Publicado en
VELA MAYOR, Revista de Anaya Educación, 3 (1994), 33-40.
PROGRAMAS DE ORDENADOR EN LA EDUCACION MATEMATICA
                                       Miguel de Guzmán
Indice
¿Ficción o realidad?
Papeles diversos de los sistemas simbólicos
Integrando el ordenador en los procesos de aprendizaje
El camino a recorrer
Bibliografía
     ¿FICCION O REALIDAD?
     Una clase de matemáticas. Estudiantes de 16 ó 17 años. Cada
uno de elllos tiene en su mesa un ordenador de la forma y tamaño
de un libro. El profesor está tratando de comprobar el dominio de
unas cuantas rutinas de sus alumnos. Les propone el siguiente
examen:


     1. Hallar con 6 dígitos significativos las raíces de la
ecuación x^3-2cosx+1'9=0.
     2. Calcular con 4 dígitos significativos los coeficientes del
polinomio P(x) de interpolación de grado 4 que se ajusta a los
datos siguientes P(2'3)=3'57, P(4'5)=2'35, P(5'32)=6'21,
P(21'3)=5'22, P(12'37)=8'73.
     3. Representar la curva dada en paramétricas por las
ecuaciones x(t)=(3t -1)/(t-2), y(t)=(5t -3)/(t-3), hallando las
ecuaciones de todas sus asíntotas así como los máximos, mínimos
y demás puntos notables de la curva.
     4. En cuatro triángulos bien diferentes dibujar el círculo
inscrito, los tres exinscritos y el círculo que pasa por los tres
puntos medios de los lados. ¿Qué conclusión se obtiene de este
experimento?
     5. Desde lo alto de una torre de 100 metros de altura se
pretende lanzar un proyectil en dirección Norte a velocidad 1 m/s
de modo que el alcance al llegar al suelo sea máximo. Calcular, en
grados, minutos y segundos, el ángulo de tiro con que se ha de
disparar dicho proyectil (tómese g=9'81 m/s^2 ).
     6. Demostrar que para todo número natural n se verifica
1^4+2^4 +3^4 +...+n^4 =
n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n-1)/30
     7. Obtener una primitiva de la función
                        1/(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)
descomponiendo la fracción algebraica propuesta en fracciones
simples.
    Tiempo: 1 hora. Los resultados se presentarán en un disco,indicando claramente los pasos por los que se ha procedido.
     Ninguno de los estudiantes hace aspaviento alguno. Cada uno
abre su ordenador y se pone a trabajar pausadamente. Saben que
una hora es más que suficiente para que incluso les quede tiempo
para revisar sus procesos. Apenas utilizan lápiz ni papel. Al cabo
de la hora entregan cada uno su disco al profesor.
     ¿Ficción? No del todo. Los instrumentos de los que hoy día ya
disponemos nos permiten prever que los procesos de enseñanza-
aprendizaje de la matemática a nivel secundario en un futuro muy
próximo nos permitirán llegar sin gran esfuerzo a una situación
como la que deja traslucir el examen descrito.
     Los ejercicios anteriores son, en su mayor parte, meras
rutinas que hoy se hacen sin esfuerzo alguno gracias a los
programas de cálculo simbólico tales como DERIVE, MAPLE,
MATHEMATICA,... Quien los maneja sólo tiene que conocer bien
claramente lo que al programa le ha de preguntar y poseer algún
hábito en proponerle las preguntas al programa de tal modo que
éste actúe de modo eficiente. Todo el esfuerzo del estudiante se
centra en entender la estructura del ejercicio. El esfuerzo
rutinario del cálculo o del dibujo, con todos los riesgos de
equivocaciones e imprecisiones que conlleva, han sido traspasados
al programa, que los realiza con suma rapidez y fiabilidad.

PAPELES DIVERSOS DE LOS SISTEMAS SIMBOLICOS
     Los programas de cálculo simbólico actuales admiten papeles
muy variados en las interacciones entre los tres elementos
fundamentales
                                 [alumnos]

               [profesor]            [instrumentos didácticos]
que constituyen el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
matemática.
     Por supuesto, el programa es un potente, rápido y versátil
auxiliar en las tareas de cálculo, tanto numérico como simbólico,
así como en la representación y exploración gráfica de funciones
que tanto facilita el análisis de situaciones matemáticas
complejas. Esta facilidad nos permite descargar en el ordenador
muchas de las tareas de cálculo que aparecen incluso en una
auténtica demostración matemática. Por ejemplo, el ejercicio 6
admite una demostración de estructura sencilla a través del
proceso de inducción completa, pero la comprobación de que si se
verifica la propiedad enunciada para el número natural h entonces
se verifica también para h+1 es una tarea rutinaria, aburrida y un
tanto engorrosa que se puede dejar a cargo del programa.
     Pero uno cualquiera de los programas antes mencionados admite
utilizaciones mucho más ricas que las de mero manipulador de
números y expresiones matemáticas, sin más que hacer uso con un
poco de destreza de las facilidades de construcción de rutinas
propias que el programa mismo ofrece generosamente. Entonces se le
pueden encomendar cometidos variados directamente relacionados con
las tareas de aprendizaje a diversos niveles. La presentación e
introducción de los conceptos sutiles del cálculo, como el límite,
la derivada, la integral, pueden resultar mucho más asequibles a
través de las exploraciones numéricas y gráficas que el programa
realiza con tanta facilidad.
     Por ejemplo la idea de derivabilidad de una función en un
punto se puede transmitir a través de su "linealidad local", es
decir la curva que representa la función se hace prácticamente una
recta en las cercanías del punto. Desde el punto de vista de su
representación, la función será derivable en ese punto cuando al
hacer un zoom suficientemente cercano de la curva correspondiente
alrededor de ese punto lo que aparece en la pantalla es
prácticamente un segmento. Su pendiente es precisamente el valor
de la derivada de la función en ese punto.
     Por otra parte, utilizando los instrumentos del propio
programa, se puede convertir éste de la "caja negra" que es en su
utilización normal (el usuario no ve cómo el programa procede para
obtener el resultado que le presenta) en "caja gris" (el usuario
ve al menos parte de los pasos de realización). Así por ejemplo se
puede modificar la obtención rápida y directa que el programa hace
de la integral en el problema 7 de arriba (sólo apretamos una
tecla y ya obtenemos el resultado final) en un proceso como el que
se sugiere en el enunciado del problema que tenga lugar paso a
paso, a través de la descomposición de la expresión a integrar en
fracciones simples, tal como lo haríamos nosotros mismos si no
dispusiéramos del programa. O bien se pueden puede introducir
pasos intermedios como cambios de variable, integración por
partes, etc. que el programa usa sin dejárnoslos ver, a menos que
explícitamente se lo pidamos y lo acondicionemos adecuadamente
para que así lo haga.
     Por otra parte, la potencia y versatilidad de los programas
de cálculo simbólico actuales hacen posible el acercamiento de
nuestra enseñanza de la matemática al mundo de las aplicaciones
reales. Para cualquiera que lo examine con un poco de detenimiento
es claro que el ejercicio 5 del examen anterior (el alcance máximo
no se obtiene, como alguien a primera vista estaría tentado a
pensar, mediante la inclinación de tiro de 45º) sería un ejercicio
de cálculo simbólico y numérico bastante respetable para cualquier
profesor de análisis infinitesimal sin la utilización del
ordenador. No es que el ejercicio del aprendizaje de las técnicas
matemáticas se haya de realizar directamente a través de
situaciones con datos reales. Más bien la complejidad de la
realidad aconseja lo contrario. Pero sí es cierto que, una vez que
el alumno sabe lo que hay que hacer para resolver el problema
matemático surgido de una situación real, le resulta mucho más
motivador poder enfrentarse con el problema tal cual es en la
realidad, una vez que el ordenador le ha liberado de la impotencia
de realizar por sí mismo los cálculos que la situación real le
imponen, como ocurre muy a menudo en la enseñanza tradicional.
     Los programas de cálculo simbólico de un futuro próximo
integrarán en una unidad muchos procesos que ahora están dispersos
en diferentes programas muy extendidos y que harán su utilización
en las tareas de la educación matemática mucho más flexibles y
transparentes. El ejercicio 4 de los arriba propuestos, por
ejemplo, es de muy fácil realización con los elementos que
proporciona el actual programa AUTOCAD, utilizado en diseño, y
conduce enseguida al descubrimiento del teorema de Feuerbach (el
círculo determinado por los puntos medios de los lados, el llamado
círculo de los 9 puntos, es tangente a los círculos inscrito y
exinscritos), pero no sería de realización fácil con un programa
como el DERIVE. Existen en la actualidad programas diseñados para
el aprendizaje de diversas parcelas concretas de la matemática
(por ejemplo CABRI-GÉOMÉTRE o bien GEOMETER SKETCHPAD para
geometría, con el que el ejercicio 4 sería también sencillo).

INTEGRANDO EL ORDENADOR EN LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE
     Imaginemos la situación de una clase de matemáticas
de nivel secundario que en un futuro no lejano será probablemente
usual. Cada uno de los alumnos dispone de un ordenador en el que
un programa de acceso muy simple les proporciona la realización
fácil y sencilla de todas las rutinas de cálculo numérico y
simbólico (solución de ecuaciones, límites, derivación,
integración, cálculo matricial,...), obtención directa de
parámetros y funcioes estadísticas a partir de una masa de
datos, representación versátil e interactiva de curvas y
superficies, la realización precisa de las operaciones de dibujo
fundamentales,... El programa es de acceso tan fácil e intuitivo
que los estudiantes han sido capaces de familiarizarse con su
manejo en la primera semana de curso. (En la actualidad un
programa como DERIVE es dominado razonablemente por los alumnos en
unas pocas horas de introducción).
     ¿Cuál será el proceso de enseñanza-aprendizaje adecuado a
este entorno? Es obvio que la dinámica de la nueva situación
didáctica

[profesor]-[alumnos]-[instrumentos didácticos]
hará cambiar necesaria y profundamente tanto los contenidos de la
educación matemática como los procesos de interacción dentro y
fuera de clase.
     Estando presente un programa que es capaz de realizar con
gran comodidad y seguridad todas las rutinas de cálculo numérico y
simbólico ¿qué razones se pueden presentar para proponer como meta
muy importante de la labor del estudiante alcanzar una práctica de
tales rutinas rápida y segura, puesta a prueba en numerosos y
complejos ejercicios, con la consiguiente inversión en tiempo y
esfuerzo?
     El énfasis ahora podrá colocarse en el fomento y estímulo por
parte del profesor de las destrezas superiores que ningún programa
puede transmitir con la misma eficacia que él y que consisten en:
     *introducir al estudiante en el ejercicio continuado de la
experimentación matemática, hecha ahora mucho más fácil a través
de los medios de que dispone, explorando cómodamente regularidades
y pautas de comportamiento de los objetos matemáticos que permitan
adivinar y conjeturar sobre su propia naturaleza más escondida y
hacerla patente a través del ejercicio de la demostración
     *ayudar al estudiante a entender profundamente los problemas
básicos de la teoría, su origen, su motivación, las ideas que los
resuelven, su evolución posterior, las estrategias y rutinas que
estas ideas han originado hasta convertirse en los instrumentos
ágiles y eficaces que hoy son
     *iniciar al estudiante en el ejercicio de la modelización
matemática de situaciones reales, más o menos complejas, en las
que se pueda percibir la enorme potencia y eficacia de las
herramientas intelectuales de que va disponiendo, magnificadas
ahora a través del apoyo en los útiles de que dispone
     *proceder con paz en la resolución de verdaderos problemas,
no ya meros ejercicios, que permitan al estudiante ir
construyendo sus propias constelaciones de esquemas de pensamiento
eficaces para la resolución de los problemas de cada uno de los
campos en que se introduce.
     Una de las tareas importantes del profesor consistirá ahora
en hacerse con una panoplia de actividades concretas para
conseguir los objetivos apuntados que, contando con el apoyo
eficaz del ordenador,
     *sean capaces de ayudar al estudiante en la exploración de
situaciones que conducen a los conceptos fundamentales de la
porción de teoría en la que se le introduce
     *estimulen el reconocimiento de estructuras y patrones,
     *ayuden a relacionar los diversos modos de representación (gráfica,
algebraica, numérica,...)
     *animen al estudiante a atreverse a explorar incluso
situaciones que sin el apoyo del sistema serían demasiado
difíciles o llevarían demasiado tiempo
     *inicien al estudiante mismo a la utilización de la
matemática y de los sistemas de apoyo emulando las formas como el
experto usuario de la matemática los utiliza en su quehacer
cotidiano para la resolución de sus problemas reales.
     La pregunta que surge inmediatamente es: "Vayamos a lo
práctico. ¿Cómo se puede poner en funcionamiento este proyecto?"
En algunos países existen ya centros en los que la situación
didáctica descrita al comienzo de este apartado es ya una
realidad desde hace unos cuantos años. ¿Cuáles son las formas de
proceder que, tras diversas experiencias, han parecido adecuadas
contando con la presencia continuada del ordenador y de los
programas de cálculo simbólico con los que ahora se cuenta?
     El siguiente esquema es un modelo de enseñanza utilizado por
los profesores universitarios japoneses H.Murakami y M.Hata, que
bien pudiera constituir una fuente de inspiración para otros
niveles. Supongamos que se trata de introducir al alumno en el
tema E de una cierta secuencia de aprendizaje de los temas
A-B-C-D-E-...(podemos pensar en [sucesiones] -[funciones]
-[limite] -[derivada]-...). Se distinguen dos fases de
aprendizaje: la fase básica y la fase de uso y aplicación de E.
     Los objetivos de la fase básica consisten en
     *que el estudiante entienda a fondo los problemas que dan
lugar a E
     *que conozca bien los conceptos, estrategias, métodos
fundamentales a propósito de E
     *que domine razonablemente el funcionamiento de las
herramientas y rutinas que resuelven los problemas de E (sin
necesidad de virtuosismos con problemas excesivamente complicados;
sólo problemas que ayuden a una mejor comprensión y dominio
básico)
     La enseñanza de la fase básica se lleva a cabo de modo
cercano al convencional pero
     *se puede dedicar más tiempo para lo básico, rehuyendo
problemas complicados
     *se utiliza el apoyo del ordenador para la realización de
actividades, según se ha indicado antes, que ayuden a una mejor
comprensión de los problemas e ideas clave
     *NO se utiliza el programa en esta fase para realizar las
tareas de E con las que el alumno se ha de hacer familiar a través
de casos sencillos, ya que ello impediría el dominio de las tareas
propias de E
     *SÍ se utiliza el programa para realizar las tareas que
aparecen en esta fase propias de A,B,C,D, temas que ya se suponen
dominados.
     Los objetivos de la fase de uso y aplicación de E son:
     *que el estudiante compruebe la potencia de E para resolver
problemas más complicados
     *que entienda a fondo la relación de E con otros temas
     *que perciba la utilidad de E en aplicaciones intra y
extramatemáticas
     Durante esta fase se hace uso pleno del programa para todas
las tareas en las que resulte conveniente.

EL CAMINO A RECORRER
     Es claro que nos queda un trecho considerable por recorrer
para llegar de donde estamos a una situación como la que se ha
descrito en este artículo. Los obstáculos más importantes no
provienen tanto de las dificultades para colocarnos en una
situación material como la señalada, ciertamente no despreciables,
sino más bien de la inercia profundamente enraizada en el sistema
educativo de cualquier país y en gran parte connatural a él. Los
cambios no se realizarán, y más vale que no se realicen, sin tener
las ideas bien claras de las metas a las que queremos dirigirnos.
Para ello es necesario invertir un esfuerzo considerable en
investigar y explorar las diversas alternativas. Por otra parte,
un cuerpo de docentes preparado en una universidad inerte ella
misma, donde las ideas de vanguardia en educación carecen del
estímulo adecuado presentará una resistencia notable a un cambio
que, si se ha de realizar con éxito, ha de llevarse a cabo con
carácter global en el sistema y con un amplio consenso.
     Con todo, lo que parece claro es que la educación matemática
no puede comportarse a largo plazo ignorando la presencia en el
ambiente y en la cultura social y profesional de instrumentos con
altas potencialidades específicamente en el terreno matemático.
Lo que hay de saludable en las nuevas tendencias acabará por
imponerse y los sistemas educativos que se adapten a los cambios
razonables más rápidamente lograrán equipar ventajosamente a las
personas a ellos encomendadas.



                           Bibliografía
     En castellano apenas hay libros dedicados a la utilización de
programas de cálculo simbólico en la enseñanza secundaria de
acuerdo con las ideas sugeridas en este artículo. Existen con todo
unas pocas obras orientadas al nivel universitario que bien pueden
servir de inspiración para nuestros profesores de enseñanza
secundaria.
GARCIA, A.(ed.): Prácticas de Matemáticas con DERIVE. CLAGSA,
Madrid.
de GUZMÁN, M.  y RUBIO, B. (1993): Problemas, conceptos y métodos
del Análisis Matemático. Volumen 3. Pirámide, Madrid.
LLORENS FUSTER, J.L.(1993): Introducción al uso de DERIVE. Aplicaciones al Algebra Lineal y al Calculo Infinitesimal. Universidad
Politécnica de Valencia, Valencia.
LLORENS FUSTER, J.L. (1993): Aplicaciones de DERIVE. Análisis Matemático-I (Cálculo). Universidad Politécnica de Valencia, Valencia.