La aparición de la obra de Camino Cañón,
La
Matemática: creación y descubrimiento,
sobre diversos
aspectos muy interesantes relacionados con la historia y epistemología
de la matemática, representa una más que bienvenida novedad
en el panorama del pensamiento reflexivo en nuestro país sobre la
estructura de la ciencia. El trabajo de Camino Cañón, profundo
y ampliamente documentado, contiene una multitud de análisis originales
y bien estructurados sobre la naturaleza de la matemática, repensados
al margen de la presentación del pensamiento de muy diversos autores
antiguos y modernos.
Las siguientes reflexiones, estimuladas por la lectura de la obra de Camino Cañón, pretenden servir de invitación al lector para que realice él mismo su propia inmersión en los interesantes temas tratados en este trabajo.
Es cierto que tampoco la actividad del artista, paradigma del quehacer creativo, es pura creación. Hay armonías en los sonidos. Hay colores en las flores y expresividad en los rostros. Hay ya belleza en las formas. La sensibilidad del artista ha de descubrirla primero y expresarla convenientemente después. Algo semejante ocurre con la creatividad en el quehacer matemático.
La realidad posee estructuras, complejísimas estructuras que el hombre trata de percibir, de entender, de interpretar, de muchas formas distintas.
La matematización consiste en emprender la tarea de entender ciertas estructuras de la realidad que se prestan al tratamiento simbólico eficaz, operativo, a través de una manipulación racional rigurosa que finalmente proporciona un cierto dominio efectivo de la parcela de realidad a la que se dirige.
Esta realidad puede ser diversa, interna y externa. Se
puede afrontar la interpretación de las formas espaciales, externas,
como se hace en la geometría, y se puede intentar la ulterior interpretación
de una realidad mental ya elaborada, como es la aritmética, para
dar lugar al álgebra, que viene a ser así una especie de
símbolo del símbolo. Se puede afrontar la realidad misma
del pensamiento en los aspectos de su propia estructura formal, una realidad
bien interna, para crear así la lógica matemática.
Al
enfrentarse con esta realidad tan rica en estructura, el matemático,
en su afán de entenderla mejor, no está totalmente constreñido
a una única posible matematización, y en esto precisamente
consiste uno de los aspectos de la libertad presente en el quehacer matemático.
Esto sucede muy en particular ante la presencia ineludible de ciertos procesos
infinitos del pensamiento en el mismo comienzo de la tarea matemática.
De nuestra intuición primordial de número
surge, ya en el paso del uno al dos, el infinito, lo ilimitadamente grande.
De nuestra intuición más primitiva del espacio y de la posibilidad
de la repetición mental de su partición indefinida surge
lo infinitamente pequeño. De nuestra percepción inicial de
lo que un conjunto es podrían surgir diversas teorías de
conjuntos, cantorianas y no cantorianas, si bien esto sólo se ha
hecho patente tras muchos siglos de trabajo ingenuo y después de
haberse hecho urgente la necesidad de descender hasta los cimientos del
propio edificio matemático.
Estando el infinito presente, como se encuentra necesariamente y de múltiples formas en el mismo inicio de todo pensamiento humano que matematiza, la característica de creación del quehacer matemático está asegurada. El infinito matemático está presente en la mente humana no a modo de objeto, sino como horizonte en el que los objetos aparecen y se distinguen unos de otros, y por tanto no se puede encapsular ni reificar en su integridad. No se puede enfocar como objeto. Por ello es por lo que la introducción formal del infinito en el tratamiento matemático, tarea que es necesario acometer de todos modos, ofrece un sinfín inagotable de posibilidades. La presencia del infinito en el pensamiento matemático es precisamente lo que le proporciona profundidad y le libera de convertirse en una gigantesca tautología.
Siendo las cosas como se ha señalado arriba, es
claro que el quehacer matemático tenía que ser lo que de
hecho ha sido, una actividad humana descubridora y a la vez profundamente
creativa. Bajo el estímulo de la ambigua complejidad inherente en
los objetos que explora, la mente humana crea estructuras que le sirven
para penetrar más profundamente en la realidad o, con la honda expresión
clásica de los pitagóricos, «en las raíces y
fuentes de la naturaleza».
A la luz de la naturaleza de la matemática entiende uno mejor la fuerte cohesión de la multitud de campos aparentemente abigarrados de la matemática, especialmente en nuestros días. La motivación profunda de todos ellos, así como el estilo de acercamiento a sus respectivos campos de exploración, son en el fondo los mismos.
La permanencia, es decir, la no obsolescencia, del conocimiento matemático y su carácter acumulativo es una característica singular de la matemática que proviene también de su propia naturaleza. Podrá suceder que las preguntas que en otro tiempo interesaron profundamente no nos resulten ahora tan apasionantes, pero lo cierto es que lo que nuestros mayores hicieron y pensaron como matemáticos es herencia imperecedera para nosotros y nuestros sucesores. Esto es lo que hace a los matemáticos antiguos en muchos aspectos tan «contemporáneos» para nosotros, lo que probablemente no sucede en ninguna otra ciencia.
La universalidad del alcance de la matemática y
su amplia aplicabilidad proviene asimismo de su forma de ser. Bien mirado,
el quehacer matemático se constituye en un estilo de pensamiento
en principio aplicable a cualquier situación. La dificultad principal
consiste en identificar la estructura matemática ya existente a
la que la situación puede asimilarse o bien en idear una estructura
nueva que se adapte al objeto.
La obra se divide en cinco partes dedicadas a «La configuración de las creencias» (parte primera), «Las concepciones matemáticas de la modernidad» (parte segunda), «Fundamentos» (parte tercera), «La filosofía de la matemática en autores del siglo XX» (parte cuarta) y «La relevancia de la historia y el lugar de la certeza» (parte quinta). Un apéndice titulado «Hagamos explícitas nuestras creencias» y una muy extensa bibliografía articulada según los temas tratados en la obra concluyen el trabajo.
La autora no ha pretendido presentar un tratado exhaustivo de epistemología matemática ni de su historia, sino analizar en profundidad el pensamiento de un buen número de autores, tanto filósofos como matemáticos, sobre la naturaleza epistemológica de la matemática, tratando de detectar los progresos de tales concepciones. El acento se pone, sobre todo, en los autores modernos y contemporáneos, con agudos análisis en la obra de pensadores importantes de nuestro siglo como Lakatos.
Ante cualquier selección personal de los autores examinados con una cierta intención particular se podrían presentar objeciones naturales provenientes de los sesgos intelectuales propios. Los míos en particular no me dejan pasar por alto que no figure un, al menos, breve estudio y presentación del pensamiento de Wittgenstein sobre la naturaleza del pensar matemático, autor por otra parte que, según me consta, la autora conoce profundamente.
Resulta extraordinariamente motivador y estimulante el
breve apéndice en el que la autora explicita sus puntos de vista
con respecto a temas tales como:
1. Matemática, ¿creación o descubrimiento?
2. La verdad en matemáticas
3. Dependencia cultural de la matemática
4. Rigor en matemáticas
5. Papel de la formalización en el avance de las
matemáticas
6. Lo particular versus lo general
7. Grado de elaboración del lenguaje matemático
8. Lógica y matemática
9. Interacción mente-naturaleza en matemáticas
10. Matemática, utilidad y belleza.
La lectura de la obra resultará de gran utilidad
a los matemáticos y a todos aquellos que se interesan por la naturaleza
y evolución del pensamiento matemático.