Los fenómenos de visualización de los que aquí vamos a hablar llevan consigo una carga de interpretación mucho más honda todavía. En muchas de las formas de visualización que vamos a experimentar se trata de un verdadero camino de codificación y descodificación que está inmerso en todo un cúmulo de intercambios personales y sociales, buena parte de ellos arraigados profundamente en la misma larga historia de la actividad matemática. Esto implica que la visualización sea un proceso que hay que aprender en la interacción con las personas a nuestro alrededor y en la inmersión e inculturación en el tejido histórico y social de la matemática.

La visualización no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podremos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta.

He aquí un ejemplo. La siguiente figura se suele presentar como paradigma de lo que constituye una demostración visual del teorema de Pitágoras

Probablemente el novicio que mira con atención esta figura ve, con suerte, dos cuadrados iguales que se han diseccionado de dos formas distintas y será capaz tal vez de comprender, a través de las indicaciones escritas, que el cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo que ha resultado, que parece ser copia de los otros que aparecen en diversas posiciones en la figura tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los dos catetos. Para llegar de ahí al teorema de Pitágoras será necesario que se pueda cerciorar de que efectivamente los triángulos que resultan son iguales y que esa misma situación se puede dar para cualquier triángulo rectángulo, es decir es una situación genérica.

La pretendida absoluta inmediatez ante la anterior disección o alguna de las otras disecciones clásicas que tratan de poner de manifiesto el teorema de Pitágoras no deja de ser hasta cierto punto engañosa, pues todas ellas necesitan una labor de descodificación en la que es necesario introducir al no iniciado.

Esta consideración es una de las razones profundas de que la iniciación a la visualización, por ejemplo en la enseñanza, sea una tarea nada fácil ya que requiere muy esencialmente la conciencia clara de quien la transmite de que la transparencia del proceso, tal vez real para él mismo por razón de la familiaridad adquirida con la práctica a lo largo del tiempo, puede ser inexistente para el que comienza a adentrarse en este tipo de proceso.
 

Pero la presencia de este ejercicio de descodificación en cualquier visualización pone en claro lo que más nos interesa destacar ahora. Que la visualización matemática no va a ser un término unívoco ni mucho menos. Según el grado de correspondencia, más o menos cercana, más o menos natural, simbólica, incluso más o menos comunicable o privada... entre la situación matemática que tratamos de visualizar y la forma concreta que empleamos para hacerlo van a existir muy distintas formas de visualización.
 

Trataremos de describir algunas de ellas a continuación y, a la luz de ejemplos de diversos tipos, podemos tratar de percibir las profundas diferencias entre ellas y las dificultades inherentes al ejercicio de visualización.
 

Visualización isomórfica.
Los objetos tienen un correlato "exacto" en nuestra representación en cuanto a las relaciones que nos interesa estudiar. ¿Qué significa "exacto"? Significa que sería posible, en principio, establecer una especie de tabla de correspondencias entre ciertos aspectos de la representación visual, que son los que vamos a utilizar, y los significados matemáticos que representan, hasta tal punto que nuestras posibles manipulaciones con los objetos de nuestra representación visual podrían ser traducidos, en el momento en que nos lo propongamos, con mayor o menor esfuerzo, en las relaciones matemáticas abstractas que representan.

Su utilidad es bien clara, ya que la manipulación de objetos percibidos por nuestros sentidos o por nuestra imaginación se nos hace normalmente mucho más fácil que el tratamiento de conceptos abstractos frecuentemente bien complicados.
 

Un ejemplo: el problema de Josephus. En su libro De bello judaico, Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat, Josephus y otros 40 judíos se refugiaron en una cueva. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entregarse. A Josephus y a otro amigo la idea no les hacía nada felices. Propusieron que se hiciera, pero con orden. Se colocarían en círculo y se irían suicidando por turno, contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. ¿En qué lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos últimos y, una vez en mayoría absoluta, decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?

La solución resulta sencilla. Se colocan 41 piedrecillas en círculo con un número cada una 1,2,3,...41 y luego se van simulando los suicidios para ver qué dos piedrecillas quedan las últimas.
 

La solución es claramente isomórfica y el ejemplo pone bien de manifiesto una de las limitaciones que puede ir aparejada con la visualización. Nuestra forma de proceder nos ha permitido resolver el problema particular que nos habíamos propuesto. Es claro que la solución va a variar cuando nos propongamos el mismo problema con, por ejemplo 47 hombres que cuentan de 5 en 5. Nuestra visualización nos da la clave para resolver cada uno de los problemas particulares del mismo tipo que nos propongamos, pero la estructura concreta de cada problema no nos permite averiguar qué sucederá en el caso abstracto, que al matemático puede y debe interesarle, sobre lo que sucederá con m hombres que cuentan de n en n.
 

Nos encontramos ante la misma dificultad genuina que al novicio le puede surgir ante la disección que nos condujo antes al teorema de Pitágoras. ¿Sucederá que esto que veo tan claramente para este triángulo va a ocurrir también para cualquier otro? Allí, tras una pequeña, pero no trivial, elaboración conceptual se puede llegar a percibir que la situación a la que queremos llegar (teorema de Pitágoras) es genérica, independiente del triángulo rectángulo considerado. Aquí sin embargo nuestra manipulación sólo nos conduce a resolver nuestro problema particular. No es poco, ciertamente, y además suele con frecuencias suceder que de tales manipulaciones iniciales concretas surjan luces que nos lleven a la solución del problema en su estructura abstracta.

Una gran parte de nuestras visualizaciones en análisis y en otros contextos son de esta naturaleza isomórfica y probablemente son las más naturalmente aceptadas por los matemáticos sin grandes objeciones. La visualización de los números reales mediante los puntos de una recta o la de los números complejos mediante los puntos de plano no solamente penetró sin gran resistencia en el análisis, sino que se puede decir con razón que, en el caso de los números complejos, esta visualización (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposición de la comunidad matemática a dar carta de ciudadanía a los números complejos.
 

Con todo, hemos de ser conscientes de la naturaleza de nuestras visualizaciones y de los aspectos de convenio, consenso, tradición, que contienen, lo que las hace dependientes, para su utilización, de todo un código de comprensión que ha de ser transmitido y ensayado suficientemente hasta adquirir una cierta familiaridad con él. "Una imagen vale más que mil palabras". Es verdad, pero a condición de que la imagen llegue a ser entendida adecuadamente, pues de otra forma no valdrá nada.
 

He aquí otro ejemplo interesante del análisis en que resulta bien patente el poder de la visualización isomórfica. El teorema de Young, una desigualdad con muchas implicaciones de utilidad, afirma lo siguiente: Sea y=f(x) una función real definida de variable real  tal que f(0)=0, f es estrictamente creciente, continua, f(x)>0 para x>0, y f(x) tendiendo a infinito cuando x tiende a infinito. Sea y=g(x) la función inversa de f. Entonces, para cualquier par de valores, a>0, b>0, se verifica

La desigualdad del teorema de Young no hace otra cosa que afirmar que el área del rectángulo que tiene por vértices opuestos (0,0) y (a,b) es menor o igual, esté donde esté el punto (a,b) (siempre en el primer cuadrante), que la suma de las áreas S y T rayadas en la figura. La igualdad en la desigualdad de Young, como es claro, se verifica exactamente cuando b=f(a), es decir cuando (a,b) está sobre la gráfica de f. No sería nada difícil traducir las relaciones que estamos viendo para construir una demostración totalmente formalizada de este teorema en el más puro estilo bourbakista.
 

Visualización homeomórfica.
En nuestra representación algunos de los elementos importantes tienen relaciones entre sí que imitan suficientemente para nuestros propósitos las relaciones entre los objetos que representan ofreciéndonos una ayuda poderosa para nuestros procesos mentales de búsqueda, demostración, etc...

Analicemos un ejemplo que puede poner de manifiesto la naturaleza de la visualización homeomórfica. El teorema de Schroeder-Bernstein afirma lo siguiente: Sean A y B dos conjuntos. Supongamos que existe una inyección f (es decir una aplicación 1-1) de A a B y otra inyección g de B a A. Entonces existe una aplicación biyectiva h (es decir una aplicación 1-1 y sobre) de A a B.
 

La siguiente demostración simple y elegante, debida a Birkhoff y MacLane, está basada en una visualización adecuada de los conjuntos y de las aplicaciones del teorema. La presentación será muy sucinta pero, espero, suficientemente clara.

Para empezar representamos los dos conjuntos A y B mediantelas dos rectas de la figura y representamos las funciones f y g por las flechas señaladas descendentes. Consideramos f y g , las funciones inversas de f y g, respectivamente, que corresponden en nuestra imagen a flechas ascendentes. Consideramos cadenas ascendentes de tales flechas (es decir flechas ascendentes que se enlazan) y las clasificamos como sigue:

Clase 1: la cadena ascendente acaba en A

Clase 2: la cadena ascendente acaba en B

Clase 3: la cadena ascendente no acaba nunca (o bien porque tiene infinitos tramos o bien porque tiene uno solo).

No cuesta mucho esfuerzo darse cuenta de que esto es una partición de las cadenas ascendentes que nos sirve para descomponer el conjunto A (y el B) en tres partes disjuntas, según el tipo 1, 2, 3, de cadena ascendente que pase por cada uno de sus puntos.

Con esto es ya sencillo construir la biyección h sobre los puntos de A: si x está en A y es de tipo 1 ponemos h(x)=f(x), si x es de tipo 2, ponemos h(x)=g (x), y si x es de tipo 3 entonces ponemos h(x)=f(x). La comprobación de que h es una biyección es sencilla.

Aquí es bien claro que nuestros conjuntos A y B pueden no tener nada que ver con una recta real, que es totalmente arbitraria nuestra referencia a lo "ascendente" en la demostración del teorema, si bien nos sirve suficientemente bien para la idea matemática, aquí clave, de "imagen inversa por una aplicación". Es muy claro que el apoyo en estas imágenes mentales nos sugiere la construcción que proporciona la demostración del teorema. Y asímismo es patente que, si quisiéramos, podríamos deliberadamente borrar toda referencia a la representación visual y presentar una demostración del más puro estilo formalista que dejara a nuestro lector totalmente perplejo sobre el origen de nuestras sorprendentes inspiraciones. Desafortunadamente, por mucho tiempo han abundado demasiado los artículos, libros de texto, conferencias, clases, ... inspirados en tal estilo de descomunicación matemática.
 

Son muchos los ejemplos que se podrían proponer de visualización homeomórfica parecida a la del anterior ejemplo. Es claro, por otra parte, la gran flexibilidad y plasticidad que tal tipo de visualización puede presentar hasta convertirse en algunos casos en procesos fuertemente subjetivos y posiblemente útiles únicamente para quien los diseña para su uso personal.
 

Visualización analógica.
Sustituímos mentalmente los objetos con los que trabajamos por otros que se relacionan entre sí de forma análoga y cuyo comportamiento resulta más conocido por haber sido mejor explorado.

La visualización o modelización analógica era un método de descubrimiento usual en Arquímedes, tal como afirma él mismo en el tratado Sobre el Método dedicado a su amigo Eratóstenes. Son muchos los descubrimientos espectaculares debidos a Arquímedes, tales como el cálculo del volumen de la esfera, que fueron obtenidos a través de analogías y experimentos de pensamiento de naturaleza mecánica.

El ejemplo siguiente, surgido en un taller de trabajo sobre resolución de problemas con un grupo de estudiantes en la Universidad Complutense, ilustra esta forma de trabajo adecuadamente.

Se trata de determinar un cuadrilátero plano de área máxima cuyos lados tengan longitudes prefijadas a, b, c, d, en el orden indicado. (Se supone que las longitudes dadas son tales que existe algún cuadrilátero con esta propiedad).

El problema físico que puede proporcionar la solución a este problema es el siguiente. Se dan cuatro varillas que forman un cuadrilátero plano articuladas en los extremos de modo que se mantienen todas en un plano. Se forma una película de jabón en su interior. La posición de equilibrio de las varillas es tal que la superficie de la película de jabón (área del cuadrilátero) es máxima (tensión superficial de la película mínima). Esta posición de equilibrio resolverá por tanto nuestro problema.

Las fuerzas que actúan sobre el sistema se reducen a cuatro fuerzas en el plano del cuadrilátero perpendiculares a sus lados aplicadas en los puntos medios de éstos con una intensidad proporcional a la longitud del lado correspondiente. No es difícil ver que el equilibrio se alcanza cuando las cuatro mediatrices concurren, es decir cuando el cuadrilátero es inscriptible. Queda así demostrado que entre todos los cuadriláteros con longitudes de sus lados prefijadas el inscriptible es el de área máxima.

La visualización analógica no debería ser un escándalo para ningún matemático. Bastaría para ello pensar en que nada menos que Arquímedes la usaba en su trabajo tan frecuentemente y contemplar la belleza de la idea, también analógica, de Johann Bernoulli en su solución del problema de la braquistócrona. Pero es que incluso el formalista más puro debería considerar que los campos en los que se establece la analogía que resuelve el problema son en muchos casos susceptibles ellos mismos de la formalización más rigurosa, si eso es lo que le satisface.
 

Visualización diagramática.

Nuestros objetos mentales y sus relaciones , en los aspectos que nos interesan, son meramente simbolizados de manera que los diagramas así obtenidos nos ayuden en nuestro procesos de pensamiento alrededor de ellos. A veces se podría decir que estos procesos vienen a asemejarse a reglas nemotécnicas. Los diagramas en árbol que usamos en combinatoria o probabilidad así como otros mucho más personales que cada uno se contruye son de esta naturaleza.

Tales simbolizaciones y diagramas pueden resultar de aceptación muy extendida y convertirse en una herramienta de uso generalizado en ciertos ambientes o bien a veces son de uso más personal, individual, subjetivo, a veces intransferible, otras veces transferible pero no transferido, unas veces por la dificultad intrínseca a tal comunicación, otras veces por la creencia de que tal modo de ver las cosas "me es útil a mí pero a nadie más", otras por la convicción, en mi opinión erróna, de que tales procesos "son andaderas que deben desterrarse ya que lo que verdaderamente vale es la formalización a la cual hay que aspirar en matemáticas".

Por mi parte pienso que la experiencia del éxito de los que son buenos transmisores del quehacer matemático demuestra que sus logros se basan muy frecuentemente en el esfuerzo que ponen por trasnmitir y hacer partícipes a los otros no solamente de los resultados a los que en el campo se llega, sino también de los procesos por los cuales se ha podido acceder a ellos.

Cuando uno examina los escritos de Euler, por ejemplo, se da cuenta de esta gran cualidad expositiva de uno de los genios de la matemática.

Es claro que la diferenciación entre todas estas formas de visualización señaladas no es exhaustiva ni es tampoco tan nítida que permita encasillar con exactitud los muy diferentes tipos de procesos semejantes que se pueden presentar.