Infinitésimos Equivalentes

El problema fundamental con los famosos infinitésimos equivalentes es que muchas veces se aplican sin tener ni idea de qué se está haciendo ni por qué se puede (¡o no se puede!) hacer.

La idea básica que suelen tener los alumnos de primer curso que llegan a Facultad de Matemáticas acostumbrados a emplearlos, viene a ser algo de este estilo:

Problema 1. Tengo que calcular $lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x} .$

Solución. Como “sé” que $sin x$ y $x$ son infinitésimos equivalentes en $x = 0,$ puedo sustituir $sin x^{2}$ por $x^{2},$ y obtengo:

lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = lim_{x \to 0} x = 0 . ■

Si se hace la misma sustitución de

sin x^{2}

por

x^{2},

ahora en el

lim_{x \to + \infty} \frac{sin x^{2}}{x},

se obtiene

Bien, ¿y cómo lo sé? Pues, generalmente, porque me lo han dicho y yo me lo he aprendido. Y, efectivamente, podéis encontrar tablas enteras de éste y otros infinitésimos equivalentes: y, si están mínimamente bien hechas, llevarán además bien indicado dónde son equivalentes los infinitésimos en cuestión.

Volvamos al límite de nuestro Problema 1, y calculémoslo según venimos haciendo (o aprenderemos a hacer) en casos semejantes en el Curso:

Solución. $lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x \to 0} (\frac{sin x^{2}}{x^{2}} x)$ .

Método 1:

Como

sin x^{2}

x^{2}

son ambas derivable en en todo

ℝ

\begin{matrix} lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x^{2}} \overset{?}{=} por la Regla de l’Hôpital: cierto sólo si el límite existe lim_{x \to 0} \frac{{(sin x^{2})}^{'}}{{(x^{2})}^{'}} = lim_{x \to 0} \frac{2 x cos x^{2}}{2 x} = x distinto de 0 lim_{x \to 0} cos x^{2} = la función coseno es continua en 0 cos 0^{2} = 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow \exists lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x \to 0} (\frac{sin x^{2}}{x^{2}} x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x^{2}} lim_{x \to 0} x = 1 \cdot 0 = 0 . ■ \end{matrix}

Método 2:

La función

f (x) = \{\begin{matrix} \frac{sin x}{x} & s i & x \neq 0 \\ 1 & s i & x = 0 \end{matrix}

es continua en todo $ℝ$ , como hemos probado (o probaremos), y así mismo lo es $x^{2} \Rightarrow$ la compuesta de ambas,

f (x^{2}) = \{\begin{matrix} \frac{sin x^{2}}{x^{2}} & s i & x \neq 0 \\ 1 & s i & x = 0 \end{matrix}

es continua en todo $ℝ$ , y en particular en $0 \Rightarrow$

\begin{matrix} \Rightarrow \exists lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} f (x^{2}) = f (0^{2}) = 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow \exists lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x \to 0} (\frac{sin x^{2}}{x^{2}} x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x^{2}}{x^{2}} lim_{x \to 0} x = 1 \cdot 0 = 0 . ■ \end{matrix}

Definición. Diremos que dos funciones $f$ y $g$ , con

lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0 y g (x) \neq 0 \forall x \in (D (f) \cap D (g)) ∖ \{c\},

son infinitésimos equivalentes en $c$ punto de acumulación de $D (f) \cap D (g)$ , si

\exists lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = 1 .

Y, por supuesto, se podrían dar definiciones análogas para infinitésimos equivalentes en

c

por la derecha o por la izquierda, o en

+ \infty

y en

- \infty .

Y, si no nos importa darle un significado un tanto chocante al término “infinitésimo”, podemos extenderlo también al caso en que

Sin embargo, si lo hacemos, seguiremos teniendo el mismo problema, tanto si hablamos de que

o efectivamente lo sabemos porque podemos probarlo, o se trata de algo que nos hemos aprendido de memoria.

Y esto último, se le dé el nombre que se le dé, no es aceptable en la Facultad de Matemáticas...