1. Hallar con 6 dígitos significativos las raíces de laNinguno de los estudiantes hace aspaviento alguno. Cada uno
ecuación x^3-2cosx+1'9=0.
2. Calcular con 4 dígitos significativos los coeficientes del
polinomio P(x) de interpolación de grado 4 que se ajusta a los
datos siguientes P(2'3)=3'57, P(4'5)=2'35, P(5'32)=6'21,
P(21'3)=5'22, P(12'37)=8'73.
3. Representar la curva dada en paramétricas por las
ecuaciones x(t)=(3t -1)/(t-2), y(t)=(5t -3)/(t-3), hallando las
ecuaciones de todas sus asíntotas así como los máximos, mínimos
y demás puntos notables de la curva.
4. En cuatro triángulos bien diferentes dibujar el círculo
inscrito, los tres exinscritos y el círculo que pasa por los tres
puntos medios de los lados. ¿Qué conclusión se obtiene de este
experimento?
5. Desde lo alto de una torre de 100 metros de altura se
pretende lanzar un proyectil en dirección Norte a velocidad 1 m/s
de modo que el alcance al llegar al suelo sea máximo. Calcular, en
grados, minutos y segundos, el ángulo de tiro con que se ha de
disparar dicho proyectil (tómese g=9'81 m/s^2 ).
6. Demostrar que para todo número natural n se verifica1^4+2^4 +3^4 +...+n^4 = 7. Obtener una primitiva de la función
n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n-1)/30
1/(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)
descomponiendo la fracción algebraica propuesta en fracciones
simples.
Tiempo: 1 hora. Los resultados se presentarán en un disco,indicando claramente los pasos por los que se ha procedido.
PAPELES
DIVERSOS DE LOS SISTEMAS SIMBOLICOS
Los programas de cálculo
simbólico actuales admiten papeles
muy variados en las interacciones entre los tres elementos
fundamentales
[alumnos]
[profesor]
[instrumentos didácticos]
que constituyen el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la
matemática.
Por supuesto, el programa es
un potente, rápido y versátil
auxiliar en las tareas de cálculo, tanto numérico
como simbólico,
así como en la representación y exploración
gráfica de funciones
que tanto facilita el análisis de situaciones
matemáticas
complejas. Esta facilidad nos permite descargar en el
ordenador
muchas de las tareas de cálculo que aparecen incluso
en una
auténtica demostración matemática.
Por ejemplo, el ejercicio 6
admite una demostración de estructura sencilla
a través del
proceso de inducción completa, pero la comprobación
de que si se
verifica la propiedad enunciada para el número
natural h entonces
se verifica también para h+1 es una tarea rutinaria,
aburrida y un
tanto engorrosa que se puede dejar a cargo del programa.
Pero uno cualquiera de los programas
antes mencionados admite
utilizaciones mucho más ricas que las de mero
manipulador de
números y expresiones matemáticas, sin
más que hacer uso con un
poco de destreza de las facilidades de construcción
de rutinas
propias que el programa mismo ofrece generosamente. Entonces
se le
pueden encomendar cometidos variados directamente relacionados
con
las tareas de aprendizaje a diversos niveles. La presentación
e
introducción de los conceptos sutiles del cálculo,
como el límite,
la derivada, la integral, pueden resultar mucho más
asequibles a
través de las exploraciones numéricas y
gráficas que el programa
realiza con tanta facilidad.
Por ejemplo la idea de derivabilidad
de una función en un
punto se puede transmitir a través de su "linealidad
local", es
decir la curva que representa la función se hace
prácticamente una
recta en las cercanías del punto. Desde el punto
de vista de su
representación, la función será
derivable en ese punto cuando al
hacer un zoom suficientemente cercano de la curva correspondiente
alrededor de ese punto lo que aparece en la pantalla
es
prácticamente un segmento. Su pendiente es precisamente
el valor
de la derivada de la función en ese punto.
Por otra parte, utilizando los
instrumentos del propio
programa, se puede convertir éste de la "caja
negra" que es en su
utilización normal (el usuario no ve cómo
el programa procede para
obtener el resultado que le presenta) en "caja gris"
(el usuario
ve al menos parte de los pasos de realización).
Así por ejemplo se
puede modificar la obtención rápida y directa
que el programa hace
de la integral en el problema 7 de arriba (sólo
apretamos una
tecla y ya obtenemos el resultado final) en un proceso
como el que
se sugiere en el enunciado del problema que tenga lugar
paso a
paso, a través de la descomposición de
la expresión a integrar en
fracciones simples, tal como lo haríamos nosotros
mismos si no
dispusiéramos del programa. O bien se pueden puede
introducir
pasos intermedios como cambios de variable, integración
por
partes, etc. que el programa usa sin dejárnoslos
ver, a menos que
explícitamente se lo pidamos y lo acondicionemos
adecuadamente
para que así lo haga.
Por otra parte, la potencia
y versatilidad de los programas
de cálculo simbólico actuales hacen posible
el acercamiento de
nuestra enseñanza de la matemática al mundo
de las aplicaciones
reales. Para cualquiera que lo examine con un poco de
detenimiento
es claro que el ejercicio 5 del examen anterior (el alcance
máximo
no se obtiene, como alguien a primera vista estaría
tentado a
pensar, mediante la inclinación de tiro de 45º)
sería un ejercicio
de cálculo simbólico y numérico
bastante respetable para cualquier
profesor de análisis infinitesimal sin la utilización
del
ordenador. No es que el ejercicio del aprendizaje de
las técnicas
matemáticas se haya de realizar directamente a
través de
situaciones con datos reales. Más bien la complejidad
de la
realidad aconseja lo contrario. Pero sí es cierto
que, una vez que
el alumno sabe lo que hay que hacer para resolver el
problema
matemático surgido de una situación real,
le resulta mucho más
motivador poder enfrentarse con el problema tal cual
es en la
realidad, una vez que el ordenador le ha liberado de
la impotencia
de realizar por sí mismo los cálculos que
la situación real le
imponen, como ocurre muy a menudo en la enseñanza
tradicional.
Los programas de cálculo
simbólico de un futuro próximo
integrarán en una unidad muchos procesos que ahora
están dispersos
en diferentes programas muy extendidos y que harán
su utilización
en las tareas de la educación matemática
mucho más flexibles y
transparentes. El ejercicio 4 de los arriba propuestos,
por
ejemplo, es de muy fácil realización con
los elementos que
proporciona el actual programa AUTOCAD, utilizado en
diseño, y
conduce enseguida al descubrimiento del teorema de Feuerbach
(el
círculo determinado por los puntos medios de los
lados, el llamado
círculo de los 9 puntos, es tangente a los círculos
inscrito y
exinscritos), pero no sería de realización
fácil con un programa
como el DERIVE. Existen en la actualidad programas diseñados
para
el aprendizaje de diversas parcelas concretas de la matemática
(por ejemplo CABRI-GÉOMÉTRE o bien GEOMETER
SKETCHPAD para
geometría, con el que el ejercicio 4 sería
también sencillo).
INTEGRANDO
EL ORDENADOR EN LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE
Imaginemos la situación
de una clase de matemáticas
de nivel secundario que en un futuro no lejano será
probablemente
usual. Cada uno de los alumnos dispone de un ordenador
en el que
un programa de acceso muy simple les proporciona la realización
fácil y sencilla de todas las rutinas de cálculo
numérico y
simbólico (solución de ecuaciones, límites,
derivación,
integración, cálculo matricial,...), obtención
directa de
parámetros y funcioes estadísticas a partir
de una masa de
datos, representación versátil e interactiva
de curvas y
superficies, la realización precisa de las operaciones
de dibujo
fundamentales,... El programa es de acceso tan fácil
e intuitivo
que los estudiantes han sido capaces de familiarizarse
con su
manejo en la primera semana de curso. (En la actualidad
un
programa como DERIVE es dominado razonablemente por los
alumnos en
unas pocas horas de introducción).
¿Cuál será
el proceso de enseñanza-aprendizaje adecuado a
este entorno? Es obvio que la dinámica de la nueva
situación
didáctica
EL CAMINO A RECORRER
Es claro que nos queda un trecho
considerable por recorrer
para llegar de donde estamos a una situación como
la que se ha
descrito en este artículo. Los obstáculos
más importantes no
provienen tanto de las dificultades para colocarnos en
una
situación material como la señalada, ciertamente
no despreciables,
sino más bien de la inercia profundamente enraizada
en el sistema
educativo de cualquier país y en gran parte connatural
a él. Los
cambios no se realizarán, y más vale que
no se realicen, sin tener
las ideas bien claras de las metas a las que queremos
dirigirnos.
Para ello es necesario invertir un esfuerzo considerable
en
investigar y explorar las diversas alternativas. Por
otra parte,
un cuerpo de docentes preparado en una universidad inerte
ella
misma, donde las ideas de vanguardia en educación
carecen del
estímulo adecuado presentará una resistencia
notable a un cambio
que, si se ha de realizar con éxito, ha de llevarse
a cabo con
carácter global en el sistema y con un amplio
consenso.
Con todo, lo que parece claro
es que la educación matemática
no puede comportarse a largo plazo ignorando la presencia
en el
ambiente y en la cultura social y profesional de instrumentos
con
altas potencialidades específicamente en el terreno
matemático.
Lo que hay de saludable en las nuevas tendencias acabará
por
imponerse y los sistemas educativos que se adapten a
los cambios
razonables más rápidamente lograrán
equipar ventajosamente a las
personas a ellos encomendadas.