ECUACIONES DE ONDASLas ecuaciones de ondas describen fenómenos ondulatorios: progagación del sonido, propagación de ondas electromagnéticas, vibración de cuerdas, barras y membranas, vibraciones producidas por terremotos, oscilaciones de péndulos y muelles, movimiento de ondas en un estanque...
La ecuación de ondas en dimensión unoUno de los sistemas más sencillos cuya evolución se puede describir mediante ecuaciones de ondas es la cuerda vibrante. En ausencia de fuerzas externas, la posición u(x,t) de la cuerda en el instante de tiempo t es solución de la ecuación:
utt- c2 uxx =
0, x Î [0,L], t>0 El cambio de variable h= x+ct, z=x-ct transforma la ecuación en uzh=0. Integrando y
volviendo a las variables iniciales obtenemos la solución general:
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct) Para determinar la evolución de la posición de la cuerda con el tiempo hemos de conocer su posición inicial u(x,0) y su velocidad inicial ut(x,0) (condiciones iniciales).Si la cuerda es infinita estos datos bastan para obtener F y G. Normalmente, la cuerda será finita y habremos de saber además qué ocurre en sus extremos, si están fijos, libres o se mueven de alguna forma predeterminada (condiciones frontera).
La cuerda infinitaEl movimiento de la cuerda se calcula a partir de la fórmula de D'Alembert: x+ct El parámetro c=T/r>0
es el cociente entre la tensión que experimenta la cuerda y su densidad, supuestas ambas constantes. Estudiemos
cómo se mueve la cuerda en función de c y de su estado inicial. Supongamos primero que u(x,0)=exp(-x2) y ut(x,0)=0 . Para el valor c=1 se obtiene la siguiente visualización: para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ
Se observa la generación de dos ondas
iguales que se propagan en sentido contrario con Para los valores c=1, h=1, se obtiene la siguiente visualización: para observar el efecto de los parámetros c y h, PULSA AQUÍ Observamos que la perturbación inicial se expande con velocidad c.
La cuerda seminfinita Si la cuerda ocupa la región x > 0, necesitamos conocer la evolución del extremo izquierdo, dada por u(0,t) (extremo fijo) ó ux(0,t) (extremo libre). Con esta información, más los datos iniciales, podemos calcular F y G. Supongamos que la cuerda está inicialmente en reposo ut(x,0)=0 y que el extremo izquierdo está fijo u(0,t)=0. Supongamos que su posición inicial viene dada por u(x,0)= 1 si 4<x<5, 0 si no. A continuación se muestra una visualización del movimiento de la cuerda para c=1:
para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ
Observamos que la perturbación inicial se parte en dos ondas. Una de ellas se desplaza a la izquierda con velocidad c,rebota en la pared y se invierte. A partir de ahí, se desplaza a la derecha con velocidad c. La otra onda se desplaza siempre a la derecha. Qué crees que pasaría si dejamos libre el extremo en lugar de fijarlo, es decir, ux(0,t)=0 ?
La cuerda finita Si la cuerda ocupa la región x Î [0,L], necesitamos conocer la evolución de los dos extremos. Con esta información, más los datos iniciales, podemos calcular F y G mediante el método de las características. Supongamos que la cuerda está inicialmente en reposo ut(x,0)=0 y que ambos extremos están fijos: u(0,t)=0 y u(L,t)=0. Supongamos que su posición inicial viene dada por u(x,0)= exp(-x2). Al introducir un valor para c, L y pulsar 'ejecutar' se obtendrá la visualización del movimiento de la cuerda: para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ
Observamos que la perturbación inicial
se parte en dos ondas que se propagan en direcciones opuestas con velocidad c, rebotan y se
invierten al llegar a las paredes. A partir de ahí, las ondas
La cuerda con fuerza externa Cuando una fuerza externa f(x,t) actúa sobre la cuerda (por ejemplo, al pulsar una cuerda de guitarra) la ecuación que rige su movimiento ha de incluir la fuerza: utt-c2 uxx =
f(x,t), x Î [0,L], t>0 La evolución de la cuerda infinita viene dada por la fórmula de D'Alembert para x Î IR, t>0:
x+ct x+c(t-s) t Esta fórmula proporciona una información
importante: el valor de la solución en un punto (x,t) depende sólo de los valores de los datos en el
triángulo de vértices (x,t),(x-ct,0), (x+ct,0) (dominio de dependencia).
Para cuerdas finitas la solución se calcula mediante series de Fourier. Estas series son desarrollos en términos de autofunciones. Cuando los extremos están fijos, resultan series trigonométricas, con funciones de base: sin(n p x/L) cos(n p ct/L), sin(n p x/L) sin(n p ct/L), n=0,1,.... Estas funciones son los modos
elementales de vibración y están asociadas a los autovalores, La siguiente es una visualización de sin(n p x/L) cos(n p ct/L), para c=1, L=2, n=4. para observar el efecto de los parámetros c, L y n, PULSA AQUÍ Obsérvese que al aumentar n, la frecuencia de las oscilaciones aumenta. Las vibraciones acústicas que pueda generar la cuerda pasan de ser graves a convertirse en agudas.
La ecuación de ondas en dimensión dos
utt- c2 (uxx + uyy)
= 0, (x,y) Î W, t>0 W es la región ocupada por la membrana. Para determinar la evolución de la posición de la membrana con el tiempo hemos de conocer su posición inicial u(x,y,0) y su velocidad inicial ut(x,y,0) (condiciones iniciales). Además, es preciso saber qué ocurre en el borde, si está fijo, libre o se mueve de alguna forma predeterminada (condiciones frontera). Supongamos que el borde de la membrana está fijo u(x,y,0)=0 en ¶W. Los modos elementales de vibración son autofunciones asociadas al problema de autovalores: - c2 (uxx + uyy) = l
u, si (x,y) Î W Si la membrana es circular, de radio a, pasamos a coordenadas polares y calculamos los autovalores l y sus autofunciones asociadas por separación de variables: Jm
(zmn r/a) sin(m q)
sin(c zmn t/a ), Jm (zmn
r/a) sin(m q) cos(c zmn t/a )
para observar el efecto de los parámetros c, a, m y n, PULSA AQUÍ
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Garrido Yuste, becario del |
