*matriz de la que surgen los conceptos y métodos mismos del campo,

*estimuladora de problemas de interés relacionados con los objetos de la teoría,

*sugeridora de relaciones de otra forma un tanto ocultas capaces de conducir de forma fiable hacia la resolución de los problemas y hacia la construcción de la teoría,

*auxiliar potente para la retención de forma unitaria y sintética de los contextos que surgen recurrentemente en el trabajo,

*vehículo eficaz de transmisión rápida de las ideas,

*ayuda poderosa en la actividad subconsciente en torno a los problemas complicados de la teoría,
...

Todo ello deja bien patente la conveniencia de ejercitar nuestra capacidad de visualización y de entrenar a quienes queremos introducir en la actividad matemática en el ejercicio de la visualización. La visualización es extraordinariamente útil, por consiguiente, tanto en el contexto de la matematización como en el de la enseñanza-aprendizaje, como, evidentemente, en el de la investigación. Y esto no solamente en lo que se refiere a la geometría, en la que tales ayudas deberían ser bien evidentes, sino también en lo que atañe al análisis matemático.

Las ideas, conceptos y métodos del análisis, para casi todos los analistas, presentan una gran riqueza de contenidos visuales, intuitivos, geométricos, que están constantemente presentes en su mecanismo mental, tanto en las tareas de presentación y manejo de los teoremas y métodos como en la de resolución de problemas, pero que rara vez pasan a las presentaciones escritas, ya sea por la dificultad material de realizarlo o tal vez por una especie de atadura inconsciente a las formas tradicionales de presentación.

Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos, de gran valor y eficacia en su trabajo creativo y en su dominio del campo en que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su teoría y a través de tales redes significativasson capaces de escoger de manera natural y sin esfuerzo, los modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con los que se enfrentan.

Estas imágenes visuales suelen en realidad contener en sí mismas todos los elementos necesarios para construir, si se quiere, con apoyo en ellas toda la estructura formal del teorema o problema en cuestión. El experto sabe, aunque muy frecuentemente no lo ha realizado nunca, que, sin más que invertir en ello el tiempo necesario y sin más que afrontar el posible aburrimiento propio de esta tarea, todos los ingredientes formales pueden ser escritos en el papel.

El siguiente testimonio de Hadamard sobre el papel de la visualización en una obra muy interesante consagrada toda ella a la forma de pensamiento propia del trabajo en matemáticas es muy representativo de la influencia de la imagen en los procesos del pensamiento matemático:

"Yo mismo he dado una demostración simplificada de la parte (a) del teorema de Jordan. Por supuesto, mi demostración es completamente aritmetizable (de otro modo debería ser considerada inexistente), pero al construirla nunca he cesado de pensar en el diagrama (pensando solamente en una curva muy retorcida) y así lo hago cuando la recuerdo. No puedo siquiera decir que he verificado explícitamente (o que puedo verificar) cada paso del argumento en cuanto a su aritmetizabilidad (con otras palabras, el argumento aritmetizado no aparece en general en mi plena conciencia). Sin embargo, que cada paso del argumento puede ser aritmetizado es incuestionable tanto para mí como para cualquier matemático que quiera leer la demostración. Yo puedo darlo inmediatamente en su forma aritmetizada, lo cual demuestra que esa forma aritmetizada está presente en mi conciencia marginal". (Jacques Hadamard, The Psychology of invention in the mathematical field, p.103)

Por mi parte pienso que una de las tareas importantes del experto en análisis en su tarea de formación de los más jóvenes debe consistir en tratar de transmitir no solamente la estructura formal y lógica del quehacer matemático en este campo particular, sino también, y probablemente con mucho más énfasis, estos aspectos estratégicos e intuitivos de su oficio, que por otra parte son probablemente mucho más difíciles de hacer explícitos y asimilables para los estudiantes, precisamente por encontrarse muchas veces situados en los sustratos menos conscientes de la propia actividad del experto.

Por su naturaleza misma, esta tarea presentará muchos elementos fuertemente subjetivos. Las maneras de visualizar y de hacerse cercanas e intuitivas las ideas del análisis a fin de ponerlas en funcionamiento frente a situaciones y problemas concretos dependen mucho de la estructura mental de cada uno. El grado de apoyo en los elementos visuales varía, con seguridad, de un analista a otro de modo muy considerable y lo que para uno puede resultar de ayuda, para otro resultará posiblemente entorpecedor. Pero estas diferencias no deben obstaculizar nuestros intentos de ofrecer con generosidad aquellos instrumentos que para nosotros nos resultan tan útiles en nuestro trabajo y sin los cuales éste sería mucho más difícil, abstruso y aburrido.