Conjunto de Cantor:

El conjunto o polvo de Cantor, conocido de tal forma por su precursor George Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0,1]; quizás la primera estructura fractal de la que se tiene registro.

La construcción del conjunto de Cantor, fractal realizado mediante remoción de partes de una figura geométrica, se hace utilizando el siguiente algoritmo:

Estado inicial: Un segmento 0-1.

Etapa 1: Se divide el segmento en tres partes iguales y se elimina la parte central.

Etapa 2: Iterar la etapa 1 con cada uno de los segmentos obtenidos

La reunión de los “infinitos” segmentos que no han sido eliminados es el conjunto de Cantor, formado por una sucesión de segmentos cuyas longitudes “tienden” a cero. Es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27…, hay una infinidad de puntos: los 1/3ⁿ están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.

a) El intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. La sucesión geométrica u_n = (2/3)ⁿ tiende hacia cero.

b) Al hacer el primer paso obtenemos dos segmentos, en el siguiente obtenemos dos de cada uno de los segmentos obtenidos en el primer paso, es decir 4, y así sucesivamente por tanto en el paso n tendremos 2ⁿ segmentos.