updated  March 2011
© Jesús M. Ruiz

 
 

GEOMETRIA PROYECTIVA, UNA EXPOSICION


 



La Geometría Proyectiva es toda la geometría. 
(A. Cayley)

En el lugar de las matemáticas hay muchas moradas, y de entre ellas, la más elegante es la Geometría Proyectiva.
 (M. Kline)
Durante el mes de Noviembre de 1999, tuvo lugar en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid una exposición sobre la historia de la Geometría Proyectiva, desde sus orígenes en el Renacimiento, cuando los artistas comprendieron la teoría y el uso de la perspectiva, hasta finales del siglo XIX, cuando se entendió cómo la Geometría Proyectiva abarcaba a todas las demás. La exposición nació a partir de otra excelente realizada en el Instituto de Enseñanza Secundaria Miguel Servet de Madrid, titulada ARTE Y GEOMETRIA, y dedicada a la geometría oculta en las obras de los artistas del Renacimiento principalmente. Esta primera exposición recibió el Premio Giner de los Ríos a la Innovación Educativa, y sirvió de incentivo para la organización de la que comentamos aquí, y fue parte primordial de la misma. Los responsables de  este segundo proyecto  fueron María Cruz del Amo e Isabel Pinto del IES Miguel Servet de Madrid (organizadoras de ARTE Y GEOMETRIA), María Emilia Alonso y Raquel Mallavibarrena del departamento de Algebra de la UCM, y Jesús M. Ruiz del departamento de Geometría y Topología de la UCM. Por supuesto, otras personas colaboraron, especialmente Pilar Vélez, del departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad Antonio de Nebrija, e Ignacio Luengo y José Manuel Rodríguez-Sanjurjo, de los departamentos de Algebra, y de Geometría y Topología de la UCM.




 
 
 
 


PRESENTACION Y FUENTES  
REPORTAJE

VERSION PDF

 



 
 








PRESENTACION Y FUENTES



 



La exposición, que se denominó

ORIGENES Y NACIMIENTO DE LA GEOMETRIA PROYECTIVA

consistió en la exhibición permanente durante aquel mes de Noviembre de 10 paneles, que combinaban imágenes y textos con la intención de explicar matemáticamente los aspectos más visuales e intuitivos de la Geometría Proyectiva. Como indica el anuncio, se organizaron a la vez tres conferencias plenarias, que impartieron Gregorio Hernández (Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid), Luis Alvarez (departamento de Informática y Sistemas de la Universidad Politécnica de Gran Canaria) y Luis Lastra (departamento de I+D de Investrónica S.A.). Asimismo hubo varias sesiones demostrativas con ordenador,  supervisadas y atendidas por Pilar Vélez.


La Geometría Proyectiva tiene sus orígenes en la pintura del Renacimiento. Luego, en el siglo XVII se recuperarán ideas de los matemáticos griegos (las secciones cónicas, por ejemplo), pero son sin duda los pintores renacentistas los que fundamentan  esta rama de las Matemáticas al conseguir plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales tal como son, a diferencia de sus antecesores de la Edad Media. Por eso no es extraño que en esta exposición aparezcan nombres  como Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio o Alberto Durero.

En el Renacimiento se investiga la visión que nuestro ojo tiene de una figura cuando la vemos en distintas pantallas colocadas entre ella y nosotros. Así nacen la  perspectiva  y el estudio de las  proyecciones  y las  secciones. Son significativas las preguntas de Leone Battista Alberti en 1435: ¿Qué relación hay entre dos secciones de la misma figura?, ¿cuáles son las propiedades comunes a dos secciones cualesquiera?

Esta exposición recorre el nacimiento y la consolidación de la  Geometría Proyectiva en tres fases:

1. Renacimiento: Arte y Geometría.

2. Siglo XVII: Recuperación de los conocimientos griegos y su aplicación a la ciencia y a la técnica.

3. Siglo XIX: Resurgimiento de la Geometría Pura.
 



Las fuentes que se han utilizado para la exposición han sido principalmente las siguientes:


He aquí algunos comentarios que los asistentes dejaron en el Cuaderno de Visitantes que se dispuso para ese fin.
 
 



Superficie de Boy y Cuaderno de Visitantes

  • Toca muchos aspectos, histórico, artístico, lúdico.
  • Interesante, sobre todo la perspectiva histórica.
  • Una forma atractiva de analizar las obras de arte.
  • Una forma diferente de ver Geometría Proyectiva.
  • El esfuerzo estimula la entrada en el tema.
  • Espero que se hagan más como ésta.
  • He aprendido alguna cosa nueva y recordado otras.
  • ¡BRAVO! Ya era hora. Que no sea la última.
  •  
    Y una reseña:
     
     

    La Facultad de Matemáticas aloja en su sótano 2, delante del salón de actos, y durante todo el mes de noviembre la exposición "Origenes y nacimiento de la Geometría Proyectiva". La organización de esta iniciativa la comparten los departamentos de Algebra, Geometría y Topología de la Facultad y el Instituto Miguel Servet de Madrid. En la exposición se hace un recorrido histórico por la geometría proyectiva, desde su utilización primigenia por los artistas renacentistas como Fra Angelico, Leonardo y Uccello, hasta los modelos topológicos del plano proyectivo más modernos, como son las superficies de Steiner, la de Boy o la más popular banda de Moebius. Destaca en la exposición el análisis de cuadros renacentistas según su composición geométrica y el uso que se hizo de esta materia en ciencias como la óptica y la astronomía. El ciclo de conferencias que acompaña a la exposición se cierra el día 16 de noviembre con la ponencia "Visión artificial y gráficos por ordenador" impartida por Juan José Lastra. Habrá además una demostración práctica el próximo día 26 en la que se enseñará el uso del programa Cabri-Géométre con el que se verifican de manera gráfica los teoremas de geometría proyectiva.



     

    REPORTAJE

    A continuación incluimos un pequeño reportaje fotógrafico, extraido de otro mucho más extenso cuya realización agradecemos a  Ricardo Olmos.



     



    Vista general del acceso a los paneles


     


    Comienzo de la exposición


     


    El siguiente panel, que era el primero, reunía cronológicamente los nombres propios más relevantes y algunas notas históricas significativas.
     

    Un tratado primitivo de Perspectiva

     
     

    Siempre había alguien interesado


     


    Los paneles segundo a sexto estaban dedicados a mostrar la geometría oculta detrás de algunas de las grandes obras de los artistas renacentistas, que ellos mismos estudiaron teóricamente, como ilustran los grabados de Alberto Durero. Por ejemplo, a continuación vemos el uso de la perspectiva en La Ultima Cena de Leonardo

     
     

    Más paneles


     


    Aquí apreciamos la geometría de la composición en el Descendimiento de van der Weyden


     


    Otra vista general


     


    También se analiza una obra contemporánea, La Madona de Port-Lligat de Dalí, en la que el autor emplea a la perfección las leyes de la perspectiva


     


    Dos paneles con mucho arte


    A partir del sexto panel se introducían aspectos más técnicos matemáticamente: la noción de anamorfosis, y las denominadas máquinas de ver y de dibujar, como las de esta imagen


    Después de todo lo anterior se  introducían las primeras nociones matemáticas rigurosas. Por ejemplo, por qué sólo hay una cónica proyectiva y por qué el nombre de cónicas


    Por fin, se definía el espacio proyectivo, que hay que entender añadiendo al afín los puntos de infinito


     

    Mención especial aquí tenían Desargues y Pascal, autores de algunos de los más bellos teoremas clásicos de la Geometría Proyectiva, resultados que sin embargo se olvidaron durante muchos años, hasta que se produjo un redescubrimiento en el siglo XIX. Se explicaba también la noción esencial de dualidad, crucial en la comprensión de la validez de muchos teoremas de enunciados paralelos. 

    Las relaciones de la geometría proyectiva con otras geometrías descubiertas a finales del siglo XIX se ilustraban con el denominado modelo proyectivo del plano hiperbólico. Asimismo se mencionaban los modelos finitos de la geometría proyectiva.


    El último panel trataba de las inmersiones del plano proyectivo en el espacio afín, que son los denominados modelos topológicos del plano proyectivo real.


     

    El modelo de Boy


     

    ¡Este bonito modelo de la superficie de Boy no desapareció hasta el último día!
     


    Y se llega al final ...


     


    ... con el anuncio de las sesiones de Cabri II 

    que ahora pueden visitarse permanentemente aquí
     


    ¡Adiós!


     



     
     

    VERSION PDF

    Después de realizada la exposición en la Facultad de Matemáticas, se organizó su traslado a otros centros. Tal traslado se hizo finalmente a diversos centros de la provincia de Madrid, aunque la dificultad de conservación de los materiales los deterioró casi irremediablemente. Esta circunstancia indujo a reconvertir la exposición a soporte más permanente. Realizamos esta reconversión en 2002, mediante un Proyecto de Innovación educativa de la UCM y ayudas adicionales de los Departamentos de Álgebra y de Geometría y Topología y del Decanato de la Facultad de Matemáticas. El resultado fue disponer de una versión itinerante más resistente y de una versión digital de todos los paneles. Además, se completó el contenido de una gran parte de ellos. Cinco años después, en 2007, con motivo de presentarse la exposición en la Escuela de Arquitectura de la UPM, se añadió un panel realizado por Juana MĒ Sánchez y Félix Ruiz del departamento de Matemática Aplicada a la Edificación, al Medio Ambiente y al Urbanismo de dicha Escuela, con la ayuda económica de ese departamento, y la de los departamentos de Algebra y de Geometría y Topología de la UCM. Tres años más tarde, en 2010, hemos elaborado una versión en italiano, digital e impresa, de todos los paneles, gracias a la cuidadísima traducción de Fabrizio Broglia del departamento de Matematica de la Universidad de Pisa, y la ayuda económica de este último.

    Hasta el momento, la exposición se ha presentado en los siguientes centros:

    Se puede solicitar la versión intinerante contactando con Jesús M. Ruiz o con Raquel Mallavibarrena. En cuanto a la versión digital en español, más abajo están las miniaturas de los nuevos paneles, que permiten acceder a un fichero pdf para ver en pantalla o proyectar a mayor escala, y de suficiente calidad para ser impreso con los tamaños que se especifican. Quién esté interesado en la versión digital en italiano, de similares características, puede contactar con Fabrizio Broglia.


    PRESENTACIÓN Y FUENTES
    60x60 cm

    NOMBRES PROPIOS DE LA
    GEOMETRÍA PROYECTIVA
    112x80 cm

    ARTE Y GEOMETRÍA
    118x86 cm


    LA DIVINA PROPORCIÓN 
    118x86 cm


    LA COMPOSICIÓN GEOMÉTRICA
    DE
    VAN DER WEYDEN
    86x86 cm


    LA GEOMETRÍA DE
    LEONARDO DA VINCI

    118x86 cm


    PIERO DELLA FRANCESCA
    Y SU INFLUENCIA EN DALÍ
    86x86 cm


    LAS EQUILIBRADAS
    COMPOSICIONES DE RAFAEL
    86x86 cm


    MÁQUINAS Y GABINETES 
    118x86 cm


    DANDO PASOS HACIA
    LA CONSTRUCCIÓN

    DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
    118x86 cm


    INGREDIENTES ESENCIALES
    118x86 cm


    EL REDESCUBRIMIENTO DE LA
    GEOMETRÍA PURA
    118x86 cm

    AXIOMÁTICA Y PLANOS PROYECTIVOS FINITOS.
    EL PLANO HIPERBÓLICO
    118x86 cm

    MODELOS TOPOLÓGICOS DEL PLANO PROYECTIVO REAL
    118x86 cm


    LAS CÓNICAS EN LA ARQUITECTURA
    118x86 cm