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LA LEY DE BENFORD

Existe una aplicación muy curiosa de las matemáticas a la investigación, en este caso del fraude fiscal a través de lo que se ha llamado LEY DE BENFORD.

¿Es más probable que un número empiece por 1 o por 7? En principio parecería lógico pensar que cualquier dígito tiene la misma probabilidad de ser el primero de un número, sin embargo esto no es cierto.

En 1881 el astrónomo y matemático Simon Newcomb descubrió que los libros donde consultaba tablas de logaritmos tenían más sucias las páginas con los números que empiezan por 1.

Posteriormente el físico Frank Benford recuperó las investigaciones de Newcomb y saco a la luz esta propiedad, que nos a llegado con el nombre de LEY DE BENFORD.

Newcomb incluso dedujo que la probabilidad de que un número empiezé por la cifra C, se puede calcular con la siguiente fórmula:

P = log (1 + 1/C)

En la siguiente gráfica puedes observar el cálculo de la probabilidad de cada dígito.

El Applet de GeoGebra no se pudo iniciar. Asegurate de que tienes instalado y activado Java 1.4.2 o superior. (Pulsa aqui para instalarlo ahora)

Esta curiosa propiedad se verifica para cualquier tabla de números que provenga de procesos naturales aleatorios, es decir, que los números no se generen por una función estadística conocida, como pueden ser, por ejemplo, una colección de alturas de personas en cm, en la que sabemos que solo habrá números comenzando por 1 y unos pocos comenzando por 2.

Sin embargo si se cumple para las longitudes o áreas de ríos, de carreteras, los kilowatios de luz consumidos diferentes ciudades o la lista de todas las cifras que han aparecido en la portada de cualquier periódico.

Veámos un ejemplo. En el siguiente link puedes descargar la tabla de la población de todos los municipios españoles en 2006 (obtenida de la página del instituto nacional de estadística):

PINCHA AQUI PARA DESCARGAR EL FICHERO EXCEL

Usando la función de excel EXTRAE hemos aislado el primer dígito del dato de la población en cada municipio. Aplicando las herramientas de análisis de excel podemos calcular la frecuencia de aparición de cada valor, y vemos que, como habiamos predicho, verifican la ley de Benford.

¿Y qué tiene que ver todo esto con la investigación policial? Dado que la ley de Benford se cumple con cualquier colección de números aleatorios, también debería cumplirse con los importes de cobros y pagos de una empresa, así lo supuso el Dr.Mark J. Nigrini de la Universidad de Kansas, y empezó a llevar a cabo investigaciones usando este principio matemático, obteniendo rapidamente resultados.

Gracias a las investigaciones de todos estos científicos, la policía cuenta ahora con una nueva herramienta para detectar el fraude fiscal, con la que ya han conseguido detectar estafas en muchas empresas.

Claro que esta herramienta será valida mientras los defraudadores no conozcan la ley de Benford, así que guardanos el secreto.