CÁLCULO DIFERENCIAL


Tema I. Topología del espacio afín. Distancias, normas y productos escalares. Bolas abiertas y cerradas. Equivalencia de las distancias usuales en el espacio afín. Puntos interiores. Conjuntos abiertos. Puntos de acumulación y puntos adherentes. Conjuntos cerrados. Conjuntos densos. Frontera de un conjunto. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy. Caracterización de la adherencia por convergencia. Conjuntos compactos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de Heine-Borel. Conjuntos conexos. Intervalos y conjuntos convexos. Límites de aplicaciones. Operaciones con límites. Caracterización de límites por convergencia. Aplicaciones continuas. Caracterización mediante abiertos (resp. cerrados). Imágenes continuas de conjuntos compactos. Imágenes continuas de conjuntos conexos. Aplicaciones uniformemente continuas. Extensión mediante límites. El teorema del punto fijo para aplicaciones contractivas.

Tema II. Aplicaciones diferenciables. Derivadas direccionales de una función en un punto. Derivadas parciales y gradiente. Función diferenciable en un punto. Derivada o diferencial en un punto. Gradiente de una función diferenciable. Interpretación geométrica: hiperplano tangente a un grafo. Aplicación diferenciable en un punto. Matriz jacobiana de una aplicación diferenciable. Operaciones con aplicaciones diferenciables. Regla de la cadena. Teorema del valor medio para funciones diferenciables. Caracterización de las aplicaciones constantes. Aplicaciones de clase 1 y diferenciabilidad. Interpretación mediante espacios de aplicaciones lineales. Segundas derivadas parciales y regla de Schwarz. Aplicaciones de clase p. Desarrollo y polinomio de Taylor. Extremos locales y sillas de una función. Puntos críticos de una función diferenciable. Hessiana de una función de clase 2 en un punto crítico. Condiciones necesarias y condiciones suficientes para que un punto sea un máximo local, un mínimo local o una silla.

Tema III. Teorema de inversión local. Difeomorfismos y difeomorfismos locales. Determinante jacobiano de una aplicación diferenciable. Enunciado del teorema de inversión local. Demostración: (i) Una aplicación de clase 1 con determinante jacobiano no nulo es inyectiva, (ii) es además abierta, luego tiene inversa local continua, (iii) cálculo de las derivadas parciales de la inversa local y conclusión. Puntos regulares de una aplicación diferenciable. El teorema de las funciones implícitas. Soluciones de un sistema de ecuaciones implícitas en un entorno de un punto regular. Derivación implícita. Extremos locales condicionados de una función. Puntos críticos condicionados de una función diferenciable: multiplicadores de Lagrange. Estudio de un punto crítico condicionado mediante derivación implícita. Variedades de nivel de una aplicación diferenciable en un entorno de un punto regular. Linearización. Espacio tangente a una variedad de nivel en un punto regular.