ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA

 

PARTE I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Lección 1. Sistemas de ecuaciones. El método de Gauss-Jordan. Ecuaciones lineales. Equivalencia de sistemas. Escalonamiento de sistemas. Discusión y resolución.

Lección 2. Teorema de Rouché-Fröbenius. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Equivalencia de matrices. Escalonamiento de matrices. Rango.

Lección 3. Operaciones con matrices. Operaciones lineales. Producto. Propiedades del rango. Matrices invertibles. Cálculo de la matriz inversa por escalonamiento.

Lección 4. El determinante. Definición. Reglas de cálculo. Regla de Laplace. Existencia y unicidad. Determinante del producto.

Lección 5. Aplicaciones del determinante. Cálculo del rango mediante menores. Matriz adjunta y matriz inversa. Regla de Cramer.

PARTE II: ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

Lección 6. Espacios vectoriales. Definición de espacio vectorial sobre un cuerpo. Subespacios vectoriales. Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal.

Lección 7. Espacios vectoriales de tipo finito. Sistemas de generadores. Bases. Coordenadas. Dimensión. Teorema de prolongación. Ecuaciones.

Lección 8. Operaciones con subespacios vectoriales. Intersección y generación de subespacios. Sumas de subespacios. Cocientes módulo subespacios. Fórmula de Grassmann.

Lección 9. Aplicaciones lineales. Definición. Imágenes y preimágenes. Núcleo. Aplicaciones lineales inyectivas e isomorfismos. Factorización canónica. Ecuaciones. Rango.

Lección 10. Espacio dual. Formas lineales. Hiperplanos. Interpretación geométrica de las operaciones del espacio dual. Bases duales. Dualidad.

PARTE III: ENDOMORFISMOS DE ESPACIOS VECTORIALES DE TIPO FINITO

Lección 11. Subespacios invariantes y autovalores. Definiciones. Matrices semejantes. Cálculo de autovalores y rectas invariantes. Polinomio característico. Diagonalizabilidad.

Lección 12. Clasificación de endomorfismos. Ejemplos en dimensión 2. Operaciones con subespacios invariantes. Hiperplanos invariantes; dualidad. Ejemplos en dimensión 3 y 4.

Lección 13. Subespacios invariantes asociados a un autovalor. Construcción de la cadena de invariantes de un autovalor dado. Bases de Jordan. Potencias de matrices.

Lección 14. Teorema de descomposición: caso complejo. Teorema. Formas canónicas de Jordan. Teorema de Cayley-Hamilton. Invariantes y dualidad. Aplicación al caso real.

Lección 15. Teorema de descomposición: caso real. Complexificación y conjugación. Teorema de descomposición real. Consecuencias. Cayley-Hamilton, invariantes y dualidad.

PARTE IV: FORMAS BILINEALES Y FORMAS CUADRÁTICAS

Lección 16. Formas bilineales y formas cuadráticas. Definiciones. Polares y rango. Formas simétricas y formas antisimétricas. Vectores isótropos. Formas cuadráticas. Ecuaciones. Congruencia de matrices.

Lección 17. Clasificación de formas cuadráticas. Conjugación. Diagonalización de formas simétricas. Calsificación compleja (rango) y real (rango y signatura). Clasificación de formas antisimétricas.

Lección 18. Espacios vectoriales euclídeos. Productos escalares. Bases ortonormales y matrices ortogonales. Gram-Schmidt. Norma. Ortogonalidad.

Lección 19. Endomorfismos de espacios vectoriales euclídeos. Endomorfismos ortogonales. Matrices ortogonales. Orientación. Clasificación. Dimensiones 2 y 3. Endomorfismos autoadjuntos. Teorema espectral.

Lección 20. Formas sesquilineales. Definición. Polares y rango. Formas hermíticas y formas antihermíticas. Ecuaciones y clasificación. Espacios hermíticos. Endomorfismos unitarios. Endomorfismos autoadjuntos.

PARTE V: ESPACIOS AFINES

Lección 21. Espacios y subespacios afines. Definición. Espacio afín estándar. Subespacios afines. Dimensión. Dependencia afín. Referencias y coordenadas. Interpolación lineal y razón simple. Ecuaciones de subespacios.

Lección 22. Operaciones con subespacios afines. Posiciones relativas de subespacios, paralelismo y cruzamiento. Intersecciones. Generación de subespacios. Fórmulas de Grassmann. Posiciones imposibles.

Lección 23. Aplicaciones afines. Derivadas lineales. Traslaciones y homotecias. Conservación del paralelismo y la alineación. Composición: regla de la cadena. Afinidades. Proyecciones y simetrías paralelas. Dilataciones y trasvecciones.

Lección 24. Clasificación de aplicaciones afines. Determinación de aplicaciones afines mediante referencias. Ecuaciones. Subespacios invariantes. Puntos fijos e hiperplanos invariantes. Clasificación. Tipos en dimensión 2.

Lección 25. Cuádricas en el espacio afín. Definición. Puntos singulares y puntos regulares. Tangencias. Centros. Ecuaciones y clasificación. Cónicas y superficies cuádricas.

PARTE VI: ESPACIOS AFINES EUCLÍDEOS

Lección 26. El espacio afín euclídeo. Distancia. Cálculo de distancias: de un punto a un subespacio, entre subespacios. Ángulos entre rectas e hiperplanos.

Lección 27. Movimientos rígidos. Conservación de la distancia. Movimientos rígidos. Traslaciones y simetrías ortogonales. Semejanzas.

Lección 28. Movimientos en baja dimensión. Giros, simetrías y simetrías sesgadas en dimensión 2. Rotaciones, movimientos helicoidales, simetrías y simetrías sesgadas en dimensión 3.

Lección 29. Cuádricas en el espacio euclídeo. Clasificación de las cuádricas desde el punto de vista euclídeo. Descripciones clásicas de las cónicas no singulares.