0.6 VISUALIZANDO SIN Y CON ORDENADOR
Los ejemplos de visualización propuestos en las páginas precedentes no necesitan para nada la ayuda del ordenador. Una gran parte de la visualización que proponemos estimular se realiza, como se ha realizado siempre, mediante nuestra capcidad imaginativa, representativa y con los instrumentos normales, lápiz y papel, tiza y pizarra. La fidelidad y exactitud de nuestras representaciones debe estar en función del tipo de trabajo de visualización que tratamos de llevar a cabo. No tiene objeto utilizar compás y regla cuando con un dibujo a mano suficientemente claro queda sugerido cuanto se quiere sugerir, como es el caso en la mayor parte de los problemas de análisis matemático en los que una visualización venga bien. Nuestros dibujos son, en la mayor parte de las ocasiones, meros auxiliares de nuestra imaginación que nos ayudan a retener las relaciones que consideramos útiles para nuestra mejor comprensión de los temas que tratamos y de los problemas que intentamos resolver.

Pero es claro que en la actualidad disponemos de un instrumento extraordinariamente potente, el ordenador, cuyo influjo sobre el quehacer matemático se va dejando sentir en muchos aspectos. Uno de ellos es, obviamente, la visualización.

En lo que se refiere en particular al análisis matemático, la existencia de programas de cálculo simbólico tales como DERIVE, MAPLE, MATHEMATICA, con capacidades de representación extraordinariamente versátiles e interactivas, aplicables en todos los campos imaginables de la matemática actual, está cambiando ya nuestra forma misma de practicar tanto las actividades de investigación como las de la interacción enseñanza-aprendizaje a todos los niveles. Y a esta tendencia actual no se le adivina el límite.

Consideremos un simple ejemplo de la matemática elemental. Hace unos años, ante la tarea de representar una curva en el plano se le aconsejaba al alumno que comenzara por representar unos cuantos de sus elementos que podían resultar sencillos de calcular (cortes con los ejes, posibles asíntotas horizontales, verticales,..) a fin de obtener una primera idea sobre la curva.

Con cualquier programa de cálculo simbólico actual, incorporados ya incluso en calculadoras de bolsillo, dada una función bien enrevesada, el alumno puede obtener inmediatamente una gráfica de ella con la que las respuestas a muchas cuestiones interesantes quedan sugeridas. El alumno, en diálogo inteligente con la máquina, puede, a través del programa, perfilar la respuesta exacta a tales cuestiones.

Pero junto a la solución fácil de problemas de tipo tradicional, los procedimientos actuales permiten al alumno, incluso al de un nivel elemental, encararse con problemas que antes resultaban inasequibles para cualquiera. La obtención de 20 iteraciones de una sencilla función tal como 4x(1-x) partiendo de un valor, 0'7 por ejemplo, con 30 cifras decimales lleva unos pocos segundos de tiempo de cálculo a los ordenadores más sencillos de la actualidad. Tales posibilidades han abierto mundos nuevos a la exploración de temas tales como el de los sistemas dinámicos, la geometría fractal y otros muchos.

Por otra parte en la actualidad van surgiendo más y más programas específicamente dedicados a promover las facilidades de visualización especializados en diferentes campos de la matemática, análisis multidimensional, geometría de diferentes tipos, topología,... Todo ello va a contribuir extraordinariamente a facilitar el progreso de la tendencia presente hacia una revitalización de la visualización en todos los quehaceres de la matemática.

En relación con este aspecto de utilización de los programas de cálculo simbólico, especialmente en lo que respecta a la educación matemática elemental, parece claro que el paso próximo más influyente serán las nuevas máquinas de calcular que han de surgir (existe ya una, la TI-92, Texas Instruments) que tengan incorporados tales programas de cálculo simbólico y programas con fines específicos (la TI-92 incorpora algo análogo al programa DERIVE en el cálculo simbólocio y el programa CABRI para geometría plana de tipo sintético). La presencia de tales instrumentos en el aula habrá de modificar muy substancialmente nuestra enseñanza.

En algunos de los capítulos que siguen se introduce una forma de trabajar con el ordenador (programa DERIVE) como apoyo muy fundamental de visualización y de cálculo. Resultará particularmente llamativa la capacidad que nos proporciona para explorar, tanto visualmente como numéricamente, los temas relativos a la discretización del cálculo y a la iteración de operadores, que aparecen en los capítulos 14 y 15.