ECUACIONES DE ONDAS

   Las ecuaciones de ondas describen  fenómenos ondulatorios: progagación del sonido, propagación de ondas electromagnéticas, vibración de cuerdas, barras y membranas, vibraciones producidas por terremotos, oscilaciones de péndulos y muelles, movimiento  de ondas en un estanque...

 

        La ecuación de ondas en dimensión uno

Uno de los sistemas más sencillos cuya evolución se puede describir mediante ecuaciones de ondas es la cuerda vibrante. En ausencia de fuerzas externas, la posición u(x,t) de la cuerda en el instante de tiempo t es solución de la ecuación:

      utt- c2 uxx = 0,     x Î [0,L], t>0

El cambio de variable h= x+ct, z=x-ct transforma la ecuación en uzh=0. Integrando y volviendo a las variables iniciales obtenemos la solución general:

    u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)

Para determinar la evolución de la posición de la cuerda con el tiempo hemos de conocer su posición inicial u(x,0) y su velocidad inicial ut(x,0) (condiciones iniciales).Si la cuerda es infinita  estos datos bastan para obtener F y G. Normalmente, la cuerda será finita y habremos de saber además qué ocurre en sus extremos, si están fijos, libres o se mueven de alguna forma predeterminada (condiciones frontera).

 

La cuerda infinita

El movimiento de la cuerda se calcula a partir de la fórmula de D'Alembert:

                                                               x+ct
   u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0)  +  1    
 ò     ut (s,0) ds            x Î IR, t>0
                            2                    2c      x-ct

El parámetro c=T/r>0 es el cociente entre la tensión que experimenta la cuerda y su densidad, supuestas ambas constantes. Estudiemos cómo se mueve  la cuerda en función de c y de su estado inicial.

Supongamos primero que u(x,0)=exp(-x2) y ut(x,0)=0 . Para el valor c=1 se obtiene la siguiente visualización:

 

 

para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ

 

Se observa la generación de dos ondas iguales que se propagan en sentido contrario con
velocidad c.
 
Supongamos ahora que u(x,0)=0 y ut(x,0)  vale -h si x<-h, x si -h<x<h y h si x>h.

Para los valores c=1, h=1, se obtiene la siguiente visualización:

 

 

para observar el efecto de los parámetros c y h, PULSA AQUÍ

Observamos que la perturbación inicial se expande con velocidad c.

 

La cuerda seminfinita

Si la cuerda ocupa la región x > 0, necesitamos conocer la evolución del extremo izquierdo, dada por u(0,t) (extremo fijo) ó ux(0,t) (extremo libre). Con esta información, más los datos iniciales, podemos calcular F y G.

Supongamos que la cuerda está inicialmente en reposo ut(x,0)=0 y que el extremo izquierdo está fijo u(0,t)=0. Supongamos que su posición inicial viene dada por u(x,0)= 1 si 4<x<5,   0 si no. A continuación se muestra una visualización del movimiento de la cuerda para c=1:

 

 

 

para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ

                       

Observamos que la perturbación inicial se parte en dos ondas. Una de ellas se desplaza a la izquierda con velocidad c,rebota en la pared y se invierte. A partir de ahí, se desplaza a la derecha con velocidad c. La otra onda se desplaza siempre a la derecha. Qué crees que pasaría si dejamos libre el extremo en lugar de fijarlo, es decir,  ux(0,t)=0 ?

 

La cuerda finita

Si la cuerda ocupa la región x Î [0,L], necesitamos conocer la evolución de los dos extremos. Con esta información, más los datos iniciales, podemos calcular F y G mediante el método de las características.

Supongamos que la cuerda está inicialmente en reposo ut(x,0)=0 y que ambos extremos están fijos: u(0,t)=0 y u(L,t)=0. Supongamos que su posición inicial viene dada por u(x,0)= exp(-x2). Al introducir un valor para c, L y pulsar 'ejecutar' se obtendrá la visualización del movimiento de la cuerda:

 

 

para observar el efecto del parámetro c, PULSA AQUÍ

 

Observamos que la perturbación inicial se parte en dos ondas que se propagan en direcciones opuestas con velocidad c, rebotan y se invierten al llegar a las paredes. A partir de ahí, las ondas
se van desplazando, rebotando e invirtiendo sucesivamente. Qué crees que pasaría si dejamos libres los extremos en lugar de fijarlos, es decir, ux(0,t)=0 y  ux(L,t)=0?

 

La cuerda con fuerza externa

Cuando una fuerza externa  f(x,t) actúa sobre la cuerda (por ejemplo, al pulsar una cuerda de guitarra) la ecuación que rige su movimiento ha de incluir la fuerza:

      utt-c2 uxx = f(x,t),     x Î [0,L], t>0

La evolución de la cuerda infinita viene dada por la fórmula de D'Alembert para  x Î IR, t>0:

                                                           x+ct                                   x+c(t-s)    t
   u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0)  +  1  ò        ut (z,0) dz  +       ò           ò   f(z,s) dz ds
                            2                     2c  x-ct                         2c     x-c(t-s)     0

Esta fórmula proporciona una información importante: el valor de la solución en un punto (x,t) depende sólo de los valores de los datos en el triángulo de vértices (x,t),(x-ct,0), (x+ct,0) (dominio de dependencia).
Recíprocamente, el valor de los datos en un punto (x,0), influye sobre la solución en el 'cono' de vértice (x,0) y 'generatrices' de pendiente 1/c (dominio de influencia).

 

Para cuerdas finitas la solución se calcula mediante series de Fourier. Estas series son desarrollos en términos de autofunciones. Cuando los extremos están fijos, resultan series trigonométricas, con funciones de base:

         sin(n p x/L)  cos(n p ct/L),  sin(n p x/L) sin(n p ct/L),  n=0,1,....

Estas funciones son los modos elementales de vibración y están asociadas a los autovalores,
(n p /L)2, que nos dan las frecuencias elementales de vibración de la cuerda.

La siguiente es una visualización de sin(n p x/L)  cos(n p ct/L), para c=1, L=2, n=4.

 

 

para observar el efecto de los parámetros c, L y n, PULSA AQUÍ

Obsérvese que al aumentar n, la frecuencia de las oscilaciones aumenta. Las vibraciones acústicas que pueda generar la cuerda pasan de ser graves a convertirse en agudas.  

 

 

          La ecuación de ondas en dimensión dos


Las vibraciones de las membranas elásticas se describen mediante la ecuación de ondas en dos dimensiones. La posición u(x,y,t) de la membrana en el instante de tiempo t es solución de la ecuación:

utt- c2 (uxx + uyy) = 0,     (x,y) Π W,  t>0

W es la región ocupada por la membrana. Para determinar la evolución de la posición de la membrana con el tiempo hemos de conocer su posición inicial u(x,y,0) y su velocidad inicial ut(x,y,0) (condiciones iniciales).  Además, es preciso saber qué ocurre en el borde, si está fijo, libre o se mueve de alguna forma predeterminada (condiciones frontera).

Supongamos que el borde de la membrana está fijo u(x,y,0)=0 en  W. Los modos elementales de vibración son autofunciones asociadas al problema de autovalores:

   - c2 (uxx + uyy) =  l  u,      si (x,y) Π W
     u(x,y,0)=0 si   (x,y) Î W.

Si la membrana es circular,  de radio a, pasamos a coordenadas polares y calculamos los autovalores  y sus autofunciones asociadas por separación de variables:

  Jm (zmn  r/a) sin(m q) sin(c zmn t/a ),   Jm (zmn  r/a) sin(m q) cos(c zmn t/a )
 Jm (zmn  r/a) cos(m q) sin(c zmn t/a ),   Jm (zmn  r/a) cos(m q) cos(c zmn t/a )
    n=1,2,3...,    m=0,1,2,...
 
Jm es la función de Bessel de primer orden y zmn  son sus ceros, en orden creciente.
Al introducir un valor para c, a,n y pulsar 'ejecutar' se obtendrá la visualización de
 J0 (z0n  r/a) sin(c z0n t/a )

 

para observar el efecto de los parámetros c, a, m y n, PULSA AQUÍ

 

 

 

 

Esta página ha sido elaborada por Guillermo Garrido Yuste, becario del
proyecto de innovación docente PIE 13/2004.