El
interés por entender la complejidad que se deriva de las formas
en el espacio y sus relaciones mutuas dió lugar entre los griegos
a la geometría, que llegó a ser por mucho tiempo verdadero
modelo de pensamiento científico.
Uno de los grandes misterios en torno a la matemática
es el de su propia aplicabilidad. ¿Cómo es que la matemática,
aparentemente un puro producto del pensamiento humano, logra obtener un
verdadero señorío de la realidad en una multitud de campos?
El proceso de construcción y aplicación de la matemática transcurre de acuerdo con el siguiente esquema general:
a) El matemático observa con atención la realidad de su mundo externo o de su propio mundo mental.
b) De esta amplia realidad abstrae unos cuantos rasgos estructurales que se prestan a un cierto tipo específico de manipulación racional.
c) A partir de esta abstracción elabora, mediante las leyes del funcionamiento lógico de su mente, el universo que constituye una teoría matemática, llegando a consecuencias bien apartadas de los elementos iniciales observados.
d) Asombrosamente, al aproximar los resultados de su teoría a la compleja realidad inicial de la que en principio sólo se tuvieron en cuenta unos pocos rasgos, se encuentra con la sorpresa de que los constructos teóricos que realizó, guiado por un sentido estético mucho más que por una finalidad práctica inmediata, le descubren aspectos de esa realidad totalmente insospechados y le permiten predecir lo que ocurrirá al manipularla de tal o cual manera.
Ha habido quien ha intentado trivializar el proceso señalado
diciendo que sacamos de él lo que previamente habíamos metido,
pero quien mira en lo profundo puede fácilmente apreciar que en
él se encuentra algo tan hondo como la misteriosa adaptabilidad
de nuestra mente para la exploración eficaz del universo que la
rodea.
Y N. Bourbaki, en su artículo titulado «La arquitectura de las matemáticas», alude a esta situación con las siguientes palabras: «Que existe una relación íntima entre los fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece confirmarse plenamente de la forma más inesperada mediante los descubrimientos más recientes de la física contemporánea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente significación a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello.»
La matemática como tarea colectiva siempre ha perseguido en el fondo un interés aplicado. La matemática surge del confrontamiento de la mente humana con los diferentes niveles de complejidad de la realidad, en su afán por dominarlos intelectualmente y por poner a su disposición las fuerzas y poderes que de este dominio puedan derivarse.
La complejidad derivada de la multiplicidad dio lugar a la introducción del número y más tarde a la aritmética. Con ella se lograba el dominio de la cantidad, que tradicionalmente ha venido considerándose como específico de la matemática.
Pero lo más característico de la matemática más adulta consiste en la creación de modelos de estructuras mucho más generales que las que meramente se refieren al número o a la cantidad. Y precisamente este ensanchamiento, de sus miras iniciales es lo que va confiriendo a la matemática mayor utilidad para la exploración de campos más amplios y de niveles de complejidad más profundos de la realidad.
El
interés por entender la complejidad que se deriva de las formas
en el espacio y sus relaciones mutuas dió lugar entre los griegos
a la geometría, que llegó a ser por mucho tiempo verdadero
modelo de pensamiento científico.
En el siglo XVII se abordó a fondo el estudio cuantitativo del cambio una vez construidas las herramientas que lo hacían posible, tales como los instrumentos de medida del tiempo y del espacio y los útiles conceptuales adecuados, como la simbolización del álgebra y el concepto de función. El cálculo infinitesimal, que así fue creado, constituye una de las obras de arte más elevadas del pensamiento humano.
Más adelante la matemática arrostró la complejidad que presentan los procesos reales sometidos a multitud de causas imposibles de controlar individualmente. La probabilidad y la estadística fueron los instrumentos poderosos que el matemático se fabricó para explorar la incertidumbre de ciertos fenómenos, con lo que la matemática se adentraba por vez primera en campos cercanos a las ciencias humanas y sociales.
En nuestro siglo, la invasión del ordenador ha hecho posible la exploración y modelización de aspectos de la realidad cuya complejidad sobrepasa en muchos órdenes de magnitud la que hasta los años cincuenta era abordable. Es muy probable que la influencia del ordenador en la ciencia y en la cultura general del hombre, que no ha hecho más que comenzar a hacerse sentir, sobrepasará ampliamente la que han ejercido el telescopio y el microscopio hasta la actualidad.
La aplicabilidad de las estructuras matemáticas llegará, con la ayuda del ordenador, gracias a su potencia de cálculo, su capacidad de modelización, su impresionante efectividad gráfica, a convertir la matemática en una versátil herramienta útil en tareas mucho más abarcadoras aún que aquellas en las que en la actualidad se ve involucrada, con incursiones en aspectos de las ciencias sociales y humanas cuya complejidad deja atrás la de las ciencias más tradicionales de la física, química, etc.
La obra For all Practical Purposes, subtitulada Introduction to Contemporary Mathematics, constituye una magnífica introducción, para un público no especializado, a la inmensa riqueza de ideas y métodos de la matemática aplicada actual. Es una parte de un ambicioso proyecto del COMAP («Consortium for Mathematics and its Applications») dirigido por Solomon Garfunke1 y en el que actúa como coordinador Lynn A. Steen, matemático muy influyente en los intentos actuales de reorientación de la enseñanza matemática en Estados Unidos. De cada una de las cinco partes de la obra se ha encargado un equipo de expertos en los temas correspondientes. A pesar del gran número de personas que han colaborado en el proyecto (14 autores), resalta fuertemente la unidad de presentación y estilo, así como la consistencia de objetivos a lo largo de toda la obra.
Tal vez las partes I y II en particular contengan para muchos revelaciones insospechadas de lo que la matemática actual puede hacer en relación con problemas importantes de la economía y la política de la sociedad contemporánea.
La parte I, en cuatro capítulos, está dedicada a ciertos aspectos matemáticos de las ciencias empresariales. Los dos primeros capítulos constituyen una magnífica introducción a la teoría de grafos y sus aplicaciones en aspectos tan importantes como el problema del viajante y el algoritmo de Kruskal para la construcción del árbol mínimo. Todo ello presentado de forma muy asequible y sazonado con interesantes informaciones sobre el quehacer matemático desde el punto de vista humano y con toda una colección de problemas con los que se puede comprobar el nivel de dominio del tema que se ha alcanzado. El capítulo tercero se dedica a la matemática de la planificación y secuenciación de tareas, con información amplia sobre sus aplicaciones en problemas diversos, entre otros al de la criptología de clave abierta, tan de actualidad hoy día. En el capítulo cuarto se proporciona una sencilla introducción a la programación lineal, con datos interesantes sobre el estado actual del método del simplex, el algoritmo de Karmarkar, etc...
La parte III Elección social, contiene cuatro capítulos centrados fundamentalmente en los interesantes problemas matemáticos que surgen cuando se consideran a fondo las estructuras de funcionamiento de la máquina social, política y económica de nuestra sociedad. Un ejemplo sobresaliente de este estudio se encuentra en la paradoja de Arrow, sobre la imposibilidad de un sistema de votación perfecto. Kenneth Arrow, que en 1972 recibió el Premio Nobel de Economía por sus estudios sobre el equilibrio económico, había descubierto en 1952 que cualquier sistema de votación que se pueda diseñar viola necesariamente alguna condición de un conjunto de cinco, todas ellas obviamente deseables en un método democrático de votación, como es por ejemplo que las decisiones de una sociedad no se identifiquen necesariamente, según el sistema de votación, con las de un solo individuo; es decir, que el sistema excluya la dictadura. Este y otros problemas íntimamente relacionados con las estructuras sociales, como la teoría de juegos de von Neumann y Morgenstern, son tratados de forma muy interesante e inteligible en esta parte III.
La obra, en conjunto, es muy recomendable para todos aquellos que quieran explorar algunos aspectos de los irnpactos prácticos de la matemática en el mundo contemporáneo sin necesidad de introducirse a fondo en los aspectos técnicos de las diversas ramas de la matemática.
Finalmente conviene hacer notar que el libro constituye una parte, que puede ser usada de forma totalmente independiente, de un proyecto audiovisual más amplio. Los autores han realizado, juntamente con el texto escrito, una serie de 26 programas de media hora de vídeo que transcurren de forma paralela a los contenidos de los diferentes capítulos. Esta serie ha sido realizada con gran profusión de medios y el resultado parece haber sido satisfactorio, a juzgar por las muestras que el autor de esta recensión ha tenido ocasión de observar.