer mucho mejor, más rápido y más seguro. Por otra parte se les podría enfrentar con problemas mucho más sofisticados que requieren una gran cantidad de manejo de operaciones y técnicas distintas.

¿Necesitan los estudiantes tener en los dedos todas las técnicas para la integración rápida y segura de funciones elementales, calcular con toda rapidez y destreza derivadas segundas, terceras, de expresiones extraordinariamente complicadas? Se podrá decir: Si no hacen eso, ¿qué hacen?. ¿Tenemos a nuestra disposición de momento una colección de actividades que realmente sean satisfactorias y formativas y que tengan en cuenta el ordenador? ¿Se podría construir una colección de tales actividades que sean atrayentes y creativas teniendo constantemente a nuestro lado el ordenador?

Tal vez la respuesta sea: en gran parte el contenido de nuestra enseñanza puede ser esencialmente el mismo, pero hay que tener en cuenta que las rutinas se pueden relegar sin más ya a la máquina.

Pienso que lo que hay que hacer consiste en utilizar los contenidos que de momento usamos como problemas importantes, retadores, desafiantes, verdaderos problemas, y presentar nuestra teoría como ejemplo de] poder de la mente para llegar a reducir su solución a algoritmos que se pueden encargar al ordenador. Por lo tanto, podría pensarse como razonable el siguiente plan de actuación:

(a) insistir en el carácter paradigmático de los teoremas relativos a los contenidos que se presentan, como formando parte de una estrategia de superación total del problema que han venido a resolver, hasta llegar a reducir su solución a algoritmos que se pueden relegar a la rutina humana y posteriormente a la mecánica del ordenador.

(b) procurar experimentar un poco con esos algoritmos, de modo que, aunque no se adquiera un dominio magistral de ellos, en rapidez y seguridad, cada uno pudiera ser capaz de reproducirlos, por haber entendido de donde provienen y qué les ha dado origen, y si hiciera falta, de adquirir una práctica aceptable de ellos. Una comprensión semejante a la que se obtiene de los algoritmos aritméticos, de modo que aunque yo tenga oxidada la técnica de hallar la raíz cuadrada con rapidez y seguridad, como sé cómo se ha construído, puedo establecer el esquema y, si me hiciera falta hallar cien raíces cuadradas de números grandes a mano, podría hacerme rápidamente con la rutina necesaria.

(c) trabajar bastante para que los alumnos mismos tengan un fuerte interés por hacerse con el dominio de los medios informáticos ya existentes (DERIVE u otros) a fin de conseguir hacer mecánicamente mediante el ordenador los procesos rutinarios.

(d) después habría que diseñar prácticas adecuadas con el ordenador a fin de hacerse plenamente familiar con su modo de operación y de sus posibilidades con respecto a tales contenidos y problemas. Para todo esto, y tal vez el punto más interesante que según creo no se ha trabajado suficientemente, habría que pensar una buena colección de problemas bien retadores que puedan ser atacados con las herramientas conceptuales de que se dispone y con los elementos de ayuda informática que se domina.

(e) habría que tener especial cuidado cuidado con las consecuencias peligrosas para el alumno de este modo de proceder. Si en un curso se estimula a nuestros estudiantes a trabajar de este modo y no llegan a poseer estos mismos estudiantes la destreza que actualmente se juzga suficiente de estas rutinas del cálculo, puede suceder que al llegar al curso siguiente se encuentren en desventaja con respecto a los estudiantes que las poseen y fracasen ante otros profesores que no les permiten usar los medios que ellos saben y han podido utilizar en el curso anterior. Puede pasar lo que pasaría con un estudiante de enseñanza básica cuyo profesor de un curso le permitiera siempre utilizar la calculadora, pero el del curso siguiente no se lo permite o sólo se lo permite en circunstancias especiales. Un cambio de esta naturaleza en nuestra enseñanza ha de introducirse globalmente.

REFERENCIAS

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