Introducción
Las notas que siguen contienen una serie de
observaciones personales sobre algunos aspectos del panorama actual de
la educación matemática, que, por diversas razones que intentaré
explicar, distan mucho de haber alcanzado una fase de estabilidad. En su
conjunto, parece que la educación matemática, por su propia
naturaleza, como se indica en la Sección 1, deba ser uno de esos
temas complicados que haya de permanecer en constante revisión.
En la Sección 2 se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación
de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones
profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas
vías menos deseables en las que la enseñanza matemática
se introdujo en un pasado reciente. La Sección 3 se dedica a apuntar
algunas tendencias generales que señalan las líneas de trabajo
más llamativas en la actualidad. De estas tendencias se derivan
de forma natural, por una parte, algunos cambios en los principios metodológicos
que deberían guiar la enseñanza y aprendizaje de nuestros
días, lo que se presenta en la Sección 4, y por otra, cambios
en los contenidos mismos de nuestra educación, más acordes
con las finalidades que hoy se pretenden, tal como queda explicado en la
Sección 5. Finalmente, la Sección 6 presenta unos pocos proyectos
que, a mi parecer, sería deseable que nuestra comunidad matemática
fuese realizando para conseguir una educación más sana y
eficaz. La bibliografía al final del trabajo remite a unos pocos
artículos clave, cuyas bibliograflas extensas pueden servir como
fuente de información más profunda.
Por otra parte, la matemática
misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante. De manera
rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su
propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo
ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede
ser una realidad de abordaje sencillo.
El otro miembro del binomio educación-matemática,
no es tampoco nada simple. La educación ha de hacer necesariamente
referencia a lo más profundo de la persona, una persona aún
por conformar, a la sociedad en evolución en la que esta persona
se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los
medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede
o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación
se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas...
La complejidad de la matemática
y de la educación sugiere que los teóricos de la educación
matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente
atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica
rápidamente
mutante de la situación global venga exigiendo.
La educación, como todo
sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio. Esto no es
necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es
la característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre
cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la
mutabilidad de las circunstancias ambientales.
En la educación matemática a nivel internacional apenas se habían producido cambios de consideración desde principios de siglo hasta los años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de renovación en educación matemática, gracias al interés inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemático alemán Félix Klein, con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro país ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al castellano.
En los años 60 surgió
un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón
que el empuje de renovación de aquel movimiento, a pesar de todos
los desperfectos que ha traído consigo en el panorama educativo
internacional, ha tenido, con todo, la gran virtud de llamar la atención
sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema
educativo en matemáticas a todos los niveles. Los cambios introducidos
en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo largo de
la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación
que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.
A continuación quisiera dirigir
mi atención sucesivamente sobre los aspectos más interesantes,
a mi parecer, de esta búsqueda y de algunas respuestas parciales
que van surgiendo en el panorama educativo de la matemática.
3.3. Continuo apoyo en la intuición
directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real
En los años 80 hubo un reconocimiento
general de que se había exagerado considerablemente en las tendencias
hacia la «matemática moderna» en lo que respecta al
énfasis en la estructura abstracta de la matemática. Es necesario
cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación
operativa del espacio y de los mismos símbolos. Es preciso no abandonar
la comprensión e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero
no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo
plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los
objetos matemáticos. Si la matemática es una ciencia que
participa mucho más de lo que hasta ahora se pensaba del carácter
de empírica, sobre todo en su invención, que es mucho más
interesante que su construcción formal, es necesario que la inmersión
en ella se realice teniendo en cuenta mucho más intensamente la
experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge. La
formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde
a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa
histórica o a cada nivel científico, le corresponde su propio
rigor.
Para entender esta interacción
fecunda entre la realidad y la matemática es necesario acudir, por
una parte, a la propia historia de la matemática,
que nos desvela ese proceso de emergencia de nuestra matemática
en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemática,
que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello
se hace obvio cómo la matemática ha procedido de forma muy
semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos,
por tentativas, unas veces fructuosas, otras estériles, hasta que
va alcanzando una forma más madura, aunque siempre perfectible.
Nuestra enseñanza ideal debería tratar de reflejar este carácter
profundamente humano de la matemática, ganando con ello en asequibilidad,
dinamismo, interés y atractivo.
3.4. Los procesos del pensamiento
matemático. El centro de la educación matemática
Una de las tendencias generales más
difundidas hoy consiste en el hincapié en la transmisión
de los procesos de pensamiento propios de la matemática, más
bien que en la mera transferencia de contenidos. La matemática es,
sobre todo, saber hacer, es una ciencia
en la que el método claramente predomina sobre
el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las
cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva,
que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.
Por otra parte, existe la conciencia,
cada vez más acusada, de la rapidez con la que, por razones muy
diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseñanza
de unos contenidos a otros. En la situación de transformación
vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro
que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven
obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar
a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual
tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos
de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se
convierten en lo que Whitehead llamó «ideas inertes»,
ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con
otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los
problemas del presente.
En esta dirección se encauzan
los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas
para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución
autónoma de verdaderos problemas, más bien que la mera transmisión
de recetas adecuadas en cada materia.
3.5. Los impactos de la nueva
tecnología
La aparición de herramientas
tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales está comenzando
a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación
matemática primaria y secundaria adecuadamente, de forma que se
aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es claro que, por diversas
circunstancias tales como coste, inercia, novedad, impreparación
de profesores, hostilidad de algunos... aún no se ha logrado encontrar
moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes
del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma
de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas
reformas. El acento habrá que ponerlo, también por esta razón,
en la comprensión de los procesos matemáticos más
bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra situación
actual ocupan todavía gran parte de la energía de nuestros
alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que
en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación
para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen,
de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que
ya casi es presente.
3.6 Conciencia de la importancia de la motivación
Una preocupación general que
se observa en el ambiente conduce a la búsqueda de la motivación
del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite
al posible interés intrínseco de la matemática y de
sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la
evolución de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad,
por una parte, y la matemática, por otra, se han proporcionado.
Cada vez va siendo más patente
la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran a toda
la persona pueden tener incluso en la vida de la mente en su ocupación
con la matemática. Es claro que una gran parte de los fracasos matemáticos
de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento
inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades
en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción
por parte de sus maestros. Por eso se intenta también, a través
de diversos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento estético,
el placer lúdico que la matemática es capaz de proporcionar,
a fin de involucrarlos en ella de un modo más hondamente personal
y humano.
En nuestro ambiente contemporáneo,
con una fuerte tendencia hacia la deshumanización de la ciencia,
a la despersonalización producida por nuestra cultura computarizada,
es cada vez más necesario un saber humanizado en que el hombre y
la máquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación
matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante
tarea.
4.1.
Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento
matemático. La inculturación a través del aprendizaje
activo.
¿Cómo debería
tener lugar el proceso de aprendizaje matemático a cualquier nivel?
De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creación
de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el matemático
activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización
de la parcela de la realidad de la que se ocupa.
Se trata, en primer lugar, de ponernos
en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos
matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos. Para ello
deberíamos conocer a fondo el contexto histórico que enmarca
estos conceptos adecuadamente. ¿Por qué razones la comunidad
matemática se ocupó con ahínco en un cierto momento
de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploración tal
vez por un período de siglos? Es extraordinariamente útil
tratar de mirar la situación con la que ellos se enfrentaron con
la mirada perpleja con que la contemplaron ínicialmente. La visión
del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto se parece
en demasiadas ocasiones a una novela policiaca que aparece ya destripada
desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de otra
forma más razonable podría ser verdaderamente apasionante.
Normalmente la historia nos proporciona
una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los
problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia,
nos da luces para entender la razón que ha conducido al hombre para
ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución
de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el
lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes
que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorías
que de ellas han
derivado...
En otras ocasiones el acercamiento
inicial se puede hacer a través del intento directo de una modelización
de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras
matemáticas en cuestión. Se puede acudir para ello a las
otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a circunstancias
de la realidad cotidiana o bien a la presentación de juegos tratables
matemáticamente, de los que en más de una ocasión
a lo largo de la historia han surgido ideas matemáticas de gran
profundidad, como veremos más adelante.
Puestos con nuestros estudiantes delante
de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de
las ideas con las que queremos ocupamos, deberemos tratar de estimular
su búsqueda autónoma, su propio descubrimiento paulatino
de estructuras matemáticas sencillas, de problemas interesantes
relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.
Es claro que no podemos esperar que
nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró
tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes.
Pero es cierto que la búsqueda con guía, sin aniquilar el
placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, así como la detección
de técnicas concretas, de estrategias útiles de pensamiento
en el campo en cuestión y de su transmisión a los estudiantes.
La teoría, así concebida,
resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho más fácilmente
asimilable. Su aplicación a la resolución de los problemas,
que en un principio aparecían como objetivos inalcanzables, puede
llegar a ser una verdadera fuente de
satisfacción y placer intelectual, de asombro
ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una fuerte
atracción hacia la matemática.
4.2. Sobre el papel de la
historia en el proceso de formación del matemático
A mi parecer, un cierto conocimiento
de la historia de la matemática, debería formar parte indispensable
del bagaje de conocimientos del matemático en general y del profesor
de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y,
en el caso de este último, no sólo con la intención
de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza,
sino primariamente porque la historía le puede proporcionar una
visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática,
de lo cual suele estar también el matemático muy necesitado.
La visión histórica
transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento
buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones con genuina pasión por
hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera
vez dieron con ellas. Cuántos de esos teoremas, que en nuestros
días de estudiantes nos han aparecido como verdades que salen de
la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros
al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría, después
de haberla estudiado más a fondo, incluído su contexto histórico
y biográfico.
La perspectiva histórica nos
acerca a la matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces
penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también
de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades
de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos,
por motivaciones muy distintas.
Desde el punto de vista del conocimiento
más profundo de la propia matemática, la historia nos proporciona
un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva,
lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemático
técnico, como para el que enseña. Si cada porción
de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrito
el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación,
veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de
la misma página o del mismo párrafo. Conjuntos, números
naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales,
complejos, ... decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia
adelante, otra vez hacia atrás, vertiginosamente. No se trata de
que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia.
El orden lógico no es necesariamente el orden histórico,
ni tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos. Pero
el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas, para:
- comprender
mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en
la elaboración de las ideas matemáticas, y a través
de ello las de sus propios alumnos;
- entender
mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la
sinfonía matemática;
- utilizar
este saber como una sana guía para su propia pedagogía.
El conocimiento de la historia proporciona
una visión dinámica de la evolución de la matemática.
Se puede barruntar la motivación de las ideas
y desarrollos en el inicio. Ahí es donde se pueden buscar las ideas
originales en toda su sencillez y originalidad, todavía con
su sentido de aventura, que muchas veces se hace desaparecer
en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz:
«Con respecto a todos los temas básicos del
cálculo infinitesimal...teorema del valor medio, serie de Taylor,...
nunca se suscita la cuestión ¿Por qué así precisamente?
o ¿Cómo se llegó a ello? Y sin embargo, todas estas
cuestiones han tenido que ser en algún tiempo
objetivos de una intensa búsqueda, respuestas
a preguntas candentes... Si volviéramos a los orígenes de
estas ideas, perderían esa apariencia de muerte y de hechos disecados
y volverían a tomar una vida fresca y pujante».
Tal visión dinámica
nos capacitaría para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo
educativo:
- posibilidad
de extrapolación hacia el futuro;
- inmersión
creativa en las dificultades del pasado;
- comprobación
de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción
de la ambigüedad, obscuridad, confusión iniciales, a media
luz, esculpiendo torsos inconclusos...
Por otra parte, el conocimiento de
la historia de la matemática y de la biografía de sus creadores
más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter
profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de
las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, ... así
como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofía,
la matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido
unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos
enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes,
por la forma misma en que la matemática suele ser presentada, como
si fuera inmune a los avatares de la historia.
Desgraciadamente, tanto para el estudiante
que desea sumergirse en la investigación matemática como
para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones a la enseñanza,
la historia de la matemática suele estar totalmente ausente de la
formación universitaria en nuestro país. A mi parecer sería
extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseñamos
se beneficiaran de la visión histórica, como he dicho arriba,
y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve
panorama global del desarrollo histórico de la ciencia que les va
a ocupar toda su vida. Mientras llega una situación razonable yo
me atrevería a aconsejar:
- la lectura
atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que
van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness...);
- acudir,
para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes
originales, especialmente de los clásicos;
- leer las
biografías de los grandes matemáticos, al menos en la forma
sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography.
4.3. Sobre la utilización
de la historia en la educación matemática
El valor del conocimiento histórico
no consiste en tener una batería de historietas y anécdotas
curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el
camino.
La historia se puede y se debe utilizar,
por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del
modo más adecuado. Quien no tenga la más mínima idea
de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha recorrido
hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada
del número complejo, se sentirá tal vez justificado para
introducir en su enseñanza los números complejos como «el
conjunto de los pares de números reales entre los cuales se establecen
las siguientes operaciones...».
Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran,
llegaron a dar ese rigor a los números complejos y que a pesar de
ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntará
muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos
en la estructura cristalizada antinatural y dificil de tragar, que sólo
después de varios siglos de trabajo llegaron a tener.
Los diferentes métodos del
pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento
algebraico, la geometría analítica, el cálculo
infinitesimal, la topología la probabilidad,... han surgido en circunstancias
históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en
la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por
justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar.
La historia debería ser un
potente auxiliar para objetivos tales como:
- hacer patente
la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas;
- enmarcar
temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su
motivación, precedentes;
- señalar
los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación
en la que se encuentran actualmente;
- apuntar
las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias,
en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de
ideas importantes.
4.4. La heurística
("problem solving") en la enseñanza de la matemática
La enseñanza a través
de la resolución de problemas es actualmente el método más
invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje
activo y de inculturación mencionado en el punto 4.1. Lo que en
el fondo se persigue con ella es transmitir en lo
posible de una manera sistemática los procesos
de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.
Tengo un verdadero problema cuando
me encuentro en una situación desde la que quiero llegar a otra,
unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco
el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto están,
por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas.
La apariencia exterior puede ser engañosa. También en un
ejercicio se expone una situación y se pide que se llegue a otra:
Escribir el coeficiente de x7
en el desarrollo de (1 +x)32.
Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas
del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una sección
sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto notable.
El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver
un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer
es aprenderse la lección primero.
La enseñanza por resolución
de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en
los procesos de aprendizaje y toma los contenidos
matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado,
como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas
de pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más
importante:
- que el alumno
manipule los objetos matemáticos;
- que active
su propia capacidad mental;
- que ejercite
su creatividad;
- que reflexione
sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente;
- que, a ser
posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su
trabajo mental;
- que adquiera
confianza en sí mismo;
- que se divierta
con su propia actividad mental;
- que se prepare
así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida
cotidiana;
- que se prepare
para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
¿Cuáles son las ventajas
de este tipo de enseñanza? ¿Por qué esforzarse para
conseguir tales objetivos? He aquí unas cuantas razones interesantes:
- porque es
lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad
autónoma para resolver sus propios problemas;
- porque el
mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación
a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos;
- porque el
trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador
y creativo;
- porque muchos
de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal,
no limitado al mundo de las matemáticas;
- porque es
aplicable a todas las edades.
¿En qué consiste la
novedad? ¿No se ha enseñado siempre a resolver problemas
en nuestras clase de matemáticas? Posiblemente los buenos profesores
de todos los tiempos han utilizado de forma espontánea los métodos
que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo
por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes
fases:
exposición
de contenidos - ejemplos - ejercicios sencillos - ejercicios más
complicados - ¿problemas?
La forma de presentación de
un tema matemático basada en el espíritu de la resolución
de problemas debería proceder más o menos del
siguiente modo:
Propuesta de la situación problema
de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos,
juegos...)
- manipulación
autónoma por los estudiantes
- familiarización
con la situación y sus dificultades
- elaboración
de estrategias posibles
- ensayos
diversos por los estudiantes
- herramientas
elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)
- elección
de estrategias
- ataque y
resolución de los problemas
- recorrido
crítico (reflexión sobre el proceso)
- afianzamiento
formalizado (si conviene)
- generalización
- nuevos problemas
- posibles
transferencias de resultados, de métodos, de ideas...
En todo el proceso el eje principal
ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando
al alumno en situación de participar, sin aniquilar
el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos
han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado
son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento,
adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas
inmotivadas que se pierden en el olvido....
En mi opinión el método
de enseñanza por resolución de problemas presenta algunas
dificultades que no parecen aún satisfactoriamente resueltas en
la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma práctica
de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes
que lo integran, la componente heurística, es decir, la atención
a los procesos de pensamiento, y los contenidos específicos del
pensamiento matemático.
A mi parecer existe en la literatura
actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atención primordial
se centra en los aspectos heurísticos, puestos
en práctica sobre contextos diversos, unos más puramente
lúdicos, otros con sabor más matemático. Algunas de
estas obras cumplen a la perfección, en mi opinión, su cometido
de transmitir el espíritu propio de la actitud de resolución
de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes
adecuadas para la ocupación con este tipo de actividad. Sin embargo,
creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por producir
obras que efectivamente apliquen el espíritu de la resolución
de problemas a la transmisión de aquellos contenidos de la matemática
de los diversos niveles que en la actualidad pensamos que deben estar presentes
en nuestra educación.
Lo que suele suceder a aquellos profesores
genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisión
de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia,
tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de
los que gira su enseñanza, los contenidos y los procesos.
Los viernes ponen el énfasis en los procesos de
pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas
de su materia, y los demás días de la semana se dedican con
sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse
para nada de lo que el viernes pasado practicaron. Sería
muy necesario que surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran
en un todo armonioso ambos aspectos de nuestra educación matemática.
De todos modos, probablemente se puede
afirmar que quien está plenamente imbuído en ese espíritu
de la resolución de problemas se enfrentará de una manera
mucho más adecuada a la tarea de transmitir competentemente los
contenidos de su programa. Por ello, considero importante trazar, aunque
sea someramente, las líneas de trabajo que se pueden seguir a fin
de conseguir una eficaz preparación en el tema.
4.5. Sobre la preparación
necesaria para la enseñanza de la matemática a través
de la resolución de problemas
La preparación para este tipo
de enseñanza requiere una inmersión personal, seria y profunda.
No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino
de adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente.
A mi parecer, esta tarea se realiza
más efectivamente mediante la formación de pequeños
grupos de trabajo. El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de
ventajas importantes:
- proporciona
la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las
distintas formas de afrontar una misma situación-problema;
- se puede
aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el
papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinámica;
- el grupo
proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera puede
resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere;
- el trabajo
con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el método
es capaz de producir en uno mismo y en otros;
- el trabajo
en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros
estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes
que funcionan en diferentes circunstancias y personas.
Algunos de los aspectos que es preciso
atender en la práctica inicial adecuada son los siguientes:
- exploración
de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros, a
fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolución
de problemas;
- práctica
de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo;
- exploración
de las aptitudes y defectos propios más característicos,
con la elaboración de una especie de autorretrato heurístico;
- ejercicio
de diferentes métodos y alternativas;
- práctica
sostenida de resolución de problemas con la elaboración de
sus protocolos y su análisis en profundidad.
4.6. Diseño de
una reunión de trabajo en grupo
Me parece que puede resultar útil
en este punto sugerir un posible diseño para una reunión
de trabajo en grupo según un esquema que yo mismo he practicado
en diferentes ocasiones con provecho razonable.
Un equipo de trabajo puede constar
de cinco o seis personas. Se podrían reunir una vez por semana durante
un buen periodo, como de un año. Una sesión típica
puede durar una hora y media. La sesión tiene dos partes bien diferenciadas,
siendo la segunda la verdaderamente importante. La primera parte tiene
por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-prácticos
del grupo.
Primera parte (media hora).
Uno de los miembros del equipo ha preparado, mediante lecturas adecuadas,
un tema bien concreto de naturaleza teórico-práctica, que
podría consistir, por ejemplo, en el estudio de los bloqueos mentales
de naturaleza afectiva. Lo expone en 20 minutos y
se establece un periodo de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones,
de 10 minutos.
Segunda parte (una hora). Una
de las personas del grupo va a actuar en esta segunda parte como secretario,
observador y seleccionador de problemas. Otra de ellas actuará como
moderador. Los papeles de los componentes del grupo serán desempeñados
por turno en diferentes reuniones.
El secretario para esta reunión
ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas que propone al
resto. Es conveniente que sean verdaderos problemas, pero que al mismo
tiempo no excedan la capacidad del grupo de resolverlos en un tiempo sensato.
Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas
de resolver los problemas, pues aunque durante el proceso tendrá
que actuar meramente como observador, al final deberá él
mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el grupo.
Hay que recalcar que la finalidad
principal de la actividad que el grupo va a realizar puede quedar perfectamente
cumplida aunque los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin
embargo, desde el punto de vista de la motivación, que los problemas
elegidos, por una parte, constituyan un verdadero reto, pero que al mismo
tiempo sean susceptibles de solución por el grupo.
La misión del secretario-observador,
aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir
anotando los puntos más importantes del camino que sigue el resto
del grupo en busca de la solución del problema. El es el encargado
de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas han de
ayudar muy sustancialmente para la reflexión final que ha de seguir
a esta etapa de trabajo. En general, permanecerá en silencio, cosa
nada fácil de llevar a cabo, pero parece conveniente que intervenga
en alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo, para preguntar
sobre el origen de una nueva idea de algún componente del grupo,
que probablemente se alejaría de su memoria si se espera al período
de reflexión al final del proceso.
Como antes ha quedado dicho, de los
otros cuatro o cinco componentes del grupo uno actua como moderador para
esta reunión de trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador
van rotando en cada sesión. La forma de proceder del grupo hacia
la resolución del problema puede ser muy variada y sería
conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija
el que mejor se le adapta.
Lo verdaderamente importante es que
se cree una atmósfera en el grupo libre de inhibiciones, libre de
competitividad, en que cada uno esté deseoso de aportar sin imponer,
abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda parecer más
estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas iniciadas
por los otros y viendo con gusto cómo los otros van perfeccionando
las ideas propuestas por él. La tarea esencial del moderador es
precisamente mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace
falta, la aportación del que tiende a callar demasiado e inhibiendo
con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo
parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas vías cuando todo
parece cerrado...
El esquema concreto de trabajo puede
tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como marco
muy general:
- El grupo
se familiariza con el problema.
- En busca
de estrategias posibles.
- El grupo
selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más adecuadas.
- El grupo
reflexiona sobre el proceso que ha seguido.
En la bibliografia al final de estas
notas se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de proporcionar
una descripción más detallada de esta forma de proceder.
4.7. Modelización y
aplicaciones en la educación matemática
Existe en la actualidad una fuerte
corriente en educación matemática que sostiene con fuerza
la necesidad de que el aprendizaje de las matemáticas no se realice
explorando las construcciones matemáticas en si mismas, en las diferentes
formas en que han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo
contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y les siguen
dando su motivación y vitalidad.
Tal corriente está en plena
consonancia con las ideas antes desarrolladas y parece como un corolario
natural de ellas. La matemática, como hemos visto, se origina como
un intento por explorar, en su peculiar modo, las diferentes estructuras
complejas que se prestan a ello. La creación del matemático
se realiza espontáneamente en este intento por dominar aspectos
matematizables de la realidad. La educación matemática debería
tener por finalidad principal la inculturación, tratando de incorporar
en ese espíritu matemático a los más jóvenes
de nuestra sociedad.
Parece obvio gue si nos limitáramos
en nuestra educación a una mera presentación de los resultados
que constituyen el edificio puramente teórico que se ha desarrollado
en tal intento, dejando a un lado sus orígenes en los problemas
que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales problemas,
estaríamos ocultando una parte muy interesante y sustancial de lo
que la matemática verdaderamente es. Aparte de que estaríamos
con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización
y las aplicaciones poseen.
4.8. El papel del juego
en la educación matemática
La actividad matemática ha
tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha
dado lugar a una buena parte de las creacciones más interesantes
que en ella han surgido.
El juego, tal como el historiador
J. Huizinga lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas
características peculiares:
- es una actividad
libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad
que se ejercita por sí misma, no por el provecho que
de ella se pueda derivar;
- tiene una
cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano,
como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también
el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación,
de evasión, de relajación;
- el juego
no es broma;el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego;
- el juego,
como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación
y de su ejecución;
- el juego
se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio;
- existen
ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación
y catarsis causan gran placer;
- el juego
da origen a lazos especiales entre quienes lo practícan;
- a través
de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo
y armonía.
Un breve análisis de lo que
representa la actividad matemática basta para permitirnos comprobar
que muchos de estos rasgos están bien presentes
en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también
juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico,
instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática
uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura.
Si el juego y la matemática,
en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto
que también participan de las mismas características en lo
que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante
cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para
transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo
que las matemáticas pueden generar y para proporcionar
una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad
matemática.
Un juego comienza con la introducción
de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya
función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente
de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una
teoría matemática por definición implícita:
«Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los
llamaremos puntos, los del segundo rectas...» (Hilbert, Grundlagen
der Geometrie).
Quien se introduce en la práctica
de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas,
relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemáticas
compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos
con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría
matemática.
Quien desea avanzar en el domínio
del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias
que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los
hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente
accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos
del campo.
Una exploración más
profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento
de los caminos peculiares de proceder de los que han
sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un
nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición
especial, puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos
iniciales del juego. Esto corresponde en matemáticas a la fase en
la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los
grandes teoremas y métodos que han sido creados
a través de la historia. Son los procesos de las mentes más
creativas que están ahora a su disposición para que él
haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas.
Más tarde, en los juegos más sofisticados,
donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata
de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han
sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas
con los problemas abiertos de la teoría.
Finalmente, hay unos pocos que son
capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones
capaces de motivar estrategias y formas innovadoras
de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías
matemáticas, fértiles en ideas y problemas,
posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas
abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la realidad más
profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.
La matemática y los juegos
han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos.
Es frecuente en la historia de las matemáticas
la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma
lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la
antigüedad se puede citar el I Ching como
origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se
puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano,
Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli...
Del valor de los juegos para despertar
el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin
Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida,
interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en
sus columnas de la revista americana Scientific American: "Con seguridad
el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un
intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza
matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores
aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas"
(Carnaval Matemático, Prólogo).
El matemático experto comienza
su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo
espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar
un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda
curiosidad ante el misterio que poco a poco
espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento.
¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación
pedagógica a las matemáticas?
A mi parecer, el gran beneficio de
este acercamiento lúdico consiste en su potencia para transmitir
al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas
matemáticos.
La matemática es un grande
y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo tiempo una
obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración
del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje
se puede utilizar con gran provecho, como hemos visto anteriormente, sus
aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos
más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con otros
aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino
puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer
matemáticas como un juego bien escogido.
4.9. Importancia actual
de la motivación y presentación
Nuestros alumnos se encuentran intensamente
bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosas y
atrayentes. Es una fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la
enseñanza cuando tratamos de captar una parte sustancial de su atención.
Es necesario que lo tengamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema
educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vídeo,
la televisión, la radio, el periódico, el cómic, la
viñeta, la participación directa...
Pienso que estamos aun muy lejos de
saber aprovechar para nuestra enseñanza las posibilidades abiertas
a través de los medios técnicos de los que ya disponemos
actualmente. Una pequeña sugerencia práctica puede servir
de ejemplo. En nuestro entorno tenemos profesores excelentemente preparados
para servir de ejemplos sobre cómo realizar con eficacia la enseñanza
de diversas materias que resultan para la mayoría un verdadero rompecabezas,
por ejemplo, la probabilidad, o sobre cómo introducir y motivar
adecuadamente temas específicos del cálculo o de la geometría
a diferentes niveles. Estos profesores se encuentran a menudo llamados
a muchos lugares diferentes para que repitan las mismas ideas sobre el
tema. ¿No sería mucho más efectivo y menos costoso
que algún organismo que no tuviera que ir en busca del provecho
económico produjera una serie de vídeos con estas experiencias
y las hiciera asequibles a un mayor número de personas?
En algunas regiones de nuestro país,
los profesores de los diferentes niveles se han percatado de la importancia
que puede tener un cambio efectivo que se puede realizar paulatinamente
en la sociedad a través de los medios de comunicación actuales
en la percepción de lo que la matemática es en realidad.
Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguiéndose en
muchos casos a través de interesantes problemas, mediante la difusión
de parcelas de la historia de la matemática o de sus aplicaciones,
la involucración de familias y poblaciones enteras en actividades
que en principio tal vez fueron planeadas para los estudiantes.
4.10. Fomento del gusto
por la matemática
La actividad física es un placer
para una persona sana. La actividad intelectual también lo es. La
matemática orientada como saber hacer autónomo, bajo una
guía adecuada, es un ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte
de los niños más jóvenes pueden ser introducidos de
forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio
razonable de un conocimiento matemático. Lo que
suele suceder es que un poco más adelante nuestro sistema no ha
sabido mantener este interés y ahoga en abstracciones inmotivadas
y a destiempo el desarrollo matemático del niño. El gusto
por el descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador
para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por
los que por supuesto hay que pasar. La apreciación de las posibles
aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en las
tecnologías actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas
más orientadas hacia la práctica. Otros se sentirán
más movidos ante la contemplación de los impactos que la
matemática ha ejercido sobre la historia y
filosofía del hombre, o ante la biografía de tal o cual matemático
famoso.
Es necesario romper, con todos los
medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad,
proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de
muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa,
inútil, inhumana y
muy dificil.
5.1. ¿Un desplazamiento
hacia la matemática discreta?
La matemática del siglo XIX
y la del XX ha sido predominantemente la matemática del continuo
en la que el análisis, por su potencia y repercusión en las
aplicaciones técnicas, ha jugado un papel predominante.
El advenimiento de los ordenadores,
con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad,
potencia de representación gráfica, posibilidades para la
modelización sin pasar por la formulación matemática
de corte clásico... ha abierto multitud de campos diversos, con
origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos anteriores,
sino en otras muchas ciencias, tales como la economía, las ciencias
de la organización, biología... cuyos problemas resultaban
opacos, en parte por las enormes masas de información
que había que tratar hasta llegar a dar con las
intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a procesos
de resolución de los difíciles problemas propuestos en estos
campos.
Por otra parte, el acento en los algoritmos
discretos, usados en las ciencias de la computación, en la informática,
así como en la modelización de diversos fenómenos
mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de énfasis en
la matemática actual hacia la matemática discreta. Ciertas
porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar
parte con éxito de un programa inicial de matemática. La
combinatoria clásica, así como los aspectos modernos de ella,
tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria,
podrían ser considerados como candidatos adecuados. La teoría
elemental de números, que nunca llegó a desaparecer
de los programas en algunos países, podría
ser otro.
Se han realizado intentos por introducir
estos elementos y otros semejantes pertenecientes a la matemática
discreta en la enseñanza matemática
inicial. Sucede que esto parece ser sólo posible a expensas de otras
porciones de la matemática con más raigambre, de las que
no se ve bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio
que el sabor de la matemática del futuro será bastante diferente
del actual por razón de la presencia del ordenador, aún no
se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos de la
enseñanza primaria y secundaria.
5.2. Impactos en los
contenidos de los métodos modernos de cálculo
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente
en nuestras escuelas elementales dedicar una gran energía y largo
tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis
cifras por otro de cuatro. O a la extracción a mano de la raíz
cuadrada de un número de seis cifras
con tres cifras decimales exactas. O, en cursos superiores,
al manejo con destreza y rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado
laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo
ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía
y ese tiempo están mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones
son muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos pero como
destrezas rutinarias son superfluos.
En la actualidad, año 1991,
en nuestra segunda enseñanza, así como en los primeros años
de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos gran energía
y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad
en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de
sistemas lineales, multiplicación de matrices, representación
gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica...
Ya desde hace unos años existen
en el mercado calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más
que apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada
de (l+(1/x))1/x, de
dar su polinomio de Taylor hasta el término de tercer grado, de
representar
gráficamente esta función en un cierto
entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral entre 2 y
3 con gran aproximación. La inversión
de una matriz 8x8 le ocupa a la máquina unos pocos segundos, una
porción mínima del tiempo que se tarda en darle los datos.
El cálculo de la desviación típica de una gran masa
de datos es una operación inmediata. Las soluciones de una ecuación
de séptimo grado, incluídas las raíces complejas,
son proporcionadas por la máquina en un abrir y cerrar de ojos.
Siendo así las cosas, es claro
que nuestra enseñanza del cálculo, del álgebra, de
la probabilidad y estadística, ha de transcurrir en el futuro por
otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habrá que poner
el acento en la comprensión e interpretación de lo que se
está haciendo, pero será superflua la energía dedicada
a adquirir agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha
mayor rapidez y seguridad. En la programación
de nuestra enseñanza habremos de preguntarnos constantemente dónde
vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo inteligente y cuáles
son las rutinas que podemos confiar a nuestras máquinas. El progreso
de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas
operaciones que en un principio han representado un verdadero desafio para
nuestra mente y, si es posible, entregar la realización de tales
rutinas a nuestras máquinas. Con ello podemos liberar lo mejor de
nuestra capacidad mental a la resolución de los problemas que todavía
son demasiado profundos para las herramientas de que disponemos. No temamos
que tales problemas vayan escaseando.
La experimentación en matemáticas,
que se hace posible en campos cada vez más intrincados gracias a
la presencia del ordenador y de la calculadora de bolsillo, es otro de
los retos para el futuro de nuestra enseñanza. ¿Converge
la sucesión an
(n1/n - (n + 1)1/(1+n))?
Con la calculadora he escrito la fórmula
que proporciona a y luego le he pedido que calcule unos cuantos valores
significativos. Responde:
a100
= 0,037421803; a1000=
0,00594325; a10000
= 0,0008217,...
Este experimento me da confianza para
conjeturar que converge a 0, aunque lentamente, y es bien sabido lo mucho
que una conjetura correcta facilita la solución de un problema.
Por otra parte la calculadora me proporciona la gráfica de la función:
y= x (x1/x - (x + 1)1/(x+1) )
que viene a reforzar nuestra conjetura.
Por otra parte la capacidad para el
cálculo infinitesimal, el álgebra, la estadística,
la representación gráfica, la modelización,... de
esta calculadora que realiza cálculo simbólico, además
del numérico, y por supuesto mucho más la de los ordenadores
actuales, potencian claramente las posibilidades de la matemática
elemental para las aplicaciones realistas que hasta ahora estaban vedadas
en nuestros cursos por el exceso de tedioso cálculo simbólico
y numérico que habría que efectuar a mano.
5.3. Hacia una recuperación
del pensamiento geométrico y de la intuición espacial
Como reacción a un abandono
injustificado de la geometría intuitiva en nuestros programas, del
que fue culpable la corriente hacia la «matemática moderna»,
hoy se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico,
científico, histórico, volver a recuperar el contenido espacial
e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo
que se refiere a la geometría.
Es evidente que desde hace unos veinte
años el pensamiento geométrico viene pasando por una profunda
depresión en nuestra enseñanza matemática inicial,
primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no
me refiero a la enseñanza de la geometría más o menos
fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más
básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la
matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del
hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive,
la figura, la forma fisica.
Esta situación, que se hace
patente sin más que ojear nuestros libros de texto y los programas
de nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro
entorno. En realidad, es un fenómeno universal que, a mi parecer,
se debe en buena medida a la
evolución misma de la matemática desde
comienzos de siglo, más o menos.
La crisis de los fundamentos de principio
de siglo empujó al matemático hacia el formalismo, hacia
el énfasis sobre el rigor, a una cierta huida de la intuición
en la construcción de su ciencia. Lo que fue bueno para la fundamentación
fue considerado por muchos bueno también para la transmisión
de conocimientos. Las consecuencias para la enseñanza de las matemáticas
en general fueron malas, pero especialmente nefastas resultaron para el
pensamiento geométrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal
vez juntamente con una mala interpretación
de los análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva
del conocimiento del niño, se basa el énfasis sobre la teoría
de conjuntos y la búsqueda de rigor. La geometría, a nivel
elemental, es difícil de formalizar adecuadamente y así,
en este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento geométrico,
la intuición espacial y la fuente más importante que por
muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y
resultados interesantes abordables con un número pequeño
de herramientas fácilmente asimilables.
El siglo XIX fue el siglo de oro del
desarrollo de la geometría elemental, del tipo de geometría
al que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza
inicial de la matemática, que vivía a la sombra de creaciones
muy interesantes y muy de moda de la matemática superior, tales
como la geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría
sintética, geometrías no euclídeas... El mismo sentido
geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares del
siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría
de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria,
algunos capítulos de la teoría de optimización, de
la topología... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se
pueden señalar: una fuerte relación con la intuición
espacial, una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito
de desarrollos analíticos excesivos.
De estas materias, cuya profundidad
se va manifestando cada vez más claramente, no se ha hecho eco en
absoluto la enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta
a nivel superior y a nivel de matemática recreativa. Pero esta matemática
recreativa, en nuestro país, no ha encontrado aún el camino
hacia la escuela. Paradójicamente, no permitimos jugar a quien más
le gusta y a quien más se beneficiaria con el juego matemático.
La necesidad de una vuelta del espíritu
geométrico a la enseñanza matemática es algo en lo
que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo, aún no
es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es necesario evitar llegar
a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la geometría
del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX. También
hay que evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría
axiomática. Posiblemente una orientación sana podría
consistir en el establecimiento de una base de operaciones a través
de unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se podrían
levantar desarrollos locales interesantes de la geometría
métrica clásica, elegidos por su belleza y profundidad. Las
obras elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en
este terreno.
5.4. Auge del pensamiento
aleatorio. Probabilidad y estadística
La probabilidad y la estadística
son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras
ciencias especificas. Deberían constituir una parte importante del
bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad. Es éste
un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y,
efectivamente, son muchos los países que incluyen en sus programas
de enseñanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza
se lleva a cabo con la eficacia deseada. En España, este fenómeno,
a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias
en cuestión y a una cierta carencia de preparación adecuada
de los profesores para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de
enseñanza de ellas.
A continuación quisiera presentar muy someramente unas pocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que, en mi opinión, nuestra comunidad matemática podría y debería prestar una particular atención.
6.1. Atención
a la formación inicial y permanente de los profesores de matemáticas
En 1908, Félix Klein escribía en la
introducción de sus lecciones sobre Matemática elemental
desde un punto de vista superior: «...durante mucho tiempo la
gente de la universidad se preocupaba exclusivamente de sus ciencias, sin
conceder atención alguna a las necesidades de las escuelas, sin
cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la matemática
de la escuela. ¿Cuál era el resultado de esta práctica?
El joven estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo,
al principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en absoluto
las cosas que le habían ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba
estas cosas rápida y totalmente. Cuando, después de acabar
su carrera, se convertía en profesor de enseñanza media se
encontraba de repente en una situación en la que se suponía
que debía enseñar las matemáticas elementales tradicionales
en el viejo modo pedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de
percibir conexión alguna entre su tarea y sus matemáticas
universitarias, pronto recurría a la forma de enseñanza garantizada
por el tiempo y sus estudios universitarios quedaban solamente como una
memoria más o menos placentera que no tenía influencia alguna
sobre su enseñanza».
Ha pasado cerca de un siglo y, al
menos en lo que respecta a la formación inicial que nuestros licenciados
reciben no creo que se pueda decir que en nuestro entorno la situación
difiere mucho de estas circunstancias indeseables que Klein describe.
Lo que la sociedad tiene derecho a
esperar de la universidad en lo que respecta a la formación inicial
de aquellas personas a las que les va a confiar la
educación matemática de los más jóvenes se
podría concretar en:
- una componente
científica adecuada para su tarea específica;
- un conocimiento
práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes
y saberes que la actividad matemática comporta;
- un conocimiento
integrado de las repercusiones culturales del propio saber específico.
Cualquiera que estudie atentamente
los programas de estudio de la mayor parte de nuestras universidades podrá
apreciar sus importantes carencias en los aspectos que podrían conducir
a esta formación adecuada de nuestros enseñantes.
A mi parecer, ni los cursos complementarios
añadidos al final de los estudios de Licenciatura, con el objeto
de proporcionar una formación pedagógica razonable ni los
cursillos de formación permanente pueden sustituir razonablemente
la formación intensa que se debería realmente estimular durante
los años de permanencia en la universidad, años en los que
el alumno está mucho más abierto para recibirla.
Pienso que son raras entre nosotros
las universidades que no descuidan abiertamente esta seria obligación
con respecto a la sociedad y que urge poner manos a la obra a fin de remediar
esta situación rápidamente.
6.2. Atención
a la investigación en educación matemática
Como hemos tenido ocasión de
ver, la educación matemática es una actividad interdisciplinar
extraordinariamente compleja, que ha de abarcar saberes
relativos a las ciencias matemáticas y a otras ciencias básicas
que hacen uso de ella, a la psicología, a las ciencias de la educación...
Sólo en tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo,
con tareas de investigación propias, difíciles y de repercusiones
profundas en su vertiente práctica. Se puede afirmar que en el sistema
universitario un tanto inerte de nuestro pais la educación
matemática aún no ha llegado a encontrar una situación
adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formándose
grupos de trabajo en los que se producen resultados importantes.
A mi parecer, es muy necesario, por
lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades
buenos equipos de investigación en educación matemática
que ayuden a resolver los muchos problemas que se presentan en el camino
para una enseñanza
matemática más eficaz.
6.3. Atención
a la educación matemática de la sociedad. Popularización
de la matemática
La sociedad de España se encuentra,
por tradición de siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia
sus componentes humanísticas. En España, cultura parece ser
sinónimo de literatura, pintura, música, ... Muchas de nuestras
personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su
profunda ignorancia respecto de los elementos más básicos
de la matemática y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello
sin pesar ninguno. Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos
aún no se han percatado de que las ciencias, y en particular las
matemáticas, constituyen ya en nuestros días uno de los pilares
básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como
afirma Whitehead, «si la civilización continúa avanzando,
en los próximos dos mil años, la novedad predominante en
el pensamiento humano será el señorío de la intelección
matemática».
Sería muy deseable que todos
los miembros de la comunidad matemática y científica nos
esforzáramos muy intensamente por hacer patente ante la sociedad
la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura.
Una sociedad con el conocimiento cabal de lo que la ciencia representa
para su desarrollo se hará colectivamente más sensible ante
los problemas que la educación de los más jóvenes
en este sentido representa.
En la comunidad matemática
internacional se viene prestando recientemente una gran atención
a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores
de la sociedad hacia los beneficios de todos los órdenes que puede
reportar una cultura que integre, del modo debido, ciencia y matemática.
6.4. Atención
al talento precoz en matemáticas
Es seguro que en nuestras comunidades
escolares existe un cierto número de estudiantes con una dotación
intelectual para las matemáticas verdaderamente excepcional. Son
talentos que pasarán a veces más o menos inadvertidos y más
bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores dediquen la
atención personal que se necesitaría. Son personas que, en
un principio ilusionadas con la escuela, pasan a un estado de aburrimiento,
frustración y desinterés que les conducirá probablemente
al adocenamiento y a la apatía, tras un periodo escolar de posible
gran sufrimiento.
Por otra parte, son talentos que podrían
rendir frutos excepcionales para el bien común de nuestra sociedad,
si no se malograran, mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultural,
científico y tecnológico del país. Constituye una
gran responsabilidad social la indudable pérdida de talento que
causa su desatención. En la actualidad ningún organismo,
ni público ni privado, presta atención continuada a la tarea
de detectar, estimular y orientar el talento extraordinario y precoz en
matemáticas, así como tampoco en ninguna otra de las ciencias.
Existe, y con mucha justificación, una atención, apoyo y
cuidado especiales con respecto a la enseñanza del infradotado,
pero pienso que apenas se ha prestado atención alguna a los problemas
propios de los talentos precoces en nuestros paises.
Se puede pensar con cierto fundamento
que el talento precoz en matemáticas es más fácil
de detectar y estimular que en otras ciencias. De hecho, existen desde
hace mucho tiempo proyectos realizados con éxito en un buen número
de países. Hay diversos caminos para encauzar el problema y entre
ellos los hay que no son de un coste excesivo, especialmente si se tiene
en cuenta el rendimiento a largo plazo de una actuación bien llevada.
Es posible, a juzgar por el efecto que en paises de nuestro ámbito
cultural iberoamericano ha tenido la emergencia de unas pocas personalidades
de extraordinario talento en el desarrollo matemático del país,
que una acción sostenida de detección y estimulo del talento
matemático precoz podría colocar nuestro país en tiempo
razonable a una altura matemática y científica mucho más
elevada.