0.5 OBSTACULOS A LA VISUALIZACION
Son muchos los obstáculos y objeciones que el ejercicio de la visualización encuentra hoy día en nuestras formas de comunicar y transmitir los resultados y procesos del quehacer matemático. He aquí algunos.
 

La visualización conduce a errores.
Efectivamente una visualización incorrecta puede conducir a errores por diversos motivos. Unas veces porque la figura nos puede sugerir una situación que en realidad no tiene lugar. Este es el caso de algunas de las falacias de tipo geométrico como las que se encuentran recopiladas en la obra clásica de W.W.Rouse Ball Mathematical Recreations and Essays (Chapter III).

Una forma eficaz de deshacerse de falsos argumentos que parecen poder provenir de una incorrecta interpretación de la figura consiste en considerar una figura en situación extrema. Sucede a veces que nuestra visión nos engaña porque la figura concreta que se utiliza en el argumento se aproxima engañosamente a la situación que en realidad tiene lugar.

Otras veces la situación visual nos induce a aceptar relaciones que son tan engañosamente transparentes que ni siquiera se nos ocurre pensar en la conveniencia o necesidad de justificarlas.

La axiomática de los elementos de Euclides, con toda su sorprendente madurez, no está exenta de lagunas procedentes de situaciones de este tipo que tuvieron que ser corregidas por Hilbert en sus Grundlagen der Geometrie (1902).

La "demostración" construída por Arthur Kempe en 1879 del teorema de los cuatro colores se basó en una relación geométrica que, aunque falsa, parecía tan clara que fue dada por buena durante 11 años hasta que Heawood se percató del error.

Las "demostraciones" de Jordan (1893) y de otros matemáticos del teorema visualmente obvio que afirma que una curva plana cerrada y simple separa el plano en dos partes, el interior y el exterior, fueron incorrectas, conteniendo elementos basados en relaciones intuitivas sin justificar que resultaron luego justificadas tras considerable trabajo y dificultad. La primera demostración correcta tardó 20 años en llegar por obra de Veblen (1913).

Pero la posibilidad de que la visualización pueda conducir a error no invalida su eficacia y su potencia en los diferentes procesos del quehacer matemático, tanto en el trabajo creativo como en los procesos de comunicación y transmisión. Incluso las técnicas más formales conducen a veces a errores, razonamientos incompletos, falacias, etc. Y es natural pensar que así suceda. Los resultados matemáticos no se comunican normalmente mediante una exposición totalmente formalizada que pudiera ser comprobada mecánicamente. El estilo de comunicación entre los matemáticos está muy lejos de eso y es muy posible que lo siga estando por mucho tiempo. Por otra parte también es discutible la conveniencia de adoptar tal forma de comunicación, en el caso en que fuera posible. El lenguaje matemático es un cruce entre el lenguaje natural y el lenguaje formalizado, una jerga extraña compuesta por elementos del lenguaje natural. palabras más o menos esotéricas y símbolos lógicos y matemáticos. Y en este idioma curioso se está haciendo alusión, explícita o velada a convenciones de la comunidad matemática del tiempo cargadas de connotaciones intuitivas, visuales, sobreentendidos,etc. No es de extrañar que en el trabajo matemático con tal herramienta así como en la comunicación con él se produzcan equívocos, confusiones y oscuridades que pueden conducir a error.

Por poner un único ejemplo bien reciente, la "demostración" propuesta por Andrew Wiles en Junio de 1993 del teorema de Fermat fue capaz de convencer incluso a los más expertos en el campo por varios meses hasta que se percataron de la existencia en ella de ciertas lagunas nada despreciables. Más de un año del trabajo de Wiles y de otras personas especializadas en el tema ha transcurrido hasta que por fin en Noviembre de 1994 los expertos parecen haber llegado a la conclusión de que estamos ante una genuina demostración del teorema de Fermat.

"Ahora, por favor, queremos que nos presente una demostración matemática".
Me imagino que somos una multitud los profesores que hemos tenido esta misma experiencia. Tras esforzarnos por hacer ver a nuestros estudiantes mediante construcciones visuales que, según nos parece, deberían hacer absolutamente obvia una cierta situación matemática, alguno o muchos de ellos nos piden: "Ahora, por favor, una verdadera demostración matemática".

¿Qué es una demostración? Para los pitagóricos que jugaban con las piedras, probablemente sería: "!Contempla!" Para Littlewood: "Una demostración es una indicación, una sugerencia: mira en esta dirección y convéncete tú mismo". Para René Thom: "Un teorema está demostrado cuando los expertos no tienen nada que objetar"

¿O acaso vamos a decir que un teorema está demostrado solamente cuando surge tras una cadena correctamente construída de símbolos lógicos? Tal vez sea así el paraíso en la imaginación de los formalistas, pero no es así ciertamente en esta tierra del matemático real. El matemático real se suele contentar sensatamente con grados de rigor mucho más razonables.

Una visualización isomórfica, por ejemplo la que presentamos del teorema de la transformación contractiva, una vez conocidas las reglas de descodificación (paso del razonamiento sobre la imagen al argumento formal), se podría convertir en una demostración satisfactoria para el formalista más riguroso.

Otros tipos de visualización, homeomórfica, diagramática, allanan extraordinariamente el camino de otros matemáticos expertos o bien de nuestros estudiantes para que ellos mismos lleguen a construir la demostración explícitamente, si les viene bien, con mucha más facilidad que la que proporciona la demostración pedante e ininteligible del mismo hecho que la moda ha impuesto en nuestra comunicación matemática por tanto tiempo.

Naturalmente que el estudiante que pide una demostración matemática posiblemente tiene en su cabeza el prejuicio, transmitido por muchos de sus profesores, de que sólo lo que resulta tras unos cuantos cuantificadores lógicos merece la denominación de demostración matemática. Y es que, como antes he afirmado, en nuestra educación matemática apenas nos hemos ocupado de inculcar el hábito de interpretar y descodificar adecuadamente nuestras visualizaciones, traduciéndolas, cuando esto resulte adecuado, a un lenguaje formal.
 

Es difícil.
Theodore Eisenberg y Tommy Dreyfuss han escrito un interesante artículo que lleva por título On the Reluctance to Visualize in Mathematics, en el que tratan de analizar los obstáculos de todo tipo que se oponen a la tarea de visualización en los procesos de la educación matemática.

Como antes se ha dicho la visualización es un proceso de intelección directa y descansada, pero sólo para el que está suficientemente preparado para realizarlo de manera eficaz.

Esta preparación implica una inmersión y familiarización con las tareas de descodificación de la imagen. Si esta preparación está ausente lo que para otros es un ejercicio descansado y agradable resultará un jeroglífico angustiosamente incomprensible. Una imagen vale más que mil palabras, sí, pero con tal de que se entienda. De otro modo no vale nada.

Hay que tener en cuenta que un mapa, por ejemplo, no es la realidad de lo representado, sino un conjunto de símbolos y códigos que hay que aprender a interpretar.

Efectivamente la realización de la visualización de modo correcto, de manera tal que sea un proceso verdaderamente provechoso requiere una preparación previa, una educación que no muchos matemáticos son capaces de transmitir, unas veces porque no son conscientes de lo que tal proceso verdaderamente conlleva de convención, de tradición, de familiaridad con ciertos códigos en ninguna parte escritos. Y éste es uno de los aspectos en los que la comunidad matemática actual debería poner un énfasis especial.

Por otra parte hay dificultades provenientes del bajo status que la visualización posee en la comunidad matemática. Los investigadores suelen hacer un uso constante de la visualización, pero suele ser un uso vergonzante, algo que ellos consideran inconfesable. Las revistas que se precien, por ejemplo, no admitirían un artículo en el que los argumentos de demostración de un teorema no estuvieran construídos en el lenguaje más o menos formalizado actualmente en boga. Se suele hablar con sorna y desprecio de demostraciones "waving hands", haciendo gestos con las manos, por más que, son muchas las ocasiones en que un gesto con las manos puede abrir la mente a la comprensión.

Nuestros alumnos suelen estar deformados en su actitud frente a la visualización y ahí está el origen de la exigencia de una demostración matemática antes señalada, así como del siguiente fenómeno que suele ocurrir frecuentemente en nuestras clases.

Tratamos de explicar el sentido intuitivo de un teorema y, en el mejor de los casos, nos mirarán con cierta atención, pero sin tratar de tomar una sola nota. Comenzamos a escribir lo que va a ser una demostración formal, que por otra parte es precisamente lo que probablemente ya tienen en su libro de texto, eso es lo que pondrán en sus apuntes "negro sobre blanco" con todo el esmero del mundo.

La visualización es difícil también por otras razones de tipo material que hasta ahora no eran fácilmente superables al nivel de comunicación no oral y directa. La visualización es un proceso dinámico. El medio de transmisión hasta ahora utilizado tanto en los artículos como en los textos que manejan nuestros estudiantes es, fundamentalmente, la letra escrita, un medio estático que no se adapta en absoluto a los procesos de visualización.

En la presentación oral de una visualización los elementos van apareciendo poco a poco complementando una imagen que empieza siendo simple y termina tal vez extraordinariamente complicada.

En un libro, en un artículo se transmite normalmente sólo el producto final, la imagen última con todos los elementos acumulados en ella, lo que resulta extraordinariamente engorroso de interpretar. La presentación del teorema de Picard anterior ha requerido, para ser clara, nada menos que 5 figuras diferentes. Un editor de libros de texto difícilmente aceptaría tal derroche, insistiendo en que el espacio es caro y que todo se ponga en una sola figura.

Probablemente el medio de comunicación del futuro, sobre todo a nivel de libros de texto, haya de ser algo semejante al CD-ROM que permite mezclar de forma interactiva texto, imagen dinámica y programas informáticos adecuados al campo de estudio en cuestión.
 

La tarea por hacer.
Prevenir las desviaciones. Poner en guardia. Tratar de enseñar explícitamente a realizar los procesos de visualización correctamente, llamando la atención a los diferentes tipos de visualización y a la diversa utilidad de cada una de ellas, haciendo explícitas las codificaciones y descodificaciones que están presentes en ellos. Inculcar los hábitos de visualización, poner de manifiesto los sobreentendidos, la necesidad de asegurar el carácter genérico que está detras de nuestras visualizaciones concretas.

Tener en gran aprecio el poder de la visualización y enseñar a nuestros estudiantes a estimarla. Insistir constantemente en visualizar y en transcribir de vez en cuando las visualizaciones en expresiones formales de la forma actualmente admitida de los hechos que se visualizan, a fin de hacer patente la posibilidad de pasara de un tipo de lenguaje a otro.

Hacer efectivo este aprecio no sólo en nuestra forma de transmitir los procesos y destrezas del quehacer matemático, sino también en la forma de evaluar la realización de estos proceoss por parte de los matemáticos y de nuestros estudiantes.