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Las secciones cónicas
El espacio  afín y  el espacio  proyectivo
 Los puntos de infinito
 Desargues y Pascal
Redescubrimiento
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El modelo  proyectivo del plano  hiperbólico
Planos proyectivos finitos
Modelos del plano proyectivo real

DESARGUES Y PASCAL

En el contexto de los trabajos de perspectiva del Renacimiento y ante la aparición de nuevos problemas en la ciencia aplicada, surgen en el siglo XVII varias figuras clave en la recuperación de los conocimientos geométricos griegos y en los nuevos enfoques que dieron lugar al nacimiento de la Geometría Proyectiva. Además de Kepler, que se orientó más hacia la Óptica y la Astronomía, tres son los nombres que se destacan:  Girard Desargues (1591-1661),  Blaise Pascal (1623-1662) y  Philippe de la Hire (1640-1718). Por la importancia de sus resultados nos centraremos en los dos primeros:

Desargues investiga:

El trabajo de Pascal  se concentra en su Essay pour las coniques, donde aparece el teorema que hoy lleva su nombre, uno de los más bellos y sugestivos de la matemática. El teorema de Pappus puede considerarse como el caso no regular del Teorema de Pascal. Desgraciadamente, el siglo XVII no era adecuado para la geometría pura. Los problemas científicos del momento requerían métodos algebraicos más efectivos para los cálculos que la tecnología necesitaba. Por esto, la Geometría Proyectiva fue abandonada en favor de la Geometría Analítica, el Álgebra y el Cálculo Infinitesimal. Los resultados de Desargues, Pascal y de la Hire se olvidaron hasta principios del siglo XIX, cuando se produjo el resurgimiento de la geometría pura.

Teorema de Desargues en el plano

Teorema de Desargues en el espacio


TEOREMA DE DESARGUES:
Si proyectamos un triángulo de vértices A,B,C desde un punto O obtenemos otro triángulo de vértices A',B',C', y decimos que los dos triángulos son
perspectivos. Entonces, dos triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados.

RAZON DOBLE:
La pregunta de Alberti: ¿qué se conserva por proyección, si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos?, da lugar a estudiar cuándo varios puntos dados en una recta se pueden transformar (por proyecciones sucesivas) en otros tantos dados en otra.  Si se tienen tres puntos, esto siempre es posible. El invariante numérico que interviene para cuatro puntos A,B,C,D es su razón doble (CA/CB):(DA/DB), pues cuatro puntos se pueden transformar en otros cuatro si la razón doble de los primeros es la misma que la de los segundos.


TEOREMA DE PASCAL:
Si se inscribe un hexágono en una cónica, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos están alineados.


Hexagrama místico de Pascal


TEOREMA DE PAPPUS: Sean L y L' dos rectas distintas del plano proyectivo. Si A,B,C están en LA',B',C' en L', y ninguno de ellos es el punto de intersección de las rectas, entonces  los tres puntos de intersección:  (1) P  de BC' con CB', (2) Q  de CA' con AC', y  (3) R  de AB' con BA', están alineados.