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DUALIDAD
 

¿Cuántos planos hay contenidos en un punto? Tantos como puntos pasan por un plano. Y... contrariwise.
(Tweedledee)

La dualidad es un concepto omnipresente en toda la Matemática, pero tal vez sea en Geometría Proyectiva donde es más fácil ilustrar su interés. Es un diccionario que permite traducir de un contexto a otro nociones y resultados. Podemos formularla técnicamente como sigue:


V = espacio vectorial de dimensión n+1
V* = espacio vectorial dual, formado por las aplicaciones lineales h:V —>K con valores en el cuerpo base K
P = espacio proyectivo de dimensión n formado por las rectas vectoriales de V
P* = espacio proyectivo dual, formado por los hiperplanos proyectivos H de P, que se representan mediante una ecuación h=0, que está determinada salvo proporcionalidad
L = subvariedad proyectiva de P
L* = subvariedad proyectiva dual, formada por todos los hiperplanos H de P que contienen a L.
Las dos propiedades fundamentales de esta dualidad son:
  • dim(L)+dim(L*) = n-1
  • Si L contiene a M, entonces L* está contenida en M*

En el plano proyectivo, una recta tiene por dual un haz de rectas, que se identifica con su punto base, y se obtiene lo siguiente:


El punto m está en la recta l,
en el plano proyectivo P
La recta m* dual del punto m contiene 
al punto l* dual de la  recta l,
en el plano proyectivo dual P*

 


Los puntos P,Q,R están alineados    Las rectas P*,Q*,R* son concurrentes

 


Los puntos P,Q,R están en posición general Las rectas P*,Q*,R* están en posición general

 


 Las rectas tangentes a una cónica C forman la cónica dual C*
 
Una vez se conoce el diccionario entre variedades y variedades duales, se cumple el denominado Principio de Dualidad, según el cual una proposición relativa a variedades proyectivas es cierta si y sólo si es cierta su dual. Este principio fue establecido inicialmente por Jean-Victor Poncelet (1788-1867), pero ligado a la noción de polaridad respecto de una cónica dada.



Tal vez uno de los ejemplos más bellos de dualidad sea el denominado Teorema de Brianchon, que es el enunciado dual del Teorema de Pascal o Hexagrama Místico. En efecto, utilizando la noción que acabamos de mencionar de dualidad asociada a una cónica, Julien Brianchon (1785-1864) demuestra lo siguiente:

TEOREMA DE BRIANCHON:
Si se circunscribe un hexágono a una cónica, las diagonales que unen vértices opuestos son concurrentes en un punto.


El  Principio de Dualidad general, formulado como antes independientemente de la polaridad respecto de una cónica, se debe a Joseph-Diez Gergonne (1771-1859).