ECUACIÓN  DEL CALOR

La ecuación del calor describe  fenómenos difusivos. El prototipo (que da su

nombre a la ecuación) lo constituye la evolución de la temperatura de un recinto.
 

     La ecuación del calor en dimensión uno

La temperatura u(x,t)de un recinto unidimensional satisface la ecuación:

      ut- k  uxx = 0,     x Є I, t>0, k >0

Para determinar su evolución  con el tiempo hemos de conocer la temperatura
inicial u(x,0). Cuando el recinto I es finito, hemos de saber además qué ocurre
en sus bordes, si la temperatura se mantiene fija o si hay aporte o pérdida de
calor (condiciones frontera).

 

Recinto infinito

En este caso hay una solución particularmente significativa: el núcleo del calor
 
   G(x,t)  1           exp(-x2/ 4kt),      x Є IR, t >0
             (4pk t)1/2            
 

Tomamando k  = 0.5 conseguimos la siguiente gráfica

 

Para observar el efecto del parámetro

Pulsa aquí

 

Observamos que el pico inicial decae en altura al tiempo que se ensancha, es
decir, se 'difunde'. El coeficiente de difusividad
k > 0 depende del medio cuya
temperatura estudiamos. Mide la rapidez con la cual la distribución de temperatura
se uniformiza.

Al introducir un valor para k  y pulsar 'ejecutar' se visualizará la evolución con el
tiempo de una distribución de temperatura irregular, con varios picos:

   G(x,t)  1         [ A exp(-(x - xA)2/ 4kt) + B exp(-(x xB)2/ 4kt) ],      x Є IR, t >0
             (4 pk t)1/2            

Tomando los valores  k  = 0.5,  xA = 1,  xB = -1   A = 2,  B = 1 obtenemos:  

 

 

Para ilustrar el impacto de los parametros

Pulsa aquí

 

Otra solución relevante es la función error:
 
                                   x/(4k t)1/2
  E(x,t)=  (1+ 2     ò    exp(-s2) ds )
               2         p1/2      0 

Tomando los valores  k = 0.5,  a = 1   conseguimos la siguiente gráfica:

 

Cambia el valor de los parámetros para ver cómo evoluciona

Pulsa aquí

 

   

 
      La  ecuación del calor en dimensión n

Como en el caso anterior hay una solución particularmente significativa: el núcleo
del calor en dimensión n:

 
   G(x1,x2,...,xn, t)  1           exp(-|x|2/ 4k t),     xi Є IR, i=1,...,n, t >0
                              (4pk t)n/2            
 
Veamos  la evolución con el tiempo de esta gaussiana cuando n=2:

 

 


Una distribución de temperatura irregular, con varios picos, evoluciona
como sigue:                

 

 


 
 
 

Esta  página ha sido elaborada por Marta Casquero, becaria del
proyecto de innovación docente PIE 12/2004.