¿Qué es el caos matemático? Si el lector dispone de unos minutos para entretenerse y tiene una sencilla calculadora a su alcance, puede ver aparecer ante sus ojos lo que los matemáticos entienden actualmente por «caos». Partimos de una expresión tan sencilla como la siguiente: P(x)=2,3x(1-x). Empezamos por dar a x un valor, por ejemplo x=0,32. Calculamos P(0,32) = 0,50048. Ahora damos a x este valor en nuestra expresión, es decir, calculamos P(0,50048)=0,574999. Repetimos este proceso, P(0,574999)=0,562062, P(0,562062) = 0,566140... Al cabo de unas cuantas repeticiones del proceso vamos a parar al número 0,565217, para el cual P(0,565217) = 0,565217 y, naturalmente, por más que repitamos nuestro proceso con él obtenemos ya el mismo número. El número 0,565217 aparece partiendo de cualquier valor inicial entre 0 y 1, por ejemplo para x = 0,15.
 
 
 

Sucesión caótica

Hasta aquí no aparece nada que se pudiera denominar caótico, sino todo lo contrario, orden y uniformidad. Pero repitamos nuestros pasos partiendo de la expresión siguiente, aparentemente tan inocua como la anterior. Tomemos Q(x) = 3,8x(1 -x). Damos a x un valor entre 0 y 1, por ejemplo 0,32. Al repetir el proceso obtenemos ahora, escribiendo sólo las dos primeras cifras decimales, los números siguientes: 0,54 0,94 0,20 0,62 0,89 0,35 0,87 0,42 0,92 0,25 0,72..., una sucesión de números «caótica» en la que no se observa ningún período, ningún acercamiento a un número determinado, ninguna regla aparente de formación. Si nos presentaran esta serie de números sin explicarnos de dónde proviene, podríamos pensar que se trata de una sucesión aleatoria de números entre 0 y 1.

En matemáticas, este tipo de caos controlado por ciertas reglas ha estado presente de alguna forma desde el siglo V a. de C., cuando los pitagóricos descubrieron el número «alogos», el irracional. Las cifras de la expresión decimal de la raíz de 2, 1,41421356237... pueden parecer salidas de una elección arbitraria de cifras entre 0 y 9.

Universalidad del caos. Un aspecto nuevo de las consideraciones actuales en torno al caos consiste en el descubrimiento, que comenzó a llegar a la luz hace unos veinticinco años, de que el comportamiento caótico está presente, de una manera muy peculiar, en una infinidad de los procesos matemáticos que modelizan aspectos de la naturaleza que nos afectan muy de cerca, tales como el tiempo meteorológico, las turbulencias de la atmósfera y del mar, la propagación de las epidemias, las vibraciones de nuestro corazón, las ondas de nuestro encefalograma...

Desde que se empezó a explorar la naturaleza con instrumentos matemáticos hace muchos siglos, siempre se había ponderado la enorme complejidad de comportamiento de muchos procesos naturales frente a la simplicidad de las herramientas matemáticas. Y se intuía que para captar tal complejidad de la naturaleza sería necesario fabricar instrumentos conceptuales matemáticos mucho más sutiles que los presentes. Algo hacía pensar que los sistemas matemáticos simples no podrían explicar los comportamientos complejos de la naturaleza. Todo esto ha cambiado al observar que incluso sistemas matemáticos aparentemente de una transparencia y simplicidad suma, como las iteraciones de la función P(x) = rx(1 -x), pueden dar lugar a un comportamiento extraordinariamente enrevesado, caótico.

Un polinomio que explica plagas impredictibles. Precisamente la función P(x) = rx(1-x) proporciona una buena modelización matemática para la evolución a lo largo de los años de una población de insectos que se reproduce estacionalmente una vez al año. Este es el modelo de Verhulst, en el que se tiene en cuenta la barrera que a la expansión continuada de la población opone la limitación del medio en que se encuentra. En P(x) = rx(1 -x), r es una constante que expresa la mayor o menor vitalidad reproductora de la colonia de insectos, y x, un número entre 0 y 1, es una medida de la población. En la época anterior a los años 60, la idea de los biólogos expertos en población era que la evolución caótica de muchas poblaciones de insectos se debía a la influencia de causas no recogidas en el modelo de Verhulst, es decir, que este modelo no era suficientemente sofisticado. Pero ya hemos tenido ocasión de ver cómo para ciertos valores de r, por ejemplo r = 3,8, aparece comportamiento caótico «en el mismo modelo matemático». Es decir, una población que siguiera exactamente este modelo matemático sencillo presentaría un comportamiento totalmente impredictible.

El ordenador, un microscopio para el caos. ¿Porqué resulta que hechos tan sencillos como el que acabamos de contemplar, caos en Q(x) = 3,8x(1 -x), no han sido descubierto antes por los matemáticos? La irrupción del ordenador, especialmente del ordenador personal, hace unos veinte años, ha introducido en la matemática actual la posibilidad de realizar multitud de experimentos numéricos y gráficos que al matemático de hace cincuenta años le hubieran producido la muerte por tedio. Hoy tales experimentos constituyen una verdadera fuente de diversión y de placer estético. El experimento matemático, especialmente en el campo del caos, mediante el ordenador ha servido de guía extraordinariamente valiosa de multitud de investigaciones. La matemática en su vertiente creativa, es decir, en la fase de su invención, está muy lejos de ser una ciencia hipotético-deductiva, en la que de unos cuantos axiomas se deducen los teoremas.

Los descubridores del caos matemático. En gran medida el caos ha llegado a la matemática actual a través de los experimentos y observaciones de científicos de muy diferentes campos. Al comienzo de los años 60, un meteorólogo norteamericano, Edward Lorenz, encontraba el caos en su simulación matemática del tiempo meteorológico estudiado con un ordenador. Luego construiría modelos matemáticos y mecánicos más sencillos en los que aparecían estructuras caóticas. Sus trabajos permanecieron más de diez años enterrados en revistas de meteorología. A mediados de los años 70 un biólogo experto en poblaciones, Robert May, encontraba el caos en el modelo de Verhulst que hemos contemplado antes...

Los matemáticos por su parte poseían para entonces unos cuantos instrumentos con los que se podía intentar el estudio de los fenómenos que aparecían en diferentes áreas. Los sistemas dinámicos, desde comienzos de siglo, eran ya un campo bastante activo. La teoría geométrica de la medida, iniciada en los años 20 por Besicovitch, proporcionaba procedimientos de exploración de la estructura geométrica del orden subyacente en el caos. Los trabajos de Mandelbrot, en los años 60, aproximaron unos cuantos campos inconexos hasta entonces en análisis matemático: trabajos de Julia y Fatou de los años 20, la teoría de los conjuntos de Hausdorff de dimensión fraccionaria, la exploración numérica y gráfica mediante ordenador de diferentes tipos de estructuras matemáticas, aglutinando la teoría bajo el nombre de «fractales».

La obra de Gleick es un modelo de divulgación científica que hará época. El autor es redactor científico del diario The New York Times y ciertamente ha sabido conjugar en su trabajo el interés científico con el humano de manera magistral. Sin descender excesivamente a detalles técnicos, ha sabido proporcionar inteligibilidad, perfectamente accesible a los no iniciados, en un campo tan variado y rico como es el del caos, lo cual entraña un notable esfuerzo de asimilación, condensación y capacidad de comunicación. Al mismo tiempo, Gleick, a través de muchas entrevistas directas con bastantes de los científicos que en los últimos veinticinco años han intervenido más activamente en la evolución del estudio del caos, ha logrado formarse una idea muy exacta de lo que el caos representa en la ciencia actual y ha conseguido plasmarla con notable fuerza y dramatismo. No es de extrañar que la American Mathematical Society, en agosto de 1988, le haya concedido un importante premio por su trabajo expositivo.

Acertada dramatización

La obra contiene 11 capítulos, cada uno enmarcando un tema específico con uno o varios científicos en el escenario, lo que le presta una visión más personal y viva. El orden es más o menos cronológico. Tal vez se podrían destacar los capítulos iniciales dedicados a Lorenz y la meteorología («El efecto de la mariposa»), May y la biología de poblaciones («Altibajos de la vida»), Mandelbrot y los fractales («Una geometría de la naturaleza»). Pero todos ellos son profundamente interesantes y recomendables. Una nutrida bibliografía que se encuentra entre las notas al final del libro puede ser de gran ayuda para quien se interese por profundizar en alguno de los temas tratados.

La traducción, aunque no perfecta en ciertos términos técnicos, es correcta. Su
adopción del término «los fractales», con preferencia sobre «las fractales» o «los fractuales» que a veces se puede oír, me parece muy acertada. En mi opinión es el término correcto lingüísticamente, adoptado ya por la comunidad científica y que sin duda se impondrá también entre periodistas y expositores científicos.

¿Una revolución científica? Para Gleick, como para muchos expertos en caos, éste representa el comienzo de una verdadera revolución científica. Es éste uno de los aspectos que aparecen en primer plano en la obra que comentamos. ¿En qué sentido se puede pensar en el caos como el germen de una revolución científica?

Antes de la aparición del caos eran prevalentes entre los científicos ciertos paradigmas, ciertos esquemas conceptuales sobre los que la comunidad científica basaba su proceder normal, tales como los siguientes:

a) «Sistemas simples se comportan de modo sencillo»: Un péndulo, un circuito eléctrico pequeño, una población de insectos aislada, deberían poseer estructuras sencillas, transparentes, fácilmente predecibles.

b) «Comportamiento complejo de un sistema implica causas complejas»: La evolución del tiempo meteorológico, el funcionamiento de un órgano biológico como el corazón, un fluido turbulento, constituyen sistemas complicados, inestables, impredictibles. Tal comportamiento tendría que ser debido a multitud de causas diversas cuya confluencia no podemos dominar conceptualmente en su totalidad.

c) «Sistemas diferentes se comportan de modo diferente»: La química de la neurona, la turbulencia que en el túnel de aire estudia el ingeniero aeronáutico, son sistemas cuyas componentes elementales son distintas. Su comportamiento global no debería tener mucho en común.

Tras los últimos veinticinco años de estudio del caos parece que se van imponiendo otras formas de pensar diametralmente opuestas que invalidan las anteriores:

a) «Sistemas conceptualmente simples pueden dar lugar a comportamientos complejos, caóticos, impredictibles»: Basta recordar el ejemplo con el que hemos comenzado P(x)=rx(1-x). Pero son multitud los ejemplos semejantes que se podrían proponer en campos muy distintos, como el sistema que conduce al atractor de Lorenz o al atractor de Hénon.

b) «La complejidad de ciertos sistemas está producida a través del comportamiento sumamente simple de sus componentes»: La complejidad de la naturaleza no se debe a la gran multiplicidad de causas diferentes y complicadas, sino a la gran multitud de componentes muy simples y a la iteración múltiple de los sencillos procesos a que están sometidos.

c) «Las leyes de la complejidad son en gran medida universales, uniformemente válidas para un gran número de sistemas diferentes»: En sistemas muy diferentes puede suceder que, aunque los componentes elementales sean distintos, sin embargo los procesos que los aglutinan están regidos por las mismas leyes elementales. Hay una especie de isomorfía entre muchos sistemas naturales.

En conjunto, la obra de Gleick es muy recomendable para quienes deseen adquirir una visión panorámica de la intensa actividad científica que en los últimos años se ha desarrollado en torno al caos matemático.