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EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBOLICO

En 1871 Felix Klein presentó un modelo proyectivo de geometría no euclídea, según ideas anteriores de Eugenio Beltrami. Este modelo es útil para adquirir una visión global del plano hiperbólico y entender algunas de sus peculiaridades.
 


PUNTOS Y RECTAS. A partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano hiperbólico como formado por los puntos interiores de E. Las rectas de este modelo de plano hiperbólico son las mismas que las del plano proyectivo, pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E se denomina cónica absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto.
A y B no son puntos de la recta del plano hiperbólico, que es por tanto ilimitada


Observamos que en el plano hiperbólico no se cumple el Quinto Postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas que no la cortan. Las rectas PA y PB se llaman paralelas a AB y las otras ultraparalelas.


MOVIMIENTOS. Los movimientos de este plano hiperbólico son los del plano proyectivo (las colineaciones)  que dejan invariante el absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la restricción de dichas colineaciones al plano hiperbólico. Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (o congruentes)  cuando hay un movimiento que transforma una en otra.
Ejemplo de movimiento: una homología de centro P  que induce una involución en el absoluto. Este movimiento se llama simetría de centro P.


PERPENDICULARIDAD. Dos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si existe un movimiento que superpone los ángulos adyacentes de la figura (es decir, si esos ángulos son iguales o congruentes). En tal caso los ángulos en cuestión se llaman rectos.


POLARIDAD. Se llama punto polar de una recta r=AB al punto Q de intersección de las dos tangentes a E en los puntos A y B; este punto del plano proyectivo no está en el plano hiperbólico. La polaridad proporciona una formulación proyectiva de la perpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba que dos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra.


Un hecho natural para la intuición euclídea es que en el plano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempre una perpendicular común, pero no lo es que dos rectas paralelas no la tengan.