1 ⌂Programa de la Asignatura

Seguiremos básicamente el libro de [Bartle-Sherbet]

1.1 ⌂INTRODUCCIÓN: TEORÍA DE CONJUNTOS, FUNCIONES, PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

1. Conjuntos: Operaciones con conjuntos
2. Funciones. Restricciones y extensiones. Imagen directa e inversa. Tipos especiales de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas). Funciones inversas. Composición de funciones. Sucesiones.
3. Inducción Matemática. Principio de Buena Ordenación en los naturales. Principio de Inducción Matemática.

1.2 ⌂EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES

1. Propiedades algebraicas. Los Números Racionales.
2. Propiedades del Orden. Acotación, Supremos e Ínfimos.
3. El Valor Absoluto. La recta real. Entornos.
4. La Completitud de los reales. Propiedad del Supremo. Densidad de los racionales.
5. Intervalos. Teorema de Cantor.
6. Conjuntos abiertos, cerrados, compactos. Teorema de Heine-Borel. ² .

1.3 ⌂EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS ³

1. El cuerpo complejo: Operaciones, Conjugados, Módulos y Argumentos
2. La Forma Polar: Raíces n-ésimas

1.4 ⌂SUCESIONES NUMÉRICAS Y SERIES

1. Sucesiones y sus límites
2. Teoremas del Límite (Operaciones y Desigualdades)
3. Sucesiones Monótonas
4. Subsucesiones y el Teorema de Bolzano-Weierstrass
5. El Criterio de Cauchy
6. Sucesiones Propiamente Divergentes
7. Sucesiones Complejas
8. Series Numéricas: Criterios de Convergencia Absoluta (Criterios de Comparación, del Límite, de la Raíz, del Cociente) Ejemplo: el Producto de Series; la Exponencial Compleja, el Seno y el Coseno. Series Condicionalmente Convergentes (Criterios de Leibnitz y Dirichlet)⁴

1.5 ⌂LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. Límites de Funciones (y Puntos de Acumulación)
2. Teoremas del límite (Operaciones y Desigualdades)
3. Extensiones del Concepto de Límite: Límites Laterales, Límites Infinitos

1.6 ⌂CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIFORME

1. Puntos de Acumulación. Continuidad en un Punto. Tipos de Discontinuidades
2. Operaciones con Funciones Continuas
3. Funciones Continuas en Intervalos (Teoremas de los Extremos y de Bolzano)
4. Continuidad Uniforme
5. Funciones Monótonas
6. Funciones Inversas

1.7 ⌂DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

1. La Derivada
2. Teoremas del Valor Medio de Lagrange y Cauchy.
3. Las Reglas de l’Hôpital
4. El Teorema de Taylor. Derivadas Sucesivas. Aplicaciones del Teorema de Taylor: Aproximación, Extremos Relativos.
5. Representación Gráfica de Funciones. Funciones Convexas. Asíntotas.

1.8 ⌂INTEGRACIÓN

1. La Integral de Riemann.
2. Propiedades de la Integral de Riemann
3. El Teorema Fundamental del Cálculo: Integración por Partes, Teorema del Cambio de Variable.
4. La Integral como Límite (Sumas de Riemann)
5. Ejemplos Prácticos de Integración: Cálculo de Áreas del Plano, Cambios de Variable Usuales (Funciones Trigonométricas, Raíces, Compleción de Cuadrados, Cocientes de Polinomios: Descomposición en Fracciones Simples) Volumen de un Sólido de Revolución, Longitud de un Arco de Curva (Explícita y Paramétrica) en el Plano.  ⁵
6. Integrales Impropias. Teoremas de Convergencia (Criterios de Cauchy, de Acotación, de Comparación, del Límite, de Abel). Aplicación a la Suma de Series: Criterio Integral.

1.9 ⌂SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

1. Convergencia Puntual y Uniforme
2. Intercambio de Límites
3. Series de Funciones: Criterio de Weierstrass, Series de Potencias, Funciones Analíticas.

2 ⌂Evaluación

3 ⌂Textos Recomendados

3.1 ⌂Básicos:

3.2 ⌂Complementarios:

3.3 ⌂Ejercicios:

3.4 ⌂Programas de Ordenador: